СХЕМА РАСЩЕПЛЕНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ВЯЗКОУПРУГОЙ СРЕДЫ МАКСВЕЛЛА

SCHEME OF SPLITTING FOR SOLVING OF THE VISCOELASTIC ENVIRONMENT OF MAXWELL

Mahat Bukenov

candidate of Physical and Mathematical Sciences,Associate Professor of mathematical and computer modeling of  the Eurasian National University named after L.N.Gumilev,

Republic of Kazakhstan, Astana

Zangar Akezhanov

master’s Degree student of  mathematical and computer modeling of  the  Eurasian  National  University  named  after  L.N.  Gumilev 

Republic  of  Kazakhstan,  Astana

АННОТАЦИЯ

Построена схема расщепления для трехмерной динамической задачи для линейной вязкоупругой среды Максвелла. Показана консервативность предложенной схемы.

ABSTRACT

A splitting scheme for a three-dimensional dynamic task for a linear viscoelastic Maxwell environment is constructed. The conservativeness of the proposed scheme is illustrated.

Ключевые слова: вязкоупругость; скорость; напряжения; схема  расщепления; конечно-разностная схема.

Keywords: viscoelasticity; velocity; stresses; splitting  scheme; finite difference scheme

Рассмотрим динамическую задачу линейной теории вязкоупругости в цилиндре с границей , следуя [3],

,                                                           (1)

    ,                                                         (2)

,                                                    (3)

Здесь - вектор скорости; - вектор напряжений; - вектор деформаций; - симметричная, положительно-определенная матрица, зависящая от констант Ламе, - симметричная, неотрицательно-определенная матрица, зависящая от коэффицента вязкости - диагональная, положительно-определенная матрица. Матрицы перестановочны.- линейный матрично-дифференциальный оператор:

,                  

Уравнения (1) выражает закон сохранения импульса, если обьемная плотность . Соотношение (2) является следствием соотнощения перемещения - деформации:

,                                                                    (4)

где: - вектор перемещений. Векторы перемещения и скорость связаны соотношением  Соотношение (3) является уравнением состояния для среды Максвелла.  Решение системы (1) – (4) ищется в цилиндре . При этом

и соответственно,                                                                                       

                                                                   (5)

Перемещения определяются из соотношения

На боковой поверхности цилиндра искоемое решение удовлетворяет одному из однородных краевых условий:

      (6)

Для исходной задачи (1) - (6) справедлив интегральный закон сохранения, так как,

                                              (7)

Здесь

Рассмотрим сеточную задачу для модели Максвелла.

Пусть - прямоугольный параллелепипед:  . Введем в сетку , равномерную по каждой координате : . Пусть  Тогда  От векторов непрерывных аргументов перейдем к векторам дискретных аргументов, заданных на сетке .

Для задачи (1) – (6) рассмотрим разностную схему

                    (8)

Здесь

        (9)

Из (9) вытекает сеточный закон сохранения для вязкоупругой среды Максвелла, при :

                                   (10)

что в точности сопадает с (7).

Теорема 1. Разностная схема (8) полностью консервативна.

Доказательство. Используем терминологию работ [5,7]. Аппроксимация опорного оператора порождает конкретную аппроксимацию сопряженного оператора  Это и позволяет на сеточном уровне сохранить структуру дифференциальной задачи и структуру интеграла энергии (7) для этой задачи. Можно трактовать как некоторую составную норму сеточной вектор – функции напряжений. Тогда из (10) вытекает равномерная устойчивость разностной схемы (8) по начальным данным в норме  . Отсюда стандартным образом [7, гл. VI ] вытекает и устойчивость по правой части и, как следствие, теорема сходимости.

Основные проблемы при численной реализации консервативной разностной схемы (8) связаны с обращением многомерных операторов. Для исходной (1) – (7)  задачи построим консервативную разностную схему с законом сохранения (10), в которой обращению подлежат лишь одномерные операторы. Эта схема основана на методе расщепления [1,2,8].

Опорный сеточный оператор  из (9) допускает аддитивное разложение

                        (11)

которое порождает аддитивное разложение для сопряженного сеточного оператора

                      (12)

Следуя [1,2,8], переход  будем осуществлять с помощью последовательных переходов . Каждому такому переходу поставим в соответствие одномерную сеточную вязкоупругую задачу в скоростях напряжений, порождаемую аддитивным разложением (11), (12).

 Итак, при заданных  переход m → m + 1/3 будем осуществлять с помощью одномерной разностной схемы

                                  (13)

Тогда после несложных преобразований получим для

Определим  в начальный момент времени [4, с. 31]. Это уравнение относительно  решается трехточечной прогонкой по  при заданном . Для из второго уравнения (13) получаем

Для из третьего уравнения (13) выводим

.

Далее, при заданных , , с помощью одномерной разностной схемы

                                       (14)

трехточечной прогонкой по находится ,,.

И при заданных , , используя трехточечную прогонку по , из одномерной разностной схемы

                                               (15)

находим   ,, и т.д.

Теорема 2.  Аддитивная разностная схема (13), (14),(15) обладает сеточным законом сохранения (10).

Доказательство.  Доказательство этой теоремы связано с тем, что на каждом из переходов   удалось сохранить структуру исходной дифференциальной задачи (1) - (7). Поэтому, как и при доказательстве теоремы 1, для (1) будем иметь 

                      (16)

а для (14), (15)

       (17)

              (18)

Теперь из (16)-(18) для аддитивной разностной схемы(13), (14), (15) вытекает справедливость сеточного закона сохранения (10)

                                                                                        (19)

Остается заметить, что при дальнейших стандартных рассуждениях, приводящих от (19) к теореме сходимости, следует рассматривать аппроксимацию задачи (1) – (7)  разностной схемой (13) - (15) как суммарную [6, гл. IX, § 3].

Список литературы:

1. Анучина Н.Н., Яненко Н.Н. Неявные схемы расщепления для гиперболических уравнений и систем // Докл. АН СССР. – 1959. – Т. 128, № 6. – С. 1103–1106.
2. Багриновский К.А., Годунов С.К. Разностные схемы для многомерных задач // Докл. АН СССР. – 1957. – Т. 115, № 3. – С. 431–433.
3. Букенов М. М. Постановка динамической задачи линейной вязкоупругости в скоростях напряжений, Сиб. журн. вычисл. матем., – 2005, Т. 8, № 4. – С. 289–295.
4. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. – М.: Мир, 1974.
5. Попов Ю.П., Самарский А.А. Полностью консервативные разностные схемы // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. – 1969. – Т. 9, № 4. – С. 953–958.
6. Самарский А.А. Теория разностных схем. – М.: Наука, 1983.
7. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. – М.: Наука, 1975.
8. Яненко Н.Н. Об экономичных неявных схемах (метод дробных шагов) // Докл. АН СССР. – 1960. – Т. 134, № 5. – С. 1034–1036.