ОБ ОДНОМ ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ ГИПОТЕЗЫ БИЛА И АВС-ГИПОТЕЗЫ

​АННОТАЦИЯ

В данной статье рассмотрены критические замечания к двум статьям, посвящённым доказательству гипотезы Била и abc-гипотезы Эстерле-Массера.

ABSTRACT

This paper reviews the critiques of two articles devoted to the proof of the Beal’s conjecture and the Esterle-Masser abc-hypothesis.

Ключевые слова: гипотеза Била, abc-гипотеза, гипотеза Эстерле-Массера.

Keywords: Beal’s conjecture, abc-hypothesis, the Esterle-Masser hypothesis.

Напомним гипотезу Била. В 1993 году любитель математики из США Эндрю Бил (Andrew Beal) выдвинул гипотезу, интересную своим научным потенциалом. Формулировка гипотезы Била: If  where  and  are positive integers and  and  are all greater than 2, then  and  must have a common prime factor. В переводе на русский: Если  где  - натуральные числа;  то имеют общий простой делитель. В настоящее время гипотеза Била зарегистрирована в Американском математическом обществе (American Mathematical Society) как Beal’s conjecture.

В статье [1] представлен подход к доказательству гипотезы Била, основанный на введении дробных квадратных величин. Автор такого подхода утверждает (цитата, см.[1, С. 74]): “…получены дробные квадратные величины, представляющие собой неустранимое противоречие. Для предполагаемого целочисленного равенства полное исключение решения в целых положительных числах, означает именно отсутствие равенства:

 ˮ (конец цитаты)

Исходя из этого утверждения, получается, что истинность выражения для  следует из истинности соотношения для . Покажем ложность такого утверждения с помощью контрпримера.

Рассмотрим равенство, в котором , ; , ; , . Подставим эти значения в цитируемое выше названное неравенство для . Должны получить

Очевидно, это не соответствует истине.

В терминах цитируемой статьи числа  и  являются дробными квадратными величинами. Вопреки указанному в цитате неравенству   , получили равенство .

Вывод: приведённый контрпример опровергает весь такой подход к доказательству гипотезы Била. Отметим, что в действительности истинность соотношения  следует из истинности неравенства , в котором ; ; . Как известно, справедливость этого неравенства до сих пор не доказана.

Статья [2] претендует на доказательство гипотезы Эстерле-Массера (abc-гипотезы). Напомним эквивалентные формулировки abc-гипотезы, приведённые в интернет-лекции [3].

1) Для любого положительного действительного числа ε существует только конечное число троек (a, b, c) взаимно простых положительных целых чисел, удовлетворяющих равенству , таких что .

2) Для каждого положительного действительного числа  существует константа  такая, что для всех троек взаимно простых положительных целых чисел a, b, c, удовлетворяющих равенству , выполняется соотношение .

3) Для любого положительного действительного числа ε существует только конечное число троек (a, b, c) взаимно простых натуральных чисел, удовлетворяющих равенству , таких что .

Здесь - величина, определяющая качество тройки (a, b, c).

4) Для любых троек (a, b, c) взаимно простых натуральных чисел, удовлетворяющих равенству , справедливо неравенство c.

В статье [2] утверждается (но не доказывается!) (цитата): “Для любого действительного  существует зависящая от  константа  такая, что уже вообще для всех взаимно простых ; ;     . Слабые формулировки гипотезы утверждают, что неравенство выполняется только для конкретных  и конкретных констант. Одна из слабых, но важных формулировок гипотезы утверждает, что для  константа  тоже равна 1, и поэтому . В этом виде гипотеза прямо утверждает, что сумма чисел, являющихся произведением простых в больших степенях, не может быть произведением простых чисел в больших степенях. То есть, сумма простых чисел  в равных степенях ; или неравных  не может быть произведением простых чисел  в степенях ; - целые взаимно простые положительные числа,  – целые положительные числаˮ (конец цитаты).

Оставим за скобками искажение формулировок abc-гипотезы. Обратим внимание на утверждение (цитата из [2]): “получено неустранимое противоречие в виде дробных квадратных величин меньше единицы, свидетельствующее о том, что уравнение не может являться равенством в целых числах.

следовательно:  ˮ (конец цитаты).

Покажем ложность этого утверждения, сославшись на книгу [5, С.18]: “Догадкам нет дела до несогласий или подозрений, но они не могут игнорировать контрапримеры.ˮ

Контрпример.

Рассмотрим равенство, в котором , ; , ; , . Подставим эти значения в заключительное цитируемые соотношение:

Вопреки указанному в цитате неравенству   получили равенство .

Вывод: приведённый контрпример опровергает весь такой подход к доказательству гипотезы Эстерле-Массера (abc-гипотезы). Кроме того, подход к доказательству abc-гипотезы через дробные квадратные величины не позволяет рассмотреть целочисленные равенства , в которых числа a, b, c являются взаимно простыми с показателями степеней у всех чисел или хотя бы у одного из них меньше 2. Например, это такие равенства (кстати говоря, рассматриваемые в интернет-лекции [3]): ;    и т.д и т.п.

Заключение. Cтатьи [1] и [2] не могут быть доказательством гипотезы Била и гипотезы Эстерле-Массера (abc-гипотезы), так как соотношения с дробными квадратными величинами сами выполнимы лишь в случае  истинности неравенства , в котором ; ; . Как известно, справедливость этого неравенства до сих пор не доказана. Доказательство, опирающееся на недоказанное соотношение, не может считаться достоверным и, следовательно, признанным.

Список литературы:

1. Строганов В.Н. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ГИПОТЕЗЫ БИЛА // Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. LVIII междунар. науч.-практ.конф. № 12(49). – Новосибирск: СибАК, 2022. – С. 73-76.
2. Строганов В.Н. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГИПОТЕЗЫ ЭСТЕРЛЕ–МАССЕРА (ABC-ГИПОТЕЗА) // Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. LX междунар. науч.-практ. конф. № 2(51). – Новосибирск: СибАК, 2023. – С. 29-35.
3. Орлов Д.О. ʺabc-гипотеза и её следствияʺ. Интернет-лекция академика РАН Орлова Д.О. Электронный ресурс - https://yandex.ru/video/preview/5891271784642681767; дата обращения     10.03.2023.
4. Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы /пер. с англ. И.Н. Веселовского/ отв. ред. И.Б. Погребысский. М.: НАУКА, 1967.-152 с.