ДВОЙНЫЕ  РЯДЫ  И  ИХ  ПРИМЕНЕНИЕ

Старшова  Ирина  Ивановна

студент  Казанского  национального-исследовательского  технического  университета  имени  А.Н.  Туполева,  РФ,  г.  Казань

E -mail:  irenka_star@mail.ru

Якупов  Зуфар  Ясавеевич

научный  руководитель,  канд.  физ.-мат  наук  КНИТУ-КАИ  им.А.Н.  Туполева,  РФ,  г.  Казань

Двойным  рядом  называется  запись  процесса  суммирования  чисел

+  +

                                         .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  (1)

+

.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .

Как  и  в  случае  простых  рядов,  мы  можем  начинать  нумерацию  строк  (  и  членов  в  каждой  строке)  не  обязательно  с  первого  номера  [1,  c.  233].

Двойной  ряд  (1)  обозначают  различными  способами.  Например,  как    или,  если  область  значений  номеров  m  и  n  не  вызывает  сомнений  ,  просто  как  .

Необходимо  отметить,  что  строки  и  столбцы  двойного  ряда  (1)  являются  простыми  рядами.

Особо  интересен  вопрос  о  сходимости  двойных  рядов. 

Каково  бы  ни  было  найдутся  такие    и  ,  что  при  m  и  n  такие,  что  двойной  ряд  (1)  сходится  и  имеет  сумму  s,

.

  —  это  условие  сходимости  ряда  (1)  к  сумме  s

Подчеркнем,  что  мы  здесь  имеем  дело  с  двойным  пределом:  переменные  m  и  n  могут  возрастать  совершенно  независимо  друг  от  друга. 

Когда  члены  двойного  ряда  являются  не  числами  или  функциями,а  элементами  линейного  нормированного  пространства  их  можно  обобщить.

Важные  классы  двойных  рядов  :  двойные  степенные  ряды,  двойные  ряды  Фурье,  квадратичные  формулы  с  бесконечным  числом  переменных  и  т.  д. 

Двойной  ряд 

  (2)

называется  двойным  рядом  Фурье  функции  f  по  системе  функций 

  (3)

Коэффициенты  этого  ряда,  вычисляются  по  по  формуле 

  (4)

называются  коэффициентами  Фурье  функции  f  по  системе  (3)  [1,  c.  257].

К  примеру,  двойные  ряды  Фурье  применяются  для  трансформации  потенциальных  полей.

Также,  двойные  ряды  Фурье  применяются  при  решении  задач  в  сферической  геометрии.  Рассмотрим  этот  алгоритм  более  подробно  [2,  c.  128].  Известно  ,что  все  ультрасферические  многочлены  в  сферической  системе  координат  представляются  через  комбинации  многочленов  Чебышева  первого  рода. 

Введем  новую  переменную    Заменой    весовая  функция  для  всех  α  становится  тригонометрическим  многочленом.  При  этом  ультрасферический  многочлен  (cos  θ)  становится  четной  функцией  по  θ  и  может  быть  представлен  в  виде  конечного  косинус-многочлена  (ряда  по  многочленам  Чебышева  1  рода)  на  отрезке   

Следовательно,  если  непрерывная  функция  задана  аналитически  на  отрезке  ,  и  ее  модуль  непрерывности  удовлетворяет  необходимым  условиям  сходимости,  то  ее  разложение  по  ультрасферическим  многочленам  есть  четная  функция  по  переменной  θ  на  отрезке 

  Причем,  поскольку  на  отрезке    ряд  по  многочленам  Чебышева  1  рода  сходится  во  всех  точках,  включая  концы,  то  этими  же  свойствами  будет  обладать  ряд  по  тригонометрическим  многочленам.

  (5).

Однако  на  отрезке    могут  существовать  четные  2  —  периодические  функции,  например 

Возникает  вопрос,  как  их  разложить  в  ряд  Фурье  на  этом  отрезке.  Конечно,  формально  любая  функция  ,  интегрируемая  в  пределах  от  0  до  π,  может  быть  представлена  на  этом  отрезке  посредством  ряда  (5)  без  какого  бы  то  ни  было  заранее  вводимого  предположения  о  ее  четности,  нечетности,  периодичности  и  вообще  определенности  где-нибудь  вне  этого  интервала.  Но  в  этом  случае  не  будет  даже  гарантии  сходимости  разложения  типа  (5),  поскольку  свойства  ряда  Фурье  будут  полностью  зависеть  от  вида  функции  .  В  этом  состоит  проблема  разложения  на  отрезке    произвольных  аналитических  функций  по  ультрасферическим  многочленам.

Новый  подход  к  решению  этой  проблемы  изложен  в  работах  [4,  c.  1964].  С  учетом  замены  переменной    многочлены  Чебышева  2  рода  можно  записать  в  виде:

Отметим  тот  факт,  что  нечетная  функция  преобразуется  в  четную  функцию    делением  на 

  Рассмотрим  вспомогательную  функцию  =    f  Функция    удовлетворяет  необходимым  условиям  непрерывности,  поэтому,  учитывая  нечетность  этой  функции,  имеем  сходящееся  разложение 

=    f

  f

Далее  находим 

Условия  сходимости  рядов  Фурье  по  многочленам  Чебышева  2  рода  во  внутренних  точках  сегмента  ортогональности  аналогичны  условиям  сходимости  для  тригонометрических  рядов  Фурье.  Сходимость  в  концевых  точках  имеет  место  при  дополнительных  ограничениях  на  разлагаемую  функцию  [5,  c.  3]. 

При  решении  уравнений  гидротермодинамики,  записанных  в  сферических  координатах  на  сфере,  традиционно  в  качестве  базиса  используются  сферические  гармоники,  являющиеся  собственными  функциями  сферического  оператора  Лапласа. 

Как  показано  в  работе  [4,  c.  1968],  сферические  функции  однозначно  выражаются  через  многочлены  Чебышева  1  рода,  и  по  присоединенным  многочленам  Лежандра.  В  качестве  примера  проведен  численный  эксперимент  по  разложению  в  двойной  ряд  Фурье  орографии  земной  поверхности  (высоты  поверхности  Земли  над  уровнем  моря). 

Максимальная  абсолютная  ошибка  при  восстановлении  орографии  по  двойному  ряду  Фурье  не  превышала  10—8  метров.

Необходимо  отметить,  что  существует  метод  специальных  рядов  для  представления  решения  нелинейных  уравнений  с  частными  производными,  получивший  свое  развитие  после  работы  Сидорова  [3,  с.  106].

Таким  образом  можем  сделать  вывод  о  зничимости  двойных  рядов  и  о  широте  их  применений.

Список  литературы:

1.Воробьев  Н.Н.  Теория  рядов:  определение,  сходимость,  критерии,  свойства  //  Лань.  2002.  —  Г.  13.  —  №  1—10.  —  С.  233—258.

2.Сеге  Г.  Ортогональные  многочлены.  М.:  Физматгиз,  1962.  —  128  с.

3.Сидоров  А.Ф.  О  некоторых  представлениях  решений  квазилинейных  гиперболических  уравнений  //  Численные  методы  механики  сплошной  среды.  Новосибирск,  —  1975.  —  Т.  6,  —  №  4.  —  С.  106—115. 

4.Фролов  А.В.,  Цветков  В.И.  О  гармоническом  анализе  действительных  функций  на  сфере  //  Ж.  вычисл.  матем.  и  матем.  физ.  —  2004.  —  Т.  44.  —  №  11.  —  С.  1964—1971.

5.Фролов  А.В.,  Цветков  В.И.  О  равномерном  приближении  геофизических  полей  на  сфере  тригонометрическими  многочленами  //  Докл.  РАН.  —  2006.  —  Т.  408.  —  №  4.  —  С.  1—4.