О РАВЕНСТВЕ A^x + B^y = C^z В НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ

ABOUT EQUALITY A^x + B^y = C^z IN NATURAL NUMBERS

Valery Agafontsev

Candidate of Science, retiree,

Russia, Pskov

АННОТАЦИЯ

В статье  предложен возможный подход к исследованию равенства , где , основанный на использовании позиционных нумераций и на факте доказательства Последней (Великой) теоремы Ферма по Эндрю Уайлсу. Под понятием позиционные нумерации понимаются позиционные системы счисления с произвольным целочисленным основанием. Предлагаемый подход строится на последовательности утверждений, в которые входят: Лемма 1: Число , где и , в позиционной С-ричной нумерации представимо равенством  , в правой части которого содержится точно  нулей. Лемма 2: Необходимое и достаточное условие выполнения равенства , в котором – любые ненулевые натуральные взаимно простые числа, , представимо триадой равенств: ;  ;  , где ;  ; . Следствие: Равенство , в котором ;  ;  , является общим для любых степеней ненулевых натуральных взаимно простых чисел  и , удовлетворяющих равенству  , где  , . Теорема 1: Равенство  не выполнимо для любых наборов чисел  ;  , с которыми выполнялись  бы  равенства  и  при условиях: ;  ;  . Теорема 2: Равенство  , в котором ;  , не выполнимо для любых натуральных взаимно простых чисел . Теорема 3: Равенство  , в котором  ;  , выполнимо для составных натуральных чисел , имеющих общий делитель. Утверждение: Равенство , в котором ;  , выполнимо только для составных натуральных чисел , имеющих общий делитель.

ABSTRACT

The article proposes a possible approach to the study of the equality , where . This approach is based on the use of positional numbering and on the fact of the proof of the Last (Great) Fermat theorem according to Andrew Wiles. Positional numbering refers to positional number systems with an arbitrary integer base. The proposed approach is based on a sequence of statements, which include: Lemma 1: The number  where and , in the positional С-ary numbering is represented by the equality , the right side of which contains  zeros. Lemma 2: A necessary and sufficient condition for the fulfillment of equality , in which  – are any nonzero natural coprime numbers, , can be represented by the triad of equalities: ; ; , where  ; ; . Corollary: The equality , in which ; ; , is common for any powers of nonzero natural coprime numbers A and B satisfying the equality , where x, y ∈ ℕ, x≥1, y≥1. Theorem 1: The equality   is not satisfiable for any sets of numbers ; , with which the equalities   and  under the conditions:  ; ;  . Theorem 2: Equality  , in which ; , is not feasible for any coprime natural numbers . Theorem 3: Equality ,    in which ; , is feasible for composite natural numbers  having a common divisor. Statement: Equality , in which ; , is feasible only for composite natural numbers   having a common divisor.

Ключевые слова: позиционные нумерации с произвольным целочисленным основанием, гипотеза Била, лемма ʺАВСʺ.

Keywords: positional numbering with an arbitrary integer base, Beal's conjecture, lemma ʺABCʺ .

Л Е М М А 1. Число , где  и , в С-ричной позиционной нумерации представимо равенством , в правой части которого точно z нулей.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Между записью в позиционной С-ричной нумерации (далее в С-нумерации) натурального числа А и его количественным эквивалентом устанавливается такое соответствие:

Записать некоторое число  А в С-нумерации означает определить коэффициенты  в разложении этого числа по степеням C и выписать эти коэффициенты в соответствии с весами С-ричных разрядов.

Выполним доказательство леммы 1 методом математической индукции.

База индукции. При  получаем:

В правой части равенства один нуль, значит, база индукции есть.

Гипотеза индукции. Предположим, что при  в правой части равенства

будет точно k нулей.

Индукционный переход. Докажем, что утверждение леммы будет верно для  Действительно,

Утверждение доказано, то есть число , где  и , в позиционной ричной нумерации представимо равенством , в правой части которого содержится точно  нулей.

На примерах двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной нумераций покажем истинность утверждения леммы 1. Действительно:

2 = (10)₂;       2² = (100)₂;        2³ = (1000)₂

8 = (10)₈;       8² = (100)₈;        8³ = (1000)₈

16 = (10)₁₆;     16² = (100)₁₆;      16³ = (1000)₁₆

То есть, в каждом равенстве количество нулей в правой части равно показателю степени левой его части.

Л Е М М А 2. Необходимое и достаточное условие выполнения равенства

,                                                                   (1)

в котором   ̶ суть любые ненулевые натуральные взаимно простые числа, , представимо триадой равенств:

                         (2)

                                                   (3)

где  ℕ₀

Здесь и далее символом ℕ обозначены натуральные, то есть положительные целые числа без нуля. Символом ℕ₀ обозначены натуральные числа  c нулём.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Запишем правую и левую части равенства (1) в позиционной С-ричной нумерации. Получим:

,                                                     ( 4)

где число нулей в правой части равенства (4) в соответствии с леммой 1 равно z.

Из равенства (4) следует необходимое условие его выполнения. Такое условие заключается в том, что:

I. С-ричная запись каждого из чисел  и  в равенстве (4) должна содержать не более, чем z С-ричных разрядов. Действительно, правая часть равенства (4) представляет собой  наименьшее целое С-ричное число, содержащее  разрядов, старший, -й, из которых имеет наименьшее ненулевое значение. Поэтому, если хотя бы одно из чисел  или   будет представляться  С-ричными разрядами, то это сделает равенство (4) невыполнимым, так как левая часть равенства (4) будет заведомо больше его правой части. Следовательно, числа  и  в их С-ричной записи представимы не более, чем  С-ричными разрядами:

                       (5)

Учитывая позиционность С-ричной нумерации, числа  и  в их количественном эквиваленте представимы так:

                                 (6)

Здесь  По условию  следовательно,  

II. В соответствии с равенством (4) поразрядные суммы С-ричных записей правой части равенств (5) должны удовлетворять таким соотношениям:

 где  (7)

Переходя к количественному эквиваленту равенств (7), получим:

  где                                         (8)

Выполнение равенств (6), (8) является не только необходимым, но и достаточным условием выполнения равенства (1). Действительно, если предположить, что равенства (6), (8) выполняются и сложить левые и правые части равенств (6) соответственно, а также учесть равенство (8), то получим равенство (1).

Примечание: доказать необходимость выполнения равенств (8) можно, руководствуясь ещё такими рассуждениями. Подставим в равенство (1) выражения для   и  из равенств (6). Учтём тождество

                                                         (9)

Получим:

                          (10)

Очевидно, что это равенство выполнимо при

                                    (11)

Так как числа  и   ̶ суть любые ненулевые натуральные взаимно простые числа, удовлетворяющие равенству (1), то, следовательно, эти числа могут быть и любыми степенями ненулевых натуральных взаимно простых чисел, например:  и , где ;

Лемма 2 доказана.

Убедимся в истинности леммы 2 на примере таких случаев:

1) ;  ;  ;  

2) ; ; ;  

3) ;  ;  ;     

;  

4) ;  ;  ;

5) ; ; ;

Рассмотрим случай 4. Для этого случая на примере  необходимое и достаточное условие выполнения равенства (1) в соответствии с равенствами (6), (8) запишется так:

Этому условию удовлетворяет тройка чисел (46, 3, 13), в которой Для данного равенства:

Для случая 4 на примере  необходимое и достаточное условие выполнения равенства (1) в соответствии с равенствами (6), (8) запишется так:

Этому условию удовлетворяет тройка чисел (2, 7, 3), в которой Для данного равенства:

Для случая 4 на примере  необходимое и достаточное условие выполнения равенства (1) в соответствии с равенствами (6), (8) запишется так:

Этому условию удовлетворяет тройка чисел (127, 654, 19), в которой Для данного равенства:

Подобным образом можно убедиться в истинности леммы 2 для случаев 1, 2, 3, 5.

Следствие из леммы 2: Равенство

,                                               (12)

в котором , является общим для любых степеней ненулевых натуральных взаимно простых чисел  и , удовлетворяющих равенству , где .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Равенство (12) состоит из величин  и , представляющих в соответствии с равенствами (5), (6) любые ненулевые натуральные взаимно простые числа  и , удовлетворяющие равенству . Так как числа  и  – суть любые ненулевые натуральные взаимно простые числа, то они могут быть и любыми степенями ненулевых натуральных взаимно простых чисел (например:  и , где , удовлетворяющих равенству . Следовательно, равенство (12) является общим для любых степеней ненулевых натуральных взаимно простых чисел  и , удовлетворяющих равенству , где , что и требовалось доказать.

Равенство (12) в зависимости от степеней ненулевых натуральных взаимно простых чисел может быть выполнимым и невыполнимым.

На трёх примерах убедимся в выполнимости равенства (12).

ПРИМЕР 1. Рассмотрим равенства , . Запишем эти равенства в 29-ричной  и в 122-ричной   позиционных нумерациях соответственно. Получим:

;    

Для равенства a): ; . Обозначим значения разрядов, начиная с младшего: ,  и , . Для равенства b): ; . Обозначим значения разрядов, начиная с младшего: ,  и , .

Очевидно, что равенство (12), представимое в этих случаях как     , является общим для степеней ненулевых натуральных взаимно простых чисел , ,  и , , , удовлетворяющих равенству .

ПРИМЕР 2. Рассмотрим равенства , . Запишем эти равенства в 7-ричной  и в 8-ричной   позиционных нумерациях соответственно. Получим:

;      

Для равенства a): ; . Обозначим значения разрядов, начиная с младшего: , ,  и , , . Для равенства b): ; . Обозначим значения разрядов, начиная с младшего: , ,  и , , .

Очевидно, что равенство (12), представимое в этих случаях как     , является общим для степеней ненулевых натуральных взаимно простых чисел , ,  и , , , удовлетворяющих равенству .

ПРИМЕР 3. Рассмотрим равенства , . Запишем эти равенства в троичной  и в 71 ̶ ричной  позиционных нумерациях соответственно. Получим:

;   

Для равенства ; . Обозначим значения разрядов, начиная с младшего: , , ,  и , , , . Для равенства b): ; . Обозначим значения разрядов, начиная с младшего: , , ,  и , , , .

Очевидно, что равенство (12), представимое в этих случаях как     , является общим для степеней ненулевых натуральных взаимно простых чисел , ,  и ,   , , удовлетворяющих равенству .

Отметим, что лемма 2 является обобщением леммы ʺАВСʺ, достаточно полно представленной в работах [1] – [6].

В рассмотренных примерах равенство (12) вытекает из равенств вида , в которых ;   

Докажем невыполнимость равенства (12) в том случае, когда в  гипотетическом равенстве ;   

ТЕОРЕМА 1. Равенство

                                           (13)

не выполнимо для любых наборов чисел ; ,

 с которыми выполнялись бы равенства  и    при условиях: ;    .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. От обратного! А именно: предположим выполнимость равенства (13) при заданных условиях для некоторых наборов чисел ; , с которыми выполнялись бы равенства   и  при условиях: ; ; . Тогда в соответствии с заданными условиями и следствием леммы 2 равенство (13) является общим для любых степеней ненулевых натуральных взаимно простых чисел  и , удовлетворяющих равенству , где ; . Из этого следует, что равенство (13) является общим как для равенства , в котором ; ; , так и для гипотетического равенства

,                                                                 (14)

в котором ; ; . Следовательно, достаточно доказать невыполнимость равенства (13) при заданных условиях для любого из равенств  или . Докажем невыполнимость равенства (13) для гипотетического равенства (14).

В соответствии с леммой 2 необходимое и достаточное условие выполнения данного гипотетического равенства требует выполнения такой триады равенств:

;                               (15)

,                                                (16)

где  ℕ₀

Если бы выполнялись равенства (15), (16), то было бы выполнимо и равенство (14). И наоборот: если бы существовали ненулевые положительные целые числа , удовлетворяющие равенству (14), то выполнялись бы равенства (15), (16). Исходя из этих равенств, число  должно представляться числами ; , . Число  должно представляться числами . Число  должно представляться числами . Следовательно, если бы существовали ненулевые натуральные взаимно простые числа , удовлетворяющие равенству (14), то в силу необходимого и достаточного условия его выполнения эти числа должны представляться набором чисел  Но в соответствии с работами [7], [8] для любых  не существует ненулевых натуральных чисел , с которыми равенство (14) было бы выполнимо. Так как не существует натуральных чисел , удовлетворяющих равенству (14), то не существует и таких наборов чисел ; , которыми числа  в соответствии с необходимым и достаточным условием выполнения равенства (14) должны представляться. Следовательно, при любых наборах чисел ;  триада равенств (15), (16) будет невыполнимой. Невыполнимость равенств (16) означает выполнимость таких неравенств

при любых наборах чисел . Исходя из тождества (9) и включая в него подстановки из этих неравенств, получим:

                                               (17)

Следовательно, исходное предположение о выполнимости равенства (13) для некоторых наборов чисел ;  через последовательность импликаций привело к противоречию, заключающемуся в невыполнимости равенства (13) для любых наборов чисел ; . В силу закона логики – закона противоречия – приходим к выводу об истинности теоремы 1.

ТЕОРЕМА 2. Равенство , в котором , при  не выполнимо для любых натуральных взаимно простых чисел .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим выполнимость равенства , в котором , при  хотя бы для одного набора чисел . В этом случае из равенств (6) леммы 2 должна следовать выполнимость такого равенства:

                                       (18)

Но правая часть этого равенства, исходя из выражения (17) и в соответствии с теоремой 1, для любых наборов чисел ;  не равна числу . Следовательно, . Это означает, что исходное утверждение, основанное на предположении выполнимости равенства  при  хотя бы для одного набора чисел , через последовательность импликаций привело к противоположному утверждению. В силу закона логики – закона противоречия - приходим к выводу об истинности теоремы 2.

ТЕОРЕМА 3. Равенство , в котором , при , выполнимо для составных натуральных чисел , имеющих общий делитель.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем, что равенство , в котором все показатели степени больше 2 и , может быть порождено, например, одним из таких равенств:

;    ,

в которых  и один из показателей  или  или  равен 2, а два других – больше 2.

Для случая : умножим левую и правую части на число ; для случая  - на число . Получим:

Обозначим:

для

для

Для , так как  и . Для , так как  и . С учётом этих обозначений равенства  и  запишутся так:

                                                                (19)

Равенство (19) соответствует заключению теоремы 3, так как в нём , ,  и числа  являются составными натуральными числами, имеющими общий делитель, что и требовалось доказать.

Приведём примеры, показывающие истинность теоремы 3. Исходя из равенств  и  и выполняя процедуры, подобные приведённым выше, получим соответственно:

Отметим, что равенство , в котором   и , может быть порождено не только рассмотренными равенствами вида a) и b). Примером другого способа получения равенства  с показателями степени, большими 2, является числовое равенство  Умножим левую и правую его части на  Получим равенство

Далее, действуя как и в случае с равенством b), получим

Очевидно, как и в случаях с равенствами a) и b), члены этого равенства представляются составными натуральными числами, имеющими общий делитель и находящимися в степени, большей 2.

УТВЕРЖДЕНИЕ. Равенство , в котором  ;  , выполнимо только для составных натуральных чисел , имеющих общий делитель.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сопоставим теоремы 2 и 3.

По теореме 2: Равенство , в котором ;  , не выполнимо для любых натуральных взаимно простых чисел .

По теореме 3: Равенство , в котором ;  , выполнимо для составных натуральных чисел , имеющих общий делитель.

Из сопоставления теорем 2 и 3 в части их условия и заключения следует истинность утверждения, что и требовалось доказать.

Список литературы:

1. Агафонцев В.В. Лемма «АВС» в исследовании диофантовых равенств // Материалы Международной конференции ʺН.И. Лобачевский и математическое образование в Россииʺ. ̶ Казань, 18-22 октября 2017 г.- Т.2-С. 12-18- Изд-во Казанского ун-та, 2017.
2. Агафонцев В.В. Лемма «АВС» и Последняя теорема Ферма // Материалы III Международной конференции ʺСовременные проблемы физико-математических наук (СПФМН-2-17)ʺ. ̶ Орёл, 23-26 ноября 2017 г.- С. 113-119- Изд-во Орловского гос. ун-та им. И.С. Тургенева, 2017.
3. Агафонцев В.В. Позиционные нумерации в диофантовых равенствах // Материалы IV Всероссийской конференции с международным участием ʺСовременные проблемы физико-математических наук (СПФМН-2018)ʺ. ̶ Орёл, 22-25 ноября 2018 г.- С. 93-100- Изд-во Орловского гос. ун-та им. И.С. Тургенева, 2018.
4. Агафонцев В.В. От позиционных систем счисления к диофантовым равенствам // Инновации в науке: научный журнал  ̶ №8(84). - Новосибирск, Изд. АНС «СибАК», 2018. С. 12-17.
5. Агафонцев В.В. Системы счисления в диофантовых равенствах // Материалы XIII Международной конференции ʺАлгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложенияʺ, посвящённой 85-летию со дня рождения профессора Сергея Сергеевича Рышкова.  ̶ Тула, 25-30 мая 2015 г.- С. 256-259. - Изд-во Тульского гос. пед. ун-та им. Л.Н. Толстого, 2015.
6. Агафонцев В.В. О возможном подходе к доказательству гипотезы Била // Материалы XVI Международной конференции ʺАлгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложенияʺ, посвящённой 80-летию со дня рождения профессора Мишеля Деза.  ̶ Тула, 13-18 мая 2019 г.- С. 223-227. - Изд-во Тульского гос. пед. ун-та им. Л.Н. Толстого, 2019.
7. Wiles, A. Modular elliptic curves and Fermatʼs last theorem. Annals of Mathematics, 143:3 (1995), 443-551.
8. Соловьёв Ю.П. Гипотеза Таниямы и Последняя теорема Ферма. Соросовский образовательный журнал, №2 (1998), 135-138.