Статья опубликована в рамках: LXIX Международной научно-практической конференции «Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований» (Россия, г. Новосибирск, 22 ноября 2023 г.)
Наука: Математика
Секция: Математическая логика, алгебра и теория чисел
Скачать книгу(-и): Сборник статей конференции
дипломов
О НЕКОТОРЫХ СЛЕДСТВИЯХ abc-ГИПОТЕЗЫ В ЕЁ EXPLICIT-ВАРИАНТЕ
ON SOME CONSEQUENCES OF abc-HYPOTHESIS IN ITS EXPLICIT VARIATION
Valery Agafontsev
Candidate of Science, retired,
Russia, Pskov
Моей знаменитой школе –
Казанскому суворовскому
военному училищу
п о с в я щ а е т с я
АННОТАЦИЯ
В данной статье представлены некоторые следствия, вытекающие из доказательства explicit-варианта abc-гипотезы. В частности, рассмотрено доказательство гипотезы Холла, гипотезы Пиллаи, Последней (Великой) теоремы Ферма. Рассмотрена возможность применения explicit-варианта abc-гипотезы для решения некоторых экспоненциальных диофантовых уравнений Ферма-Каталана.
ABSTRACT
In this article some corollaries arising from the proof of the explicit variation of the abc-hypothesis. In particular, the proof of Hall's conjecture, Pillai's conjecture, the proof of Fermat's Last (Great) theorem are considered. The possibility of applying the explicit variation of the abc-hypothesis to solve some exponential Diophantine Ferma-Catalan equations is considered.
Ключевые слова: abc-гипотеза, explicit-вариант abc-гипотезы, доказательство explicit-варианта abc-гипотезы, гипотеза Холла, гипотеза Пиллаи, экспоненциальные диофантовы уравнения Ферма-Каталана.
Keywords: abc-hypothesis, explicit variation abc-hypothesis, proof of explicit variation abc-hypothesis, Hall's conjecture, Pillai's conjecture, exponential diophantls of the Ferma-Catalan equation.
Вводная часть
В работах [1] и [2] представлено доказательство abc-гипотезы в её explicit-варианте, а именно: утверждается, что для любого целого числа из равенства
, где
,
, выполнимо соотношение
. Это утверждение доказано и, по сути, оно является теоремой.
Теоретико-доказательная часть
Рассмотрим следствия, вытекающие из данной теоремы.
ТЕОРЕМА 1
Для любого существует константа
, такая, что если
для
и
,
, то
.
Доказательство
Применим к уравнению соотношение
, для чего введём такие обозначения:
,
,
. Получим:
Так как , то для любого
выполнится соотношение
. Выбором константы
число
можно представить в виде
Следовательно, неравенство (3) запишется так:
что и требовалось доказать.
Отметим, что доказан так называемый ослабленный вариант гипотезы Холла, сформулированный Старком и Троттером в 1980 году [3]. Сам же Холл в 1971 году сформулировал гипотезу так: Существует константа такая, что если
для
и
, то
[3].
Обратимся к соотношению (5). Очевидно, что при значении сколь угодно близком к нулю
, выполнится такое соотношение:
Следовательно, получаем неравенство , которое доказывает гипотезу Холла.
ТЕОРЕМА 2
При заданных натуральных числах уравнение
имеет лишь конечное число решений
в натуральных числах при
и
.
Доказательство
Применим к уравнению
соотношение , для чего введём такие обозначения:
,
,
. Получим:
Из соотношения (11) следует: уравнение (6) при заданных натуральных числах имеет конечное число решений
,
и
, что и требовалось доказать.
Отметим, что доказана гипотеза Пиллаи, сформулированная индийским математиком Суббайей Пиллаи в 1931 году [4].
ТЕОРЕМА 3
Диофантово уравнение , в котором
, не имеет решений при
.
Доказательство
Построим доказательство от обратного, а именно: предположим, что уравнение имеет хотя бы одно решение при условии: (
,
,
. Пусть это решение представляется так:
. Применим к уравнению
доказанное соотношение
. Обозначим
,
,
. С учётом принятых обозначений соотношение
представится так:
Из этого соотношения следует: , что противоречит условию
. Следовательно, наше предположение о существовании решения уравнения
при условии (x
,
является ложным. В силу закона логики - закона противоречия - это означает, что при заданных условиях уравнение
не имеет решений, что и требовалось доказать. Следовательно, Последнюю (Великую) теорему Ферма, которая утверждает, что диофантово уравнение
при
не имеет решений, можно считать полностью доказанной, так как для
она доказана Эйлером [5, с. 57-60], [6], [7, с. 35-38]; для
теорема доказана самим Ферма [5, с. 22-24], [7, с. 30-34]); для
теорема доказана Дирихле и Лежандром [5, с. 85-93]. Доказательство теоремы Ферма для
строится на основе отсутствия решения диофантова уравнения
, что вытекает из доказательства Эйлера для
.
Рассмотрим применение доказанного соотношения при решении экспоненциальных диофантовых уравнений Ферма-Каталана вида
где известные, точнее, задаваемые взаимно простые ненулевые натуральные числа;
натуральные числа, каждое из которых
. Задача: определить значения
Применим к уравнению (12) соотношение , для чего введём такие обозначения:
,
,
. Получим
То есть, число оказывается ограниченным сверху значением
. Этим же значением будут ограничены числа
и
и, следовательно, показатели
и
:
,
. Такое ограничение на показатели
и
позволяет путём последовательного компьютерного перебора найти
, удовлетворяющие уравнению (12). Поиск решений уравнения (12) можно строить по следующему алгоритму.
Алгоритм.
- Задать
- Присвоить
- Вычислить
- Присвоить
- Вычислить
- Определить сумму
- Вычислить
целое число? Если ДА, то его значение совместно с
есть решение уравнения. Перейти к шагу 9. Если НЕТ, то перейти к шагу 10
- Присвоить y
. Перейти к шагу 5
? Если ДА, то перейти к шагу 9. Если НЕТ, то перейти к шагу 11
- Присвоить
? Если ДА, то перейти к шагу 3. Если НЕТ, то КОНЕЦ.
Примечание: переход от выполняемого шага по умолчанию осуществляется к следующему по номеру шагу.
Суть алгоритма состоит в том, что для каждого , начиная от
и до
не большего, чем
, компьютерным перебором
, начиная от
и до
не большего, чем
, выполняется проверка выполнимости равенства (12). Следовательно, в соответствии с соотношением
алгоритм позволяет определить все решения заданного уравнения. Например, для уравнения
динамика работы алгоритма при условии
,
,
будет такой:
- Присваивается
- Присваивается
- Проверяется, будет ли целым
при данных
. Если
целое, то решение найдено; затем при том же
числу
присваивается значение
и вновь проверяется, будет ли число
целым. Такой процесс продолжается до
, после чего переход к пункту 4.
- Присваивается
. Проверяется условие
? Если это условие выполняется, то переход к пункту 2; если условие не выполняется, то КОНЕЦ работы алгоритма.
ВЫВОД. На базе explicit-варианта abc-гипотезы доказаны: гипотеза Холла, гипотеза Пиллаи, Последняя (Великая) теорема Ферма. Рассмотрена возможность применения explicit-варианта abc-гипотезы для решения некоторых экспоненциальных диофантовых уравнений Ферма-Каталана. Следовательно, explicit-вариант abc-гипотезы имеет большой научный потенциал.
Список литературы:
- Агафонцев В.В. Об explicit-варианте abc-гипотезы // Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. LXVI междунар. науч.-практ. конф. № 8(57).- Новосибирск: СибАК, 2023.- С. 16-21. https://sibac.info/conf/technology/57/299842 (дата обращения: 2.11.2023).
- Агафонцев В.В. Возвращаясь к explicit-варианту abc-гипотезы // Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. LXVIII междунар. науч.-практ. конф. № 10(59).- Новосибирск: СибАК, 2023.- С. 26-31. https://sibac.info/conf/technology/59/303970 (дата обращения: 2.11.2023).
- https://ru.wikipedia.org/wiki/Гипотеза Холла (дата обращения: 28.10.2023).
- https://ru.wikipedia.org/wiki/Гипотеза Пиллаи (дата обращения: 28.10.2023).
- Эдвардс Г. [Edwards H.] Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел / пер. с англ. В.Л.Калинина и А.И.Скопина / под ред. Б.Ф.Скубенко. М.: Мир, 1980. – 486 с.
- Мачис Ю.Ю. О предполагаемом доказательстве Эйлера // Матем. заметки. 2007. N 82:3. C. 395-400.
- Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. М.: Наука, 1982. – 242 с.
дипломов
Оставить комментарий