ВОЗВРАЩАЯСЬ К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ abc-ТЕОРЕМЫ

​RETURNING TO THE PROOF OF THE abc-THEOREM

Valery Agafontsev

Candidate o f Science, retired,

Russia, Pskov

Профессору Брусаковой И.А

п о с в я щ а е т с я

АННОТАЦИЯ

В данной статье рассматривается abc-теорема, доказывающая истинность abc-гипотезы.

ABSTRACT

This paper discusses the abc-theorem proving the truth of the abc-hypothesis.

Ключевые слова: abc-гипотеза, доказательство abc-гипотезы, возможный подход к доказательству abc-гипотезы.

Keywords: abc-hypothesis, proof  of the abc-hypothesis, a possible approach to the proof of the abc-hypothesis.

Вводная часть

В статье [1] представлена abc-теорема, призванная доказать истинность abc-гипотезы. Данное доказательство построено на исходном посыле о существовании достаточно большого положительного действительного числа , с которым выполнимо неравенство  в предположении, что . Недостаток названного посыла состоит в том, что он не позволяет оценить величину   в зависимости от чисел .

Рассмотрим доказательство abc-теоремы, в котором устранён названный недостаток. Исходим из того, что:

1) в соответствии с [2; С. 15-16] и [3] любое натуральное число  может быть единственным образом разложено на простые сомножители:

,                           (1)

где  простые сомножители,  – их повторяемость в числе ; =(1, k).

2) радикал  числа  равен

                           (2)

Очевидно, что  и, следовательно, существует число , с которым выполнимо равенство

,                           (3)

где  есть произведение тех простых сомножителей  числа , для   показателя степени которых, уменьшенного на 1, выполняется условие ; .

Примечание: для равенства  в соответствии с соотношением (3) .

Поясним сказанное примером.

Рассмотрим равенство . Обозначим , , . Тогда , , , , , .

Теоретико-доказательная часть

abc-ТЕОРЕМА. Для каждого положительного действительного числа  существует константа  такая, что для всех троек взаимно простых положительных целых чисел a,b,c, удовлетворяющих равенству , выполняется соотношение

Доказательство

Имеется равенство

,                                (4)

в котором  – суть любые положительные взаимно простые целые числа. В соответствии с соотношением (3) представим число  равенством

Умножим правую часть равенства (5) на число . Получим:

В соотношении (6) знак равенства учитывает, что в выражении (4) возможен случай , когда .

Умножим правую часть неравенства (6) на число . Получим:

В соотношении (7) знак строгого неравенства учитывает, что для выражения (4), допускающего , с необходимостью следует  .

Правая часть неравенства (7) представляет собой число, равное произведению двух сомножителей. Для сохранения неравенства (7) следует    сохранить величину числа . Это можно сделать путём увеличения  одного из сомножителей и уменьшения величины другого. Увеличим второй сомножитель числа , сделав этот сомножитель равным , где  - сколь угодно малое положительное действительное число. Тогда другой сомножитель (назовём его ) будет равен

Очевидно, что для каждого положительного действительного числа    существует своё число . Неравенство (7) с учётом соотношения (8) представится так:

что и требовалось доказать.

Рассмотрим примеры, показывающие истинность abc-теоремы.

При выполнении равенства , в котором  – любые положительные взаимно простые целые числа, возможны такие и только такие два случая:

1) ;

2) .

Третьего случая  быть не может, так как это означало бы  при простом  возможность выполнения равенства

,

чего быть не может.

Рассмотрим равенство . Пусть , , . Тогда , что больше ; в соответствии с (3) .    В соотношении (8) будем задавать различные значения , определяя при этом значение числа .  Результаты сведём в таблицу 1.

Таблица 1.

В таблице 1 видно, что каждому положительному действительному числу  соответствует своё число  При этом для рассматриваемого равенства  выполняется соотношение .

Рассмотрим равенство . Пусть , , . Тогда , что меньше ; в соответствии с (3) .      В соотношении (8) будем задавать различные значения , определяя при этом значение числа .  Результаты сведём в таблицу 2.

Таблица 2.

В таблице 2 видно, что каждому положительному действительному числу  соответствует своё число  При этом для рассматриваемого    равенства  выполняется соотношение .

Вывод: Для каждого положительного действительного числа    существует такое число , что для всех троек взаимно простых положительных целых чисел a,b,c, удовлетворяющих равенству ,      выполняется соотношение  .

Примечание. Покажем большой научный потенциал доказанной теоремы. С этой целью докажем, что в соотношении  существует такое значение  , при котором выполнимо неравенство

Обратимся к выражению (8), положив в нём , тогда

В соответствии с выражением (8)  может быть сколь угодно малым положительным числом.

Умножим правую и левую части равенства (11) на число .

Левая часть равенства (12) в соответствии с выражением (5) равна . Правая часть равенства (12) удовлетворяет соотношению

Из равенства (12) и соотношения (13) следует неравенство

В соответствии с равенством (8)  может быть сколь угодно малым положительным числом. Исходя из этого положим . Следовательно, неравенство (14) примет вид

Что и требовалось доказать.

Убедимся в сказанном на примерах равенств   и . Проверим их выполнимость для соотношений (11) и (14).

Для равенства  :

; ; ; ;   ;

. Очевидно, что тем более  .

Для равенства  :

; ; ; ;    ;

. Очевидно, что тем более  .

Рассмотрим практическое применение доказанного соотношения (15). Предположим выполнимость равенства   при условии, что  и  - взаимно простые, отличные от нуля, натуральные числа. Обозначим , , . С учётом принятых обозначений соотношение (15) представится так:

Из (16) следует, что . Но это противоречит условию . Следовательно, наше предположение о выполнимости равенства   при условии, что  и  - взаимно простые, отличные от нуля, натуральные числа, является ложным. В силу закона логики- закона противоречия - это означает, что при заданных условиях равенство   невыполнимо. Таким образом, теорему Ферма можно считать полностью  доказанной, так как для  она доказана  Эйлером [4, C. 57-60], [5],  [6, С. 35-38]; для  теорема доказана самим Ферма [4, C. 22-24],     [6, C. 30-34]);  для  теорема доказана Дирихле и Лежандром       [4, C. 85-93]. Доказательство теоремы Ферма для   строится на    основе невыполнимости равенства , что вытекает из доказательства Эйлера для  .

Заключение. Из выше сказанного следует, что доказанная abc-теорема имеет большой научный потенциал.

Список литературы:

1. Агафонцев В.В. АВС-теорема как доказательство АВС-гипотезы// Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. LVIII междунар. науч.-практ. конф. № 12(49). – Новосибирск: СибАК, 2022. – С. 66-72.
2. Виноградов И.М. Основы теории чисел: Учебное пособие. 11-е изд.-СПб. Изд-во ʺЛаньʺ, 2006.-176 с.
3. Орлов Д.О. ʺabc-гипотеза и её следствияʺ. Интернет-лекция академика РАН Орлова Д.О. Электронный ресурс - https://yandex.ru/video/preview/5891271784642681767; дата обращения 17.2.2023.
4. Эдвардс Г. [Edwards H.] Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел / пер. с англ. В.Л.Калинина и А.И.Скопина / под ред. Б.Ф.Скубенко. М.: Мир, 1980.-486 с.
5. Мачис Ю.Ю. О предполагаемом доказательстве Эйлера // Матем. заметки. 2007. N 82:3. C. 395-400.
6. Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. М.: Наука, 1982. -242 с.