К ВОПРОСУ ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ ЗНАЧЕНИЙ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ КОНСТАНТ

ON THE ISSUE OF ESTIMATING THE ACCURACY OF THE VALUES OF FUNDAMENTAL PHYSICAL CONSTANTS

Konstantin Nikonenko

Russia, Moscow

АННОТАЦИЯ

Целью данной работы является уточнение расчетно-аналитическим путем Ньютоновской гравитационной постоянной G, Планковской длины ℓ_P и некоторых других фундаментальных физических констант на основе значений фундаментальных констант и их стандартных неопределенностей, рекомендуемых CODATA 2018. В основе метода лежит использование соотношения величин физических единиц международной СИ и вспомогательной системы единиц эквивалентной СИ, основными единицами которой являются только метр и секунда. Результатом исследования стали значения гравитационной постоянной, Планковской длины и Планковской массы на восемь порядков точнее рекомендуемых CODATE значений, а значения постоянной тонкой структуры, электрической постоянной, магнитной постоянной и характеристического сопротивления вакуума на тринадцать порядков.

Так,  например,  получено  значение  гравитационной   постоянной  с относительной стандартной неопределенностью .

ABSTRACT

The purpose of this work is to refine the Newtonian gravitational constant G, the Planck length, and some other fundamental physical constants by computational and analytical means based on the values of the fundamental constants and their standard uncertainties recommended by CODATA 2018. The method is based on the use of the ratio of the values of physical units of the international SI and the auxiliary system of units equivalent to SI, the main units of which are only the meter and the second. The results of the study were the values of the gravitational constant, Planck length and Planck mass by eight orders of magnitude more accurate than the values recommended by CODATE, and the values of the fine structure constant, electric constant, magnetic constant and characteristic vacuum resistance by thirteen orders of magnitude.

So, for example, the value of the gravitational constant  with relative standard uncertainty .

 

Ключевые слова: Фундаментальные физические константы, гравитационная постоянная, постоянная тонкой структуры, электрическая постоянная, планковская длина, рекомендации CODATA 2018, метод вспомогательной системы единиц, стандартная неопределенность, рекурсивные вычисления.

Keywords: Fundamental physical constants, gravitational constant, fine structure constant, electrical constant, Planck length, CODATA 2018 recommendations, auxiliary system of units method, standard uncertainty, recursive calculations.

 

Ньютоновская гравитационная постоянная G — одна из самых фундаментальных констант природы, но за два столетия экспериментальных усилий ее значение остается наименее точно известным из фундаментальных констант. Расхождение до 0,05% в последних определениях G свидетельствует о том, что в различных существующих методах могут быть необнаруженные систематические ошибки, т.е. экспериментальные методы определения этой константы на современном этапе являются малоперспективными [3], [6], [7], [8], [11].

Так, в [11] сообщается, что достигнутый результат измерения G представляет два варианта, каждый из которых в отдельности имеет в два раза лучшую относительную стандартную неопределенность, но значение этих результатов лежат на противоположных границах стандартного отклонения рекомендуемого CADATA значения.  Таким образом, несмотря на огромную квалифицированную работу результат далек от практического применения.  

Повышение точности, с которой мы знаем гравитационную постоянную, имеет не только чисто метрологический интерес, но также важно из-за ключевой роли, которую G играет в теориях гравитации, космологии, физике элементарных частиц и астрофизике, а также в геофизических моделях. В тоже время ряд фундаментальных констант, связанных с электромагнитными зависимостями из числа рекомендуемых CODATA, имеет точное значение или имеет относительную стандартную неопределенность от 10^-10 до 10^-12 своего значения. Целью данной работы является уточнение расчетно-аналитическим путем значений Ньютоновской гравитационной постоянной G и, соответственно, Планковской длины ℓ_P.

Описание метода

В основе метода уточнения значений фундаментальных физических констант (далее ФФК), примененного автором [4], лежит использование соотношения величин физических единиц международной СИ и вспомогательной системы единиц эквивалентной СИ, основными единицами которой являются только метр и секунда (далее СМС). СМС построена на допущении, что фундаментальные константы G в формуле закона всемирного тяготения Ньютона и К, в формуле закона Кулона, суть коэффициенты согласования принятых в СИ единиц измерения, т.е. для системы СМС они безразмерны и равны 1.

В силу эквивалентности все символьные выражения и отношения физических величин в СИ и СМС имеют одинаковый вид. Для удобства будем обозначать все используемые в данной работе физические величины одинаковыми символами с добавлением для отличающихся по размерности величин в СМС нижнего буквенного индекса ms (метр-секунда).

Определение аналитических взаимозависимостей между значениями физических констант в СИ и СМС

Здесь и далее yравнения связи, определяющие соотношения между физическими величинами, взяты из [9] а исходные для расчетов значения физических величин и стандартной неопределенности не точно определенных величин - согласно рекомендациям CODATE [10].

Гравитационную постоянную G определим с помощью выражения:

Из этого выражения и условия, что постоянная G_ms безразмерна и равна 1 непосредственно следует, что   и      , соответственно. Необходимо отметить, что любое отношение вида , если оно получено для одной и той же константы (одного и того же выражения, включающего несколько констант) при условии, что числитель выражен в СМС, а знаменатель в СИ, есть вариант значения G.

Поскольку , из условия, что K_ms безразмерна и равна 1 непосредственно следует, что электрическая постоянная  . Тогда, в  силу размерности ,  и  должны быть связаны соотношением

где  отношение значения кулона в СМС к кулону в СИ (здесь и далее обозначим это соотношение как  и назовём постоянной электрического заряда).

Известно [9], что

Тогда, полагая отношение заряда электрона в СМС к заряду электрона в СИ как , из равенства:

определяем , т.е.

Следует отметить, что закон кулона в СИ, имеющий вид

будет справедлив в СИ и в виде

Первый этап переопределения значения планковской длины.

Длина волны Комптона и, соответственно, сокращенная длина волны Комптона элементарной частицы определяются выражениями:

  и . Здесь и далее будем обозначать массу большой латинской буквой M, чтобы отличить от обозначения метра - m. Масса элементарной частицы в СМС определяется выражением через соответствующую ей длину волны Комптона:

Выражение для Планковской массы в СИ имеет вид:

 в СМС, соответственно, будет иметь вид:

В силу эквивалентности СИ и СМС отношение массы покоя элементарной частицы к массе Планка можно записать в виде:

или

т.е.

Выражение (6) позволяет рассчитать значение планковской длины с использованием известных значений массы покоя, комптоновской длины волны электрона, мюона, нейтрона, протона и планковской массы.

С учетом границ стандартной неопределенности значений используемых величин мы получим набор значений (косвенных измерений) для дальнейшего расчета:

 по числу используемых элементарных частиц

по числу значений массы соответствующих элементарных частиц с учетом границ стандартной неопределенности u(M):

;

 по числу значений уменьшенной длины волны Комптона соответствующих элементарных частиц с учетом границ стандартной неопределенности  :

 и  по числу значений планковской массы с учетом границ стандартной неопределенности  и :

    

Высший уровень доверия к получаемым значениям определен самим источником исходных данных (CODATE). Таким образом, каждое из значений соответствующего косвенного измерения определяется комбинацией значений вышеприведенных величин, в соответствии с формулой уравнения связи:

 , а .

С использованием метода приведения для косвенных измерений [5, C. 3-6] и в соответствии с [1, C. 9,10],  по формулам

рассчитаем (здесь и далее расчеты выполнялись посредством Mathcad) значение  и его стандартную неопределенность

Т.е., это значение планковской длины  с относительной стандартной неопределенностью - что более чем на порядок точнее рекомендуемого CODATE значения.

Согласно уравнению связи (4) верно утверждение:

что позволяет записать уравнение связи для рекурсивных вычислений в виде:

 - значения планковской длины, вычисленные на предыдущем шаге  где   по числу значений планковской длины с учетом значения планковской длины  и стандартной неопределенности  :

 , а .

Таким образом, продолжая вычисление нижеприведенной рекурсивной функции, получим n последовательных результатов:

 

Каждая ветвь вычисления этой функции уточняет значение планковской длины и его стандартную неопределенность,  при этом    где  .

Число рекурсивных ветвей n ограничим значением, при котором  минимально отлично от 0.

В Таблице 1 представлены результаты описанных расчетов.

Из таблицы следует, что при n=11 мы получаем значение планковской длины промежуточное       со стандартной неопределенностью  и относительной стандартной неопределенностью , что на четыре порядка точнее рекомендуемого CODATE значения.

Таблица 1.

Результаты рекурсивных расчетов значения

n	, m	, m
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

 

Второй этап переопределения значения планковской длины

Для формирования рекурсивной функции вычисления значения планковской длины на втором этапе используем константы точно определенные и определенные с максимально высокой точностью из рекомендуемых CODATE.

Согласно уравнению связи (1) верно утверждение:

что позволяет записать вспомогательное уравнение связи для рекурсивных вычислений в виде:

Ниже приведены варианты расчета значений гравитационной постоянной c учетом границ стандартной неопределенности значений аргументов, используемых в уравнениях связи, и соответствующие им значения планковской длины:

– с использованием  (обозначим так значение обратной зависимости метр-килограмм):

Здесь и далее  -  где   по числу вариантов планковской длины с учетом значения планковской длины  и стандартной неопределенности  , вычисленных на предыдущем шаге

– с использованием значения электронвольта

– с использованием соотношения килограмм-электронвольт:

– с использованием значения кванта магнитного потока Ф_0:

– с использованием значения постоянной Джозефсона:

– с использованием значения постоянной Ридберга время hc (обозначим Ry):

Здесь и далее  -  где   по числу вариантов значений с учетом значения постоянной Ридберга  и его стандартной неопределенности  ,

 -  где   по числу вариантов значений с учетом значения постоянной Ry и его стандартной неопределенности  ,

– с использованием значения энергии Хартри

Здесь и далее  -  где   по числу вариантов значений с учетом значения постоянной  и его стандартной неопределенности  ,

Запишем определенные выше уравнения в общем виде:

Где индекс  , а .

Таким образом, вычисляя нижеприведенную рекурсивную функцию, получим n последовательных результатов:

 

 

Каждая ветвь вычисления этой функции уточняет значение планковской длины и его стандартную неопределенность,  при этом  , где .

Число рекурсивных ветвей n ограничим значением, при котором  минимально отлично от 0.

В Таблице 2 представлены результаты описанных расчетов:

Таблица 2.

Результаты рекурсивных расчетов значения

n	, m	, m
0
1
2
3
4
5
6
7
8

 

Из таблицы следует, что при n=8 мы получаем значение планковской длины  со стандартной неопределенностью   и относительной стандартной неопределенностью .

Соответственно, из уравнения связи (1) определим значение гравитационной постоянной

согласно [1, C.18], суммарная стандартная неопределенность определяется формулой

Т.е. стандартная неопределенность  определяется выражением

при этом относительная стандартная неопределенность

тогда

Переопределение значения постоянной тонкой структуры

В качестве значений косвенных измерений примем варианты расчета значений постоянной тонкой структуры в соответствии с уравнениями связи и рекомендуемыми CODATE значениями аргументов c учетом границ их стандартной неопределенности:

для электрической постоянной вакуума:

, а К=3 по числу значений электрической постоянной с учетом границ стандартной неопределенности :

т.е.

для постоянной Ридберга и комптоновской длины волны электрона:

Здесь и далее  -  где   по числу вариантов значений с учетом значения постоянной Ридберга  и его стандартной неопределенности  ,

Здесь и далее  -  где   по числу вариантов значений с учетом значения постоянной Ридберга  и его стандартной неопределенности  ,

для постоянной Клитцинга

т.е.

для кванта проводимости :

т.е.

для характеристического сопротивления вакуума:

Здесь и далее  -  где   по числу вариантов значений с учетом значения  и ее стандартной неопределенности  ,

т.е.

для постоянной Ридберга время hc R_y:

Здесь и далее  -  где   по числу вариантов значений с учетом значения  и ее стандартной неопределенности  ,

т.е.

для энергии Хартри

здесь и далее  -  где   по числу вариантов значений с учетом значения  и его стандартной неопределенности  ,

т.е.

для вакуумной магнитной проницаемости (магнитной постоянной)

здесь и далее  -  где   по числу вариантов значений с учетом значения  и его стандартной неопределенности  ,

т.е.

Собственно значение постоянной тонкой структуры   где   по числу вариантов значений с учетом значения  и его стандартной неопределенности  ,

т.е.

Таким образом

Где индекс  , а .

рассчитаем согласно (8) и (9) значение  и его стандартную неопределенность

Т.е., мы получаем  значение  постоянной  тонкой  структуры   со стандартной неопределенностью   и   относительной    неопределенностью    .

Для формирования рекурсивной функции вычисления значения постоянной тонкой структуры используем уравнение связи (3) из которого следует, что  есть точная величина.

При этом для электрической постоянной вакуума:

для постоянной Ридберга и комптоновской длины волны электрона:

для постоянной Клитцинга:

для кванта проводимости :

для характеристического сопротивления вакуума:

для постоянной Ридберга время hc R_y:

для энергии Хартри

для вакуумной магнитной проницаемости (магнитной постоянной)

и собственно

Таким образом

Где индекс  , а .

Тогда

 

Каждая ветвь вычисления этой функции уточняет значение постоянной тонкой структуры   и  его  стандартную неопределенность,  при  этом     где  .

Число рекурсивных ветвей n ограничим значением, при котором  минимально отлично от 0.

В Таблице 3 представлены результаты описанных расчетов:

Таблица 3.

Результаты рекурсивных расчетов значения

n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

 

Из таблицы следует, что при n=9 мы получаем значение постоянной тонкой структуры  со стандартной неопределенностью             и относительной неопределенностью .

Т.е.  допустимо полагать точным значением.

Для дальнейшего анализа был произведен расчет значений ряда ФФК на основе вышеприведенных значений  и  и их стандартных неопределенностей  и  в системе СМС с последующим переводом в значения в СИ, а также аналогичный расчет на основе значений и  и их стандартных неопределенностей  и , рекомендуемых CODATE. Другие используемые для расчета значения исходных данных в соответствии с рекомендациями CODATE [10]. Значения стандартной неопределенности рассчитаны в соответствии с  (10).

В Таблице 4 к настоящей статье приведены значения полученных результатов, исходные данные и уравнения связи, в соответствии с которыми были произведены расчеты. Обозначение ФФК без дополнительного нижнего цифрового индекса – для значений рекомендованных CODATE (в графе 6 таблицы обозначены как ), с дополнительным нижним индексом 1 – для значений, рассчитанных по определенным в данной статье значениям Планковской длины и постоянной тонкой структуры (в графе 6 таблицы обозначены как ), с дополнительным нижним индексом 2 – для значений, рассчитанных по рекомендуемым CODATE значениям Планковской длины и постоянной тонкой структуры (в графе 6 таблицы обозначены как ). Индекс i=1…n, где n=24. Для точно определенных CODATE ФФК i=1…k, где k=10, и i=k+1…n для ФФК, значения которых определены со стандартной неопределенностью.

Таблица 4.

Сводная таблица значений ФФК рекомендуемых CODATE, результатов расчетов значений ряда ФФК в СМС и международной СИ и уравнения связи этих расчетов

NN п/п	Наименование	Международная СИ						соотношение значений  СИ и СМС (формула)	система метр-секунда (СМС)
		обозначение[1]	размерность в основных единицах	Формула	Обозн. для ВМНК	Значение	Стандартная неопределенность		Обозначение1	размерность в основных единицах	Формула	Значение	Стандартная неопределенность
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
1	Планковская длина		m							m
2	Постоянная тонкой структуры		б/р							б/р
3	Гравитационная постоянная									б/р		1	exact
		G
4	Килограмм	kg	kg			1
5	Постоянная электрического заряда	EC1								б/р		1	exact
		EC2
6	Ампер	A	A			1
7	Кулон	С				1
8	Вольт	V				1
9	Электрическая постоянная									б/р			exact
10	Коэффициент пропорциональности в законе Кулона								Kms	б/р		1	exact
							1.3
11	Уменьшенная длина волны Комптона электрона		m							m
12	Уменьшенная длина волны Комптона мюона		m							m
13	Уменьшенная длина волны Комптона нейтрона		m							m
14	Уменьшенная длина волны Комптона протона		m							m
15	Постоянная Ридберга		m-1							m-1
16	Постоянная Ридберга для частоты		sec-1							sec-1
17	Скорость света в вакууме	с				299792458	exact		c			299792458	exact
18	Элементарный заряд		A·sec
		е					exact
19	Электронвольт	eV1
		eV2
		eV					exact
20	килограмм-электрон-вольт		kg
							exact
21	Постоянная Дирака
							exact
22	Постоянная Планка
							exact
23	Постоянная Клитцинга	RK1
		RK2
		RK					exact
24	Квант магнитного потока	Φ01
		Φ02
		Φ0					exact
25	Квант проводимости	G01
		G02
		G0					exact
26	Постоянная Джозефсона	Kj1
		Kj2
		Kj					exact
27	Обратная зависимость метр-килограмм	Km1	kg
		Km2
							exact
28	Планковское время.	tP1	sec							sec
		tP2
		tP
29	Планковская масса	MP1	kg
		MP2
		MP
30	Планковский заряд	qP1	A·sec
		qP2
		qP
31	Магнитная постоянная	µ01											exact
		µ02
		µ0
32	Характеристическое сопротивление вакуума	Z01											exact
		Z02
		Z0
33	Постоянная Ридберга время hc	Ry1
		Ry2
		Ry
34	Энергия Хартри	Eh1
		Eh2
		Eh
35	Радиус Бора
36	Мгнитон Бора
37	Отношение заряда электрона к массе									б/р
38	Масса покоя электрона
39	Масса покоя мюона
40	Масса покоя нейтрона
41	Масса покоя протона

 

Верификация полученных результатов.

Для оценки степени близости результатов преобразования и рекомендуемых CODATE значений () использован взвешенный метод наименьших квадратов (ВМНК или WLS) [11].

Для устранения гетероскедастичности и несоразмерности величин весовой коэффициент  установим для точно определенных констант как  и для констант рекомендуемых CODATE со стандартной неопределенностью  как

При этом квадратичный критерий для точно определенных рекомендациями CODATE k физических величин примет вид:

и, соответственно,

а для n-k определенных рекомендациями CODATE с соответствующей относительной стандартной неопределенностью  физических величин примет вид:

и, соответственно,

Отношения  и  в нашем случае и есть показатель доверия к полученным результатам.

В Таблице 5 приведены результаты описанных вычислений.

Таблица 5.

Результаты вычислений

а
u

 

В Таблице 6 приведены значения относительных отклонений расчетных значений от рекомендуемых CODATE для точно определенных ФФК

Таблица 6.

Значения относительных отклонений расчетных значений от рекомендуемых CODATE для точно определенных ФФК

Наименование	i
Элементарный заряд	1
Электронвольт	2
килограмм-электрон-вольт	3
Постоянная Дирака	4
Постоянная Планка	5	0
Постоянная Клитцинга	6
Квант магнитного потока	7
Квант проводимости	8	0
Постоянная Джозефсона	9
Обратная зависимость метр-килограмм	10

 

В таблице 7 приведены значения отклонений расчетных значений от рекомендуемых CODATE по отношению к стандартной неопределенности этих рекомендуемых значений.

Таблица 7.

Значения относительных отклонений расчетных значений ФФК от рекомендуемых CODATE по отношению к стандартной неопределенности

Наименование	i
		значение	в % к	значение	в % к
Планковское время.	11	0.0027917	0.28	0.016667	1.67
Планковская масса	12	0.0078176	0.78	0.041667	4.17
Планковский заряд	13	0.0057145	0.57	134.928572	13492.86
Магнитная постоянная	14	0.0089707	0.90	0.000000	0
Характеристическое сопротивление вакуума	15	0.0111513	1.12	0.017544	1.75
Постоянная Ридберга время hc	16	0.0237531	2.38	85977.0238	8597702.38
Энергия Хартри	17	0.0940760	9.41	32681.5176	3268151.76
Радиус Бора	18	0.0050002	0.50	0	0
Мгнитон Бора	19	0.0357146	3.57	27.964285	2796.43
Отношение заряда электрона к массе	20	0.0188679	1.89	715.339866	71533.99
Масса покоя электрона	21	0	0	1321.96429	132196.43
Масса покоя мюона	22	0	0	8.880952	888.10
Масса покоя нейтрона	23	0.0210527	2.11	524.252631	52425.26
Масса покоя протона	24	0.0196079	1.96	149.627451	14962.75

 

При этом для  отношение  лежит в диапазоне от 0% до 8597702,4 % к соответствующей стандартной неопределенности, рекомендуемой CODATE, тогда как для   отношение  лежит в диапазоне от 0% до 9,4%.

Таким образом, расчетные значения ФФК (), приведенные в Таблице 4 и в таблице 1 Приложения к настоящей статье лежат в границах рекомендуемой стандартной неопределенности и имеют более чем на 12 порядков лучшую оценку МВНК по сравнению со значениями ФФК ().

Заключение

На основе рекомендуемых CODATE значений ФФК, стандартных методов оценки неопределенности измерений, известных уравнений связи  и предложенного автором метода аналитически получены расчетные значения гравитационной постоянной, Планковской длины и Планковской массы на восемь порядков точнее рекомендуемых CODATE значений, а значения постоянной тонкой структуры, электрической постоянной, магнитной постоянной и характеристического сопротивления вакуума на тринадцать порядков.

Верификация результатов показала, что полученные значения упомянутых физических констант могут быть использованы для проведения научных и инженерно-технических расчетов с беспрецедентной, на сегодняшний день, точностью.

Представляется целесообразным применение вспомогательной системы единиц СМС, как инструмента метрологических, а возможно и более широкого круга исследований.

 

Конфликт интересов - отсутствует

Список литературы:

1. ГОСТ Р 34100.3-2017/Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008 Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерения. Москва Стандартинформ. 2018.с. 9, 10, 18.
2. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки наблюдений. 2-е изд. Москва, 1962 .
3. Милюков В.К.. Чэнь Тао. Луо Джун. Миронов А.П. Численное моделирование движения крутильных весов в задаче измерения ньютоновской гравитационной константы. Вестник МГУ. Серия 3: Физика. Астрономия. 2009 № 3. с. 7-11.
4. Никоненко К.Л. Метод уточнения значений фундаментальных физических констант. Описание к Свидетельству № 22-1075 серии А от 14 июня 2022 года о регистрации объекта интеллектуальной собственности в Реестре Фонда интеллектуальной собственности Оценочно-Рейтинговой Компании «Интелмер». г. Москва.
5. Рекомендация ГСИ. Измерения косвенные. Определение результатов измерений и оценивание их погрешностей МИ 2083-90. Москва. Издательство стандартов. 1991. с. 3-6.
6. Шахпаронов В.М.. Карагиоз О.В.. Измайлов В.П. Измерения и расчёт гравитационной постоянной при наличии дестабилизирующих факторов. Сборник Совещание по прецизионной физике и фундаментальным физическим константам. Тезисы докладов. ГАО РАН Пулково Санкт-Петербург. 2013 с. 51-51.
7. Шахпаронов В.М. Определение численного значения гравитационной постоянной при сложной форме взаимодействующих тел. Вестник МГУ.  Серия 3: Физика. Астрономия. 2014 № 1. с. 44-50.
8. Шахпаронов В.М. Методики решения системы нелинейных уравнений колебаний для определения гравитационной постоянной. Вестник МГУ. 2014 № 2. с. 60-66.
9. Яворский Б.М.. Детлаф А.А.. Лебедев А.К. Справочник по физике. Москва. ОНИКС. Мир и образование. 2007.
10. CODATA Internationally recommended values of the Fundamental Physical Constants   https://physics.nist.gov/cuu/Constants/index.html
11. Qing Li. Chao Xue. Jian-Ping Liu. Jun-Fei Wu. Shan-Qing Yang. Cheng-Gang Shao. Li-Di Quan. Wen-Hai Tan. Liang-Cheng Tu. Qi Liu. Hao Xu. Lin-Xia Liu. Qing-Lan Wang. Zhong-Kun Hu. Ze-Bing Zhou. Peng-Shun Luo. Shu-Chao Wu. Vadim Milyukov & Jun Luo Measurements of the gravitational constant using two independent methods. Nature. 2018 volume 560. Pages 582–588. https://www.nature.com/articles/s41586-018-0431-5