О СВОЙСТВАХ f-КОЛЕЦ ЧАСТНЫХ ПЕРВИЧНЫХ КОЛЕЦ

ON PROPERTIES OF f-RINGS OF QUOTIENTS OF PRIME RINGS

Vladimir Mushrub

candidate of Science, assistant professor of the Academic Department of Mathematical Methods in Economics of the Russian Plekhanov University of Economics,

Russia, Moscow

Galina Ivankova

senior lecturer of the Mathematics Department of the Russian Plekhanov University of Economics,

Russia, Moscow

Ekaterina Mochalina

candidate of Science, assistant professor of the Mathematics Department of the Russian Plekhanov University of Economics,

Russia, Moscow

АННОТАЦИЯ

Пусть B – первичное кольцо и f – автоморфизм кольца B. Целью работы является дать определение левого (мартиндейловского) f‑кольца частных кольца B и доказать некоторые его свойства. Используемый подход к построению кольца частных, связан не с инъективными оболочками, а с фильтрами идеалов. В конце работы приведена гипотеза, для доказательства которой требуются результаты данной работы. Основными результатами работы являются теоремы 1 и 2. В частности, теорема 2 утверждает, что центры левого и правого колец изоморфны.

ABSTRACT

Let B be a prime ring and f be an automorphism of B. The goal of the present paper is to define the left (Martindale) f-ring of quotients of B and prove some its properties. The approach to the construction of a ring of quotients is not connected with the injective envelope, but deals with filters of ideals. At the end of the work is given the hypothesis, to prove which we need the results of this work. The main results are Theorems 1 and 2. In particular, Theorem 2 states that the centres of the left and right rings are isomorphic.

Ключевые слова: ассоциативные кольца; кольца частных; первичные кольца.

Keywords: associative rings; rings of quotients; of prime rings.

Всюду в данной статье все кольца ассоциативны. Кроме того, предполагается, что все кольца обладают единицей, и все гомоморфизмы колец сохраняют единичный элемент.

Определение 1. Пусть R – кольцо и F – инъективный эндоморфизм кольца R. Подмножество N R будем называть F-подмножеством, если , идеал, являющееся F-подмножеством, будем называть f-идеалом [3; 4; 6]. Кольцо R называется F-первичным, если произведение двух любых ненулевых F-идеалов в нем отлично от нуля.

Лемма 1. Для любого кольца A и любого автоморфизма f этого кольца следующие условия (1) – (5) эквивалентны.

(1) кольцо A является f‑первичным;

(2) для любых двух левых f‑идеалов I и J кольца A из равенства  следует, что либо  либо

(3)  для любых двух ненулевых элементов ;

(4)  для всякого ненулевого f‑идеала I кольца A;

(5)  для всякого ненулевого f‑идеала I кольца A.

Пусть B – кольцо и f – автоморфизм кольца B. Обозначим через Φ (B) – множество всех ненулевых f-идеалов кольца B.

Кольца частных продолжают активно изучаться в последнее время [1; 2]. Сейчас мы определим левое f-кольцо частных кольца B.

Обозначим через M множество всех пар (I, α), где I Φ(B) и α:  – гомоморфизм левых B‑модулей. Так как кольцо B является f‑первичным, то  для любых двух идеалов I, J  Φ (B). Определим отношение эквивалентности θ на множестве M: положим (I, α)  (J, β), если существует ненулевой f-идеал K такой, что α(x) β(x) для всех .

Обозначим класс эквивалентности, содержащий пару (I, α), как [I, α], а фактор-множество  обозначим через . Для того, чтобы множество  превратилось в кольцо, определим на нем следующие операции

Определение 2. Кольцо  называется левым (мартиндейловским) f‑кольцом частных кольца B.

Замечание. Описанная выше конструкция кольца частных может быть формализована как прямой предел

Если каждый идеал кольца B является f-идеалом, то кольцо  совпадает с левым кольцом частных в смысле Мартиндейла.

Правое f‑кольцо частных кольца B в смысле Мартиндейла определяется аналогично:

Лемма 2. Пусть I Φ(B), J – левый идеал кольца B и  – гомоморфизмы левых B‑модулей. Если  для всех элементов , то .

Доказательство. Пусть . Если , то  и . Следовательно,  для всех элементов . По лемме 1 , поэтому .

Предложенное выше f‑кольцо частных обладает некоторыми свойствами мартиндейловского кольца частных первичного кольца. В частности, справедлива следующая теорема:

Теорема 1. Кольцо  может быть вложено в максимальное левое кольцо частных  и кольцо B является подкольцом кольца .

Доказательство. Если I Φ(B), то по лемме 1  и поэтому I является плотным правым идеалом кольца B. Следовательно, каждому элементу  можно сопоставить элемент  такой, что  для всех элементов . Несложно проверить, что отображение  – корректно определенный инъективный гомоморфизм колец. При этом по построению

 существует идеал I Φ(B) такой, что }.

Каждый элемент  задает гомоморфизм левых B‑модулей

Так как B Φ(B), то класс эквивалентности  принадлежит f‑кольцу частных , что дает естественное вложение колец .

В дальнейшем будем отождествлять кольца  и .

Если , то обозначим через  сумму всех f‑идеалов I кольца B таких, что . Заметим, что  является f‑идеалом и . Таким образом,  – наибольший идеал среди f‑идеалов I кольца B, обладающих свойством .

Если  то положим . Как известно, автоморфизм  единственным образом продолжается до автоморфизма кольца частных , это продолжение будет обозначаться тем же символом . Так как  и , то

Рассмотрим любой элемент  и заметим следующее: если  то  и поэтому справедливы включения  и . Следовательно,  и . Отсюда  и . Таким образом,  может рассматриваться как автоморфизм кольца .

Предложение 1. Введенное выше f‑кольцо частных обладает следующими свойствами.

(1). Для любых элементов  существует идеал I Φ(B) такой, что  для всех номеров

(2). Если для некоторого идеала I Φ(B) и некоторого элемента , то

(3). Если для некоторого идеала I Φ(B) и некоторого элемента , то

(4). Если I Φ(B) и  – гомоморфизм левых B‑модулей, то найдется элемент такой, что для всех элементов .

(5). f‑кольцо частных  является f‑первичным.

Доказательство. (1). В качестве требуемого идеала можно взять идеал

Здесь важно, что кольцо B f‑первично и

(2). Это следует из леммы 2 и определения f‑кольца частных.

(3). Заметим, что  – левый f‑идеал кольца B и . Так как кольцо B f‑первично, то . Следовательно,  и .

(4). Это утверждение непосредственно следует из определения 2.

(5). Пусть a и b – два ненулевых элемента кольца . Тогда из пункта (2) следует, что  и  – ненулевые левые f‑идеалы. Так как кольцо B f‑первично, получаем, что . Отсюда следует, что  и в силу леммы 1 кольцо  является f‑первичным.

Через  и обозначим соответственно центр полного левого и правого колец частных кольца B.

Введем следующее обозначения:

 и

Теорема 2.

(1). Если , то множество  является f-идеалом.

(2).  – центр кольца .

(3). Если , то  тогда и только тогда, когда  – гомоморфизм бимодулей над кольцом B.

(4). Кольца  и  изоморфны.

Доказательство. (1). Пусть . Тогда включение  равносильно включению . Следовательно, Φ(B).

Утверждение (2) следует из утверждения (1) так как  является централизатором множества B в кольце частных .

(3). Если  – гомоморфизм бимодулей над кольцом B, то, как легко видеть,  и поэтому  Обратное следует из утверждения (1).

(4). Используя утверждение (3) можно доказать, что оба кольца  и  изоморфны кольцу

В заключении статьи сформулируем гипотезу, проверке которой будут посвящены последующие научные работы авторов.

Пусть R – кольцо и F – инъективный эндоморфизм кольца R. Предположим, что кольцо косых многочленов R [x, F] является полупервичным. Пусть (A, f ) – расширение Кона-Джордана пары (R, f), описанное а работах [3; 4] и [5]. Обозначим через Q полное левое кольцо частных кольца A и через  – ортогональное пополнение центра кольца косых многочленов Лорана  в полном левом кольце частных кольца  Тогда расширенный центроид кольца R [x, F] изоморфен полному левому классическому кольцу частных .

Определение классического кольца частных может быть найдено в [7].

Список литературы:

1. Балаба И. Н., Канунников А.Л., Михалев А.В. Градуированные кольца частных // Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения Материалы XIII Международной конференции, Тула, 2015. – Тула, 2015. – С. 12–15.
2. Балаба И.Н., Канунников А.Л., Михалев А.В. Кольца частных градуированных ассоциативных колец. I // Фундаментальная и прикладная математика. – 2012. – 17, № 2. – С. 3–74.
3. Мушруб В.А. Эндоморфизмы и радикалы колец: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. – М., 1992. – 11 с.
4. Мушруб В.А. Эндоморфизмы и радикалы колец: дис. канд. физ-мат. наук. – М., 1992. – 158 с.
5. Мушруб В.А., Сухорукова И.В. О решетке f-замкнутых правых идеалов // Естественные и математические науки в современном мире: сб. ст. по матер. XLIV междунар. науч.-практ. конф. – Новосибирск: СибАК, 2016. – С. 118–125.
6. Сухорукова И., Мушруб В. The Jacobson radical and ring endomorphisms // Уральский научный вестник. – 2016. – Т. 4. – С. 155–164.
7. Туганбаев А.А. Теория колец. Арифметические кольца и модули. – М.: МЦНМО, 2009. – 472 с.