ТАБЛИЧНЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ СПЕКТРОВ ЛИНЕЙНЫХ ВОЛЬТЕРРОВСКИХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО РОДА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

TABLULAR METHOD TO DETECT SPECTRA OF VOLTERRA LINEAR INTEGRAL EQUATIONS OF THE THIRD KIND WITH TWO VARIABLES

Venera Muratalieva

candidate of Science, Head of Automated control systems department, assistant professor of Jalal-Abad State University,

Kyrgizstan, Jalal-Abad

АННОТАЦИЯ

Предложен табличный метод определения множества значений параметра, при которых линейные вольтерровские интегральные уравнения с двумя переменными с сомножителями при неизвестной функции, обращающимися в нуль, имеют решения при любых правых частях в пространстве аналитических функций.

ABSTRACT

There is proposed a tabular method to detect a set of values of the parameter under which Volterra linear integral equations with two variables with the coefficient by the unknown function turning to zero have solutions for arbitrary right hand parts in the space of analytical functions.

Ключевые слова: интегральное уравнение, линейное уравнение, уравнение типа Вольтерра, уравнение третьего рода, спектр, аналитическая функция

Keywords: integral equation, linear equation, Volterra equation, equation of the third kind, spectrum, analytical function

1. Обзор известных результатов и постановка задачи

Для операторов в функциональных пространствах мы будем использовать развернутые обозначения, предложенные в [1] (при первом появлении), а в дальнейшем - также краткие обозначения.

В [3] выявлены спектральные свойства уравнений вида

                         (1)

и систем двух таких уравнений, вида

                (2)

Здесь и далее – заданные функции – целые аналитические [2], заданные константы – комплексные числа,  – параметр.

Производился поиск условий, при которых  уравнения (1) и (2) имеют решения в пространстве целых аналитических функций, то есть представимые в виде рядов

…,                                                                            (3)

…,                                                                            (4)

где сходимость – такого же порядка, как для рядов, представляющих функции f(t), g(t).

Было доказано, что спектр таких уравнений либо отсутствует, либо состоит из кратных некоторому числу или числам.

В данной статье такие же вопросы рассматриваются для уравнений вида

                  (5)

где  - многочлен

Полагая t=0 и x=0 в этих уравнениях, получим, что обязательные условия f(0,x)º 0, f(t,0) º 0, откуда 

…,                                                                (6)

Требуется при предположении (6) найти условия на l, при которых уравнение (5) имеет решения при любой функции f(t,x), то есть охарактеризовать спектр уравнения (5).

Будем искать решения уравнения (5) в виде

…,                                      (7)

2. Примеры

Рассмотрим уравнение (5) с

W(t,x)=1.                                                                                                            (8)

Здесь и дальше p и q - неотрицательные целые числа. Соответственно обозначая оператор в (5), имеем:

Отсюда получаем систему уравнений для определения коэффициентов разложения (7)

                            (9)

Теорема 1. Если l не равно отрицательному целому числу, то уравнение (5)-(8) имеет решение.

Доказательство. Преобразуем систему (9) к виду

Выражение  может иметь значение - любое натуральное число. Если коэффициент в правой части не обращается в нуль, то из этой системы можно найти все  и для больших значений p и q будет  , то есть область сходимости для ряда (7) будет такая же, как и для ряда (6). Теорема доказана.

Еще рассмотрим уравнение (5) с

W(t,x)=1+t.                                                                                                     (10)

Соответственно обозначая оператор в (5), имеем:

Отсюда получаем систему уравнений для определения коэффициентов разложения (7)

                                                          (11)

            (12)

Теорема доказана.

Теорема 2. Если l не равно отрицательному целому числу, то уравне-ние (5)-(10) имеет локальное решение.

Доказательство. Преобразуем систему (11)-(12) к виду

                                           (13)

                (14)

По условию, сомножители при неизвестных в этих уравнениях отличны от нуля. Из (13) можно найти все потом из (14) - последовательно - все остальные коэффициенты.

Обозначим   тогда имеем:

Из оценки  по-лучаем

Обозначим w:= c+a. Докажем по индукции, что    Имеем:

Таким образом, ряд (7) сходится в некоторой области, возможно, меньшей, чем область сходимости ряда (6).

Теорема доказана.

3. Табличный метод представления уравнения

Из второго примера видно, что каждый коэффициент в (7) может входить в несколько уравнений, получающихся при приравнивании всех коэффициентов при , но для многочлена W(t,x), состоящего из нескольких слагаемых (вида ), выписать явно все виды таких уравнений слишком сложно. Поэтому предлагается следующий метод (начало координат будем располагать в левом верхнем углу, как это делается при составлении таблиц). Составляем таблицу с ячейками для всех одночленов . Слева направо будем располагать степени t⁰, t¹,t²,…; сверху вниз будем располагать степени x⁰, x¹,x²,….

1) Проводим все векторы вида (p,q)-(p+m+1,q+n+1)  º{m+1, n+1} и вектор {1, 1} (от интеграла). Они показывают, в каких уравнениях будет участвовать коэффициент u_pq. 

2) Проводим векторы вида (- {m, n}), обратные векторам п. 1). Они показы-вают, какие коэффициенты, возможно, будут участвовать в уравнении, получа-ющемся при приравнивании всех коэффициентов при . Условие участия определяется так: вектор ({p, q}- {m, n}) имеет неотрицательные коэффициенты.

3) Изображаем ячейку с векторами п. 2) возможно ближе к левому верхнему углу таблицы. Назовем это положение ячейки (Z).

4) Все уравнения, соответствующие ячейкам, находящимся строго влево и строго вверх от (Z), будут различными. В них не будет некоторых слагаемых с меньшими значениями индексов по t и x. 

5) Все уравнения, соответствующие ячейкам, находящимся в одной строке вправо и строго вверх от (Z), будут однотипными. В них не будет некоторых слагаемых с меньшими значениями индекса по x. 

6) Все уравнения, соответствующие ячейкам, находящимся в одном столбце строго влево и вниз от (Z), будут однотипными. В них не будет некоторых слагаемых с меньшими значениями индекса по t. 

7) Все уравнения, соответствующие ячейкам, находящимся вправо и вниз от (Z), будут однотипными и содержащими все возможные слагаемые, имеющиеся в (5).

8) Условие разрешимости каждого из уравнений, перечисленных в пп. 4)-7), дает ограничение на l. Полный список этих ограничений дает спектр уравнения (5).

В качестве примера возьмем

W(t,x)=1+3t+5x.                                            (15)

Таблица 1.

Система для уравнения (15)

Уравнение 4):

Уравнения 5):

Уравнения 6):

Уравнения 7):

Список литературы:

1. Аширбаева А. Ж. Решение нелинейных дифференциальных и интегро–дифференциальных уравнений в частных производных высокого порядка методом дополнительного аргумента. Автореф. дисc. … докт. физико-математических наук, 01.01.02. – Бишкек, 2014. – 32 с.
2. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции, 3-е издание. – Мocква: Наука, 1979. – 320 с.
3. Тагаева С.Б. Регуляризация и единственность решений интегральных уравнений Вольтерра 3-го рода в неограниченных областях. - Автореферат … канд. физико-математических наук. – Бишкек, 2015. – 16 с.