ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ И ДИСКРЕТНОЙ МОДЕЛИ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ

Тимченко Ольга Викторовна

научный руководитель, канд. физ.-мат. наук, СКФУ, филиал, РФ, г. Пятигорск

E-mail: popeye125544@mail.ru

Джамалов Адиль Чубанович

студент 3 курса, инженерного факультета, Северо-Кавказский федеральный университет, филиал, РФ, г. Пятигорск

Пирмагомедов Олег Владимирович

студент 3 курса, инженерного факультета, Северо-Кавказский федеральный университет, филиал, РФ, г. Пятигорск

Чеченова Миранда Мирановна

студент 1 курса, экономического факультета, Северо-Кавказский федеральный университет, филиал, РФ, г. Пятигорск

Трегуб Александра Дмитриевна

студент 2 курса, инженерного факультета, Северо-Кавказский федеральный университет, филиал, РФ, г. Пятигорск

В данной работе рассмотрено построение математической модели теплопроводности пластины с конечными размерами.

Рисунок 1. Физическая модель объекта

Параметры пластины приведены в таблице 1.

Таблица 1.

Начальные параметры пластины

где:

Т — входное воздействие в виде заданной температуры;

1 — температура поверхности равна 0;

0 — поверхность теплоизолированная.

Задана прямоугольная пластина c линейными размерами и величиной входного воздействия, вычисляемым по формулам:

;

;

;

, где N =2

Математической моделью технологического процесса (объекта управления) называют систему математических отношений между входными и выходными параметрами процесса и конструктивными величинами, показателями качества, а также ограничения, накладываемые на параметры.

При изучении любого физического или другого какого-либо явления сначала получают качественное описание проблемы. На этапе моделирования качественное представление переходит в количественное. Одновременно определяют функциональные зависимости между переменными, и для каждого варианта входных данных находят выходные данные системы.

Для перехода от содержательного описания к математической модели необходимо:

1.  провести декомпозицию объекта, разделив его на элементарные блоки, узлы, контуры, процессы, элементы и составить структурную схему объекта;

2.  для каждого блока, элемента, контура составить уравнения, описывающие его поведение и определить математические соотношения между параметрами и показателями процесса;

3.  записать все математические соотношения между элементами системы управления.

Для математического описания процессов, происходящих в объекте необходимо использовать:

·     уравнения материального, теплового и энергетического баланса с учетом гидродинамики потоков и физических свойств жидкостей;

·     ограничения на параметры процесса.

При построении математической модели используются:

1.  алгебраические уравнения для описания статических, стационарных, режимов работы;

2.  обыкновенные дифференциальные уравнения для описания динамических объектов с сосредоточенными параметрами или с распределенными параметрами;

3.  дифференциальные уравнения в частных производных в случае описания статических моделей объектов с распределенными параметрами по нескольким координатам или для описания динамических нестационарных процессов объектов с распределенными параметрами [2, с. 63].

Уравнение, описывающее процесс распространения температуры в пластине запишем в виде

- Общий вид уравнения теплопроводности

                                                                                                       (1)

уравнение теплопроводности для прямоугольной системы координат

где: 0 <x<L_x, 0 <y<L_y, 0 <z<L_z; a — коэффициент температуропроводности;

 — температурное поле пластины;

τ — время.

Запишем граничные условия:

Пластина изготовлена из стали, поэтому для неё принимаем следующие значения: коэффициент температуропроводности а = 0,000019 м²/с.

Для реализации модели проведем дискретизацию (рис. 2). Разобьём пластину на зоны по всем трём пространственным координатам:

по оси X с шагом дискретизации ;

по оси Y с шагом дискретизации ;

по оси Z с шагом дискретизации .

Шаг дискретизации по времени возьмём  с.          

Определим линейные размеры пластины:

L_x = 0,01*2 = 0,02 м,

L_y = 0,02*0,4 = 0,008 м,

L_z = 0,02*0,2 = 0,004 м.

Шаги дискретизаций высчитаем по формулам:

м,

м,

м.

Рисунок 2. Дискретная модель пластины

Входное воздействие в виде заданной температуры . Тогда получим

 (2)

где:  — разность температур в соседних точках через промежуток времени τ.

Температура в заданной точке вычисляется по формуле:

.

Учитывая граничные условия, циклы для вычисления температуры по всем трём пространственным координатам будут иметь вид:

по оси X;

по оси Y;

по оси Z.

График изменения температуры для точки с течением времени имеет вид (рис. 3):

Рисунок 3. График изменения температуры пластины

В ходе работы была построена математическая модель нестационарного температурного поля внутри пластины заданных размеров. Для вычисления температурных полей можно выбрать императивный, структурированный, объектно- ориентированный язык Delphi, и среду разработки Embarcadero.

Список литературы: 1.    Базаров И.П. Термодинамика / М.: Высшая школа, 1983. — 344 с.2.    Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование / М.: Высш. Шк., 1990. — 544 с.3.    Першин И.М Системы с распределенными параметрами. Анализ и синтез; М.: Научный мир, 2012. — 476 с.4.    Сухарев М.В. Основы Delphi. Профессиональный подход; М.: Наука и техника, 2004. — 600 c.