ПРОБЛЕМЫ АППРОКСИМАЦИИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ

PROBLEMS OF APPROXIMATION OF SOLUTIONS OF NONLINEAR EQUATIONS OF THE DYNAMICS OF CONTROLED SYSTEMS

Vladimir Korolev

candidate of Physical and Mathematical Sciences, assistant professor,

Saint-Petersburg State University,

Russia, Saint-Petersburg

АННОТАЦИЯ

Обсуждаются особенности применения в задачах механики уравнений движения в гравитационных полях, когда уравнения или решения содержат негладкие функции. Классическая механика занимается исследованием свойств, аппроксимацией и прогнозированием движения для задач с регулярными функциями. Решение нелинейных уравнений динамики использует дополнительные преобразования для устранения особенностей уравнений для сложных систем, которые приводят к линейному виду, и возможности решения с учетом этапов последовательного приближения. Рассматривается применение таких преобразований для решения задач движения космических аппаратов в гравитационном поле с учетом возмущений при действии других сил после приведения к каноническим регулярным элементам.

ABSTRACT

Application problems in the mechanics of motion equations in gravitational fields are considered when solutions contain equation or non-smooth function. Classical mechanics has been researching the properties, approximation and forecasting movement for problems with regular functions. Solution of nonlinear equations of the dynamics using additional conversion to eliminate the characteristics of the equations for complex systems, which lead to a linear form and possible solutions, taking into account the stages of successive approximation. The use of such a transformation is considered to solve the problems of spacecraft motion in the gravitational field, taking into account the perturbations by the action of other forces after reduction to the canonical regular elements.

Ключевые слова: нелинейные динамические системы; преобразования уравнений; космическая динамика; теория управления.

Keywords: nonlinear dynamical systems; space dynamics; conversion equations; control theory.

Математика – это единственный совершенный метод водить себя за нос.

Альберт Эйнштейн

Проблемы математического моделирования для динамических процессов и задач физики или механики начинаются с постановки и описания возможных условий, которые желательно учитывать [1–3]. Далее нужно уточнить определения и утверждения, которые предлагается использовать при формализации и логических построениях. Для построения математических моделей динамических систем следует выделить совокупность объектов исследования и определить условия взаимодействия внутри системы, а также возможное влияние внешних сил [14–18].

Начальный этап моделирования задач динамики предполагает переход к обоснованному выбору законов и условий, которые могут учитываться для записи уравнений на основе принципов или аксиом, алгоритмов и методов. Принцип относительности Галилея и упрощенный вариант однородного поля тяготения, принцип линейной зависимости сил упругости при деформации тел, который установил Гук, принцип детерминированности Ньютона и вариант центрального гравитационного поля при описании движения планет или комет, который стали называть законом всемирного тяготения. Основные законы динамики со времен Ньютона хорошо описывают движение естественных или искусственных небесных тел Солнечной системы [20]. Величина и направление гравитационных сил определяется положением Солнца и планет в идеальной системе отсчета, которая считается инерциальной. Особое значение имеет удачный выбор системы отчета или обобщенных координат для записи уравнений движения. Одним из универсальных является метод составления уравнений Лагранжа второго рода для вектора позиционных или обобщенных координат, которые можно записать в канонической форме после введения обобщенных импульсов в число фазовых переменных.

Исследование математических моделей возмущенного движения в гравитационных полях используется для нахождения оптимального управления межорбитального маневрирования космических аппаратов [10–13; 15]. Требования к эффективности алгоритмов решения задач приводит к дополнительным исследованиям в более сложной постановке в особых случаях при движении по траекториям, близких к соударению или максимального сближения с притягивающими центрами [4; 7]. Уравнения в регуляризованном виде оказались удобными для решения вопросов существования и продолжаемости решений, а также для использования асимптотических или численных методов [19; 21]. Использования специальных преобразований уравнений позволяет существенно сократить время вычислений и повысить точность прогнозирования движения.

Математическое моделирование процессов сложных динамических систем может менять наше представление о наблюдаемых явлениях. Воображение позволяет сформировать, а компьютер может изобразить на экране даже то, чего нельзя увидеть или не может быть в реальном мире. Когда не было компьютеров, достаточно было включить свои внутренние картины и образы фантазии, чтобы дополнить реальность новыми возможностями.

Многие задачи оптимального управления движением механических систем, в том числе в космической динамике, приводятся к системе сложных нелинейных уравнений для совокупности необходимых условий стационарности функционала [15; 18]. Поэтому особого внимания требуют преобразования уравнений к виду, для которого возможно получить общее решение или провести качественное исследование свойств и удобный алгоритм численного моделирования.

Уравнения содержат систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которые описывают динамику при выборе состава действующих сил, а также систему сопряженных уравнений Эйлера-Лагранжа для вектора дополнительных переменных для условного функционала, условие максимума функции Понтрягина по управлению и краевые условия трансверсальности [17; 18].

Вид и свойства уравнений определяются системой обобщенных координат и алгоритмом или способом формирования на основе соответствующих законов классической механики.

где:  – декартовы координаты,  – проекции вектора скорости v на оси координат,  – гравитационный параметр центрального тела,  – модуль радиус-вектора,  – силовая функция учитываемых возмущений геопотенциала и других гравитационных тел,  – непотенциальные силы при работе реактивного двигателя на активном участке, учете сопротивления атмосферы, светового давления или других обстоятельств, вызванного действием возмущающих сил.

Уравнения можно записать в виде гамильтоновой системы для случая потенциальных сил

или в обобщенной канонической форме [10; 14–17], когда в правые части уравнений можно добавлять другие возмущения. Здесь  – канонические переменные,  – функция Гамильтона.

Определение траекторий движения в гравитационном поле с учетом основных возмущений других действующих сил можно выполнить для пространственного случая задачи двух тел после регуляризирующего преобразования Кустаанхеймо-Штифеля [21] или обобщенным преобразованием Биркгофа [19] для ограниченной задачи трех тел и переходом к почти линейным уравнениям в конфигурационном пространстве увеличенной размерности или каноническим уравнениям для регулярных элементов [14; 16].

При действии малых возмущений уравнения можно записать в каноническом виде с учетом зависимости от малого параметра. Функция Гамильтона  допускает выделение части , порождающей общее решение в нулевом приближении, и возмущения малого порядка при выбранной реализации управления .

Общее решение уравнений движения в нулевом приближении, зависящее от времени и набора произвольных постоянных, позволяет получить решение уравнений Эйлера-Лагранжа [11–13; 15] и определить функцию Гамильтона задачи оптимизации с помощью дифференцирования по вектору произвольных постоянных [5–9; 14].

Фундаментальная матрица решений системы уравнений возмущенного движения определяется через решения системы уравнений в вариациях [9]. Это позволяет определить выражения для параметров оптимального решения [10]. Решение получается последовательным удовлетворением уравнений, полученных для соответствующей степени малого параметра из общей совокупности условий стационарности [11]. При этом используется полученное на основе принципа максимума Понтрягина явное представление лагранжевых множителей на участках активного и пассивного полета космических аппаратов [12; 17], а также совместной системы дифференциальных уравнений движения и уравнений Эйлера-Лагранжа. Оптимальное управление при маневрировании может быть реализовано включением двигателей космического аппарата достаточно большой тяги на коротком промежутке времени. При необходимости обслуживания большого числа объектов можно использовать принцип декомпозиции, который применяли для соединения траекторий движения космического аппарата в виде функций времени. В точках сопряжения конечные данные переходят в начальные для нового участка орбиты. Аппроксимация возмущений кусочно-непрерывными функциями приводит к последовательному сопряжению участков траекторий, полученных при выбранной параметризации промежутков движения.

Список литературы:

1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. – М.: Наука, 1979. – 432 с.
2. Брумберг В.А. Релятивистская небесная механика. – М.: Наука, 1972. – 382 с.
3. Демьянов В.Ф. Математическая модель динамического процесса // Доклады Академии Наук, 2004, том 395, № 2. – С. 178–182.
4. Королев В.С. О траекториях соударения в плоской круговой ограниченной задаче трех тел // Проблемы механики управляемого движения. – Пермь, изд. ПГУ, 1974. – С. 43–47.
5. Королев В.С., Коваленко А.Н. К обоснованию схемы поэтапной оптимизации // Механика управляемого движения. – Л.: изд. ЛГУ, 1979. – С. 58–69.
6. Королев В.С. Экстремум функции малого параметра при наличии ограничений // Вестник ЛГУ, № 19, 1983. – С. 72–74.
7. Королев В.С. Асимптотические методы вычисления и оптимизации траекторий, близких к соударению // Динамика механических систем. – Томск: изд-во ТГУ, 1987. – С. 174–176.
8. Королев В.С. Уравнения возмущенного движения регуляризованной задачи трех тел // Вопросы механики и процессов управления. Вып. 16. – СПб: изд. СПбГУ, 1994. – С. 71–78.
9. Королев В.С. Определение движения навигационных спутников с учетом возмущений // Вестн. С-Петерб. ун-та. Серия 10. 2004. Вып. 3. – С. 39–46.
10. Королев В.С. Задачи оптимального маневрирования космических аппаратов для инспектирования или обслуживания системы тел // Исследования Наукограда, 2015. № 2 (12). – С. 18–23.
11. Королев В.С. Моделирование оптимальных траекторий космических аппаратов при наличии ограничений // Управление в морских и аэрокосмических системах. – СПб.: Изд. ЦНИИ Электроприбор, 2014. – С. 446–450.
12. Королев В.С. Оптимальные траектории перехода космических аппаратов между заданными орбитами различного типа // Технические науки – от теории к практике, № 32, 2014. – С. 62–70.
13. Королев В.С. Задачи маневрирования космических аппаратов для инспектирования или обслуживания системы тел // Исследования Наукограда. Научный журнал. № 2 (12), 2015. – С. 18–23.
14. Королев В.С., Новоселов В.С. Управление гамильтоновой системой с учетом возмущений // Инновации в науке. 2015. № 51-1. – С. 23–29.
15. Новоселов В.С. Аналитическая теория оптимизации в гравитационных полях. – Л.: изд.ЛГУ, 1972. – 317 с.
16. Новоселов В.С. О слабом управлении возмущенной гамильтоновой системой // Вестник СПбГУ, сер. 1, вып. 4, 1993. – С. 66–70.
17. Новоселов В.С., Королев В.С. Аналитическая механика управляемой системы. – СПб.: изд. СПбГУ, 2005. – 298 с.
18. Охоцимский Д.Е., Сихарулидзе Ю.Г. Основы механики космического полета. – М.: Наука, 1990. – 448 с.
19. Себехей В. Теория орбит. Ограниченная задача трех тел. – М.: Наука, 1975. – 656 с.
20. Субботин М.Ф. Введение в теоретическую астрономию. – М.: Наука, 1968. – 800 с.
21. Штифель Е., Шейфеле Г. Линейная и регулярная небесная механика. – М.: Наука, 1975. – 304 с.