МЕТОДИКА  ВОССТАНОВЛЕНИЯ  ПРОФИЛЯ  ПОКАЗАТЕЛЯ  ПРЕЛОМЛЕНИЯ  ПО  УГЛУ  РЕФРАКЦИИ

Андросик  Андрей  Борисович

канд.  техн.  наук,  доцент  МГОУ,  г.  Москва

Воробьев  Сергей  Андреевич

канд.  техн.  наук,  профессор  МГОУ,  г.  Москва

Мировицкая  Светлана  Дмитриевна

канд.  техн.  наук,  доцент  МГОУ,  г.  Москва

E-mail: 

METHOD  OF  RECONSTRUCTION  OF  THE  REFRACTIVE  I  NDEX  PROFILE  BY  THE  ANGLE  OF  REFRACTION

Andrey  Androsik

candidate  of  Technical  Sciences,  Associate  Professor  of  MSOU,  Moscow

Sergei  Vorobev

candidate  of  Technical  Sciences,  Professor  of  MSOU,  Moscow

Svetlana  Mirovitskaya

candidate  of  Technical  Sciences,  Associate  Professor  of  MSOU,  Moscow

АННОТАЦИЯ

Предложена  методика  восстановления  распределения  показателя  преломления  волоконного  световода  по  углу  отклонения  зондирующего  пучка.  Исследована  точность  вычисления  профиля,  которая  зависит  от  точности  определения  угла  отклонения  луча  и  от  точности  фиксирования  точки  входа  этого  луча.

ABSTRACT

New  method  of  reconstruction  of  the  refractive  index  profile  of  optical  fibers  by  the  deviation  angle  of  the  probe  beam  is  proposed.  The  accuracy  of  the  calculations  of  the  profile  is  investigated.  It  depends  on  the  accuracy  of  determining  the  angle  of  deflection  and  the  accuracy  of  fixing  the  entry  point  of  the  beam.

Ключевые  слова:  волоконный  световод,  рефракция,  распределение  показателя  преломления.

Keywords:  optical  fiber,  refraction,  refractive  index  profile.

Как  показали  исследования  рефракционного  метода  измерения  геометрических  и  оптических  характеристик  волоконных  световодов  (ВС)  [1,  с.  52,  2,  с.  84],  при  зондировании  градиентных  ВС  угол  отклонения  луча  записывается  в  виде  интеграла  Абеля,  описывающего  зависимость  угла  рефракции  от  показателя  преломления  исследуемой  осесимметричной  неоднородности.  Такой  интеграл  имеет  особенность  в  одном  из  пределов  интегрирования,  и  точность  его  вычисления  зависит  от  способа  разбиения  интервала  интегрирования.

В  случае  ВС  с  обобщенно-эллиптическим  профилем  показателя  преломления  угол  рефракции  описывается  квадратурной  формулой  Абеля:

где:  y  —  координата  точки  входа  зондирующего  пучка  в  ВС; 

  —  значения  показателя  преломления  на  границе  и  на  оси  ВС,  соответственно; 

  —  радиус  световода; 

  —  регулируемый  параметр; 

  —  параметр,  характеризующий  относительную  разность  показателей  преломления  на  оси  и  на  поверхности  световода; 

  —  параметр,  вычисляемый  из  уравнения

(

Кроме  того,  введены  следующие  обозначения:

откуда  получается:

.

Произведя  подстановки  в  формуле  (1),

,  ,  ,

можно  записать:

Для  упрощения  вводится  следующее  обозначение

Анализ  этого  интеграла  показывает,  что    зависит  от  отношения  расстояния    от  оптической  оси  до  точки  входа  луча  в  неоднородность  к  радиусу    оптического  волокна.  При  сохранении  отношения    величина    не  изменяется  с  уменьшением  радиуса.  Кроме  того,  как  видно  из  интегральной  формулы  (1),  значение    зависит  от  параметра  ,  характеризующего  разность  показателей  преломления  на  границе  n_b  и  на  оси  n₀  волокна.

В  задаче  определения  профиля  показателя  преломления  волокна  по  заданной  величине  угла    отклонения  зондирующего  луча  точность  вычисления    зависит  как  от  точности  определения  ,  так  и  от  точности  фиксирования  точки  входа  зондирующего  луча  .  При  пошаговом  изменении  точки  входа  ,  если  не  обеспечить  специальных  мер,  величина    определяется  с  точностью  до  шага,  а  это,  как  правило,  величина  порядка  0,005.  При  такой  ошибке  особые  затруднения  может  вызвать  расчет  показателя  преломления  в  наружной  зоне.

Поскольку  порядок  достижимой  точности  падает  по  мере  приближения  к  радиусу  сердцевины  волокна  (по  отношению  к  точности  внешних  слоях)  и  определяется  точностью    при    близком  к    волокна,  следует  особенно  тщательно  фиксировать  значение  .  При    наблюдается  зона  ВС,  которую  невозможно  определить,  поэтому  восстановление  показателя  преломления  в  этой  точке  по  ступенчато-зонной  методике  некорректно.  В  этой  точке  показатель  преломления  следует  находить  экстраполяцией  по  значениям  показателя  преломления  вблизи    –  0.

Как  видно  из  уравнения  (1),  угол  рефракции  в  общем  виде  можно  записать  следующим  образом:

Если  ввести  обозначения

то  получается

Разделив  числитель  и  знаменатель  (3)  на  ,  получается

где:    —  текущее  значение  радиуса, 

  —  координата  точки  входа  луча  в  заготовку  единичного  радиуса, 

  —  профиль  показателя  преломления  заготовки,  а    —  вычисляется  из  уравнения

Итак,  для  решения  обратной  задачи  восстановления  профиля  показателя  преломления  задаются    координат  точек  входа  луча  ,  для  которых  известны  углы  отклонения  луча  .  При  достаточно  больших  значениях    в  образованных  разбиением  ,    кольцевых  зонах,  показатель  преломления  можно  считать  постоянным.  В  зоне    вычисляется  ,  при  котором  узкий  луч  при  входе  в  заготовку  в  точке  с  координатой    отклонится  на  угол    Тогда  при 

где  .  Тогда

откуда  следует

При  входе  луча  в  заготовку  в  точке    путь  его  складывается  из  участка  в  зоне    и  участка  в  зоне  ,  поэтому

Отсюда  получается

Для  луча  с  координатой  точки  входа    эквивалентный  уровень  ступени  показателя  преломления  для  зоны  3  имеет  вид:

Аналогично  для  зоны    уровень  ступеньки  показателя  преломления,  эквивалентный  профилю  показателя  преломления  в  этой  зоне 

Приведенные  аналитические  соотношения  могут  быть  применены  для  сопоставления  исходного  (фактического)  профиля    и  профиля,  полученного  при  решении  обратной  задачи.

Если  в  качестве  исходного  при  модельных  исследованиях  принять  обобщенно-эллиптических  профиль  показателя  преломления  при    Отсюда  фактический  профиль  имеет  вид:

Рисунок  1.  Профили  показателя  преломления    и 

Разбиение  на  зоны  выполняется  с  постоянным  шагом,  а  количество  зон  равно  5,  10,  15,  20,  ….  Так  при  разбиении  на  5  зон  получаются  результаты,  представленные  в  табл.1. 

Таблица  1.

Результаты  разбиения  расчетной  области  на  пять  зон

На  рис.1  приведены  профили    и  ,  откуда  видно,  что  ошибка    восстановления  при    и  в  виде  профиля  (4)  в  некоторых  точках  примерно  равна  0,04.  С  увеличением    ошибка  уменьшается  примерно  вдвое.  В  табл.2,  3  приведены  расчетные  ступенчатые  профили  при  10  и  20,  соответственно.

Таблица  2.

Расчетный  ступенчатый  профиль  при  К=10

Таблица  3.

Расчетный  ступенчатый  профиль  при  К=20

На  рис.  2,  а,б,в  представлены  графики  для:  а)  5;  10;  б)  5;  15;  50  и  в)  ,100  и  200,  соответственно.  При    уровень  ошибки  составляет  примерно  . 

На  рис.  3  приведены  графики    и  линейная  аппроксимация    профиля  показателя  преломления  при  . 

Графическая  зависимость  ошибки  аппроксимации  при    5,  10,  20,  40  показана  на  рис.4.  При  40  ошибка  менее    и  максимальна  на  наибольшей  крутизне  .  Сопоставление  графиков    при  5,  10,  20,  40  показывает,  что  увеличение  количества  зон  в  два  раза  снижает  уровень  ошибки  восстановления  профиля  более  чем  в  два  раза.

                                       а)                                             б)

в)

Рисунок  2.  Исследование  ступенчатых  аппроксимаций  профиля  показателя  преломления

Рисунок  3.  Расчетные  графики    и  линейной  аппроксимации    профиля  показателя  преломления

Рисунок  4.  Графическая  зависимость  погрешности  аппроксимации  при  различных  К

а)

б)

Рисунок  5.  Результаты  восстановления  профиля  показателя  преломления  для  реальной  заготовки

Таблица  4.

Результаты  восстановления  профиля  показателя  преломления

Результаты  восстановления  профиля  показателя  преломления  для  реальной  заготовки  представлены  в  табл.4,  а  также  на  рис.  5.  Исследования  показали,  что  погрешность  восстановления  профиля  показателя  преломления  волоконного  световода  уменьшается  с  ростом  количества  зон  разбиения.

Список  литературы:

1.Андросик  А.Б.,  Воробьев  С.А.,  Мировицкая  С.Д.  Рефракционный  метод  исследования  волоконных  световодов.  Lambert  Acamic  Publisting  2012  —  183  с.

2.Лазарев  Л.П.,  Мировицкая  С.Д.  Контроль  геометрических  и  оптических  параметров  волокон.  М.:  Радио  и  связь,  1988.  —  280  с.