БОЛЬШАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА, ВЕЛИЧАЙШАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МИСТИФИКАЦИЯ ЧЕТЫРЁХ СТОЛЕТИЙ

​FERMAT'S GREAT THEOREM, THE GREATEST MATHEMATICAL HOAX OF FOUR CENTURIES

Vladimir Stroganov

Engineer, retired,

Russia, Kaliningrad

АННОТАЦИЯ

Француз Пьер де Ферма́ (1601–1665) по профессии был юристом, а математика была его увлечением. Примерно в 1630 году, против восьмой задачи Диофанта на полях книги, Ферма записал: «Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата, и, вообще, никакую степень, большую квадрата на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки» /Э.Т.Белл «Творцы математики». М.,1979, стр.69 /.

Этой работой я хочу закончить серию публикаций на данную тему. В ней я даю подробные пояснения о всех мелких нюансах моего метода решения подобных сложных математических задач, возможно недостаточно раскрытых в предыдущих статьях.

Представление степеней  в виде квадратов с коэффициентами кратности при них, позволяет напрямую легко проверить наличие в уравнении пропорционального деления степеней  выше вторых, что значительно облегчает понимание логики простейшего решения этой задачи по условию Пьера Ферма. Как это можно было не увидеть за четыреста лет исследований совершенно необъяснимо.

Здесь приводится простое доказательство Великой теоремы Ферма на базе современного школьного курса математики, что примерно соответствует уровню математических знаний той далёкой эпохи, а также опровержение математической загадки под названием гипотеза Била.

ABSTRACT

Frenchman Pierre de Fermat (1601-1665) was a lawyer by profession, and mathematics was his hobby. Around 1630, against Diophantus' eighth problem in the margins of the book, Fermat wrote: "On the contrary, it is impossible to decompose either a cube into two cubes, or a biquadrate into two biquadrates, and, in general, no degree greater than a square by two degrees with the same exponent. I have discovered a truly wonderful proof of this, but these fields are too narrow for it" /E.T.Bell "Creators of Mathematics". Moscow, 1979, p.69/.

With this work I want to finish a series of publications on this topic. In it, I give detailed explanations about all the minor nuances of my method of solving such complex mathematical problems, perhaps insufficiently disclosed in previous articles.

The representation of degrees in the form of squares with multiplicity coefficients with them makes it easy to directly check the presence in the equation of proportional division of degrees above the second, which greatly facilitates understanding the logic of the simplest solution of this problem according to the Pierre Fermat condition. How it could not be seen in four hundred years of research is completely inexplicable.

Here is a simple proof of Fermat's Great Theorem on the basis of a modern school mathematics course, which roughly corresponds to the level of mathematical knowledge of that distant era, as well as a refutation of a mathematical riddle called the Beale hypothesis.

Ключевые слова: Великая теорема Ферма, короткое доказательство теоремы, элементарно простой метод.

Keywords: Fermat's Great Theorem, a short proof of the theorem, an elementary simple method.

Короткое доказательство Великой теоремы Ферма

Современное толкование условия Великой теоремы Ферма состоит в утверждении, что при значениях  уравнение вида  не имеет ненулевых решений в натуральных числах.

Для исключения попыток навязать иную точку зрения сразу условимся, что мы исследуем исключительно и только базовое уравнение, являющееся единственной основой теоремы, для доказательства которой необходимо и достаточно подтвердить или исключить знак равенства в нём.

Никакого скрытого или расширенного математического толкования, как-либо изменяющего само уравнение или его смысл, априори существовать не может.

Основой натурального числа выше второй степени всегда является квадрат переменной, образующей эту  степень путём умножения квадрата на некоторый множитель размерность и шаг которого определяются величиной целой переменной:

- четвёртая степень допустим пятёрки , это двадцать пять целых квадратов пятёрки,

- пятая степень четвёрки , это шестьдесят четыре целых квадрата четвёрки и т.д..

Представление  степеней натуральных чисел в виде целых квадратов с коэффициентами кратности при них избавляет от необходимости рассматривать такие степени числа в виде стереометрических фигур.

На время рассмотрения теоремы абстрагируемся от третьих, четвёртых, пятых и т.д., степеней, пусть это всегда будут квадраты с присущим только им степенным множителем (коэффициентом кратности). Численно это одни и те же величины и поэтому нет никаких искажений ни математических основ, ни сути решаемой задачи.

Следовательно, степень выше второй от натурального основания, это всегда некоторый строго определённый набор полных квадратов в целых положительных числах в составе этого числа.

Со школьной скамьи все помнят классический прямоугольный треугольник со сторонами, длины которых соотносятся как . Для него теорема Пифагора выглядит так: . Это пример решения обобщенного уравнения Пифагора  в ненулевых целых числах при .

То есть, к одному большему целому квадрату приравнена сумма из двух единичных целых квадратов . Это свойство численной тройки и будет основой простого доказательства данной теоремы.

В уравнении  необходимо определить возможность разложения степени  на сумму двух целых  степеней в целых квадратах, что означает наличие возможности представить уравнение  в виде набора полных троек целых квадратов, соответствующих рассматриваемой  степени, что и определит возможность существования равенства в исследуемом уравнении.

Если при рассмотрении будут исключены все варианты где  степень может быть равна сумме двух аналогичных степеней, теорема доказана.

Разложим все степени  предполагаемого равенства ,  (- натуральное число до ; ) на квадраты с коэффициентами кратности при них и путём некоторых преобразований определим выполняется ли пропорциональное деление степени  на сумму  в целых квадратах. 

;      ;

;    ;    ;    

Выполненные действия показывают, что на некоторое  количество больших квадратов , приходится всего  квадратов  и  квадратов .

Выполнение основного условия существования равенства исключается из-за недостаточного количества меньших квадратов от степеней суммы , для образования полных троек их необходимо исключительно равное количество. 

;    ;    

И только в этом случае возникла бы необходимость дополнительно уточнять, имеет ли место численное равенство  или неравенство  внутри троек.

В уравнении  равенство полностью исключено из-за отсутствия необходимого количества целых квадратных степеней для образования полных троек (равных или неравных) квадратов, и дополнительная операция по установлению численного равенства квадратов внутри троек теряет всякий математический смысл.

Полученные дробные коэффициенты при квадратах  и , подтверждают, что степень  не раскладывается на сумму двух целых степеней , потому, что все три коэффициента кратности целых квадратов  не могут быть одновременно равны друг другу. Уравнение  не является равенством в целых ненулевых числах .

Утверждение, что равенство в натуральных числах  может быть получено на каком-либо этапе возведения в  степени из неравенства , ошибочно по этим же приведённым выше основаниям. Потому, что полученное в результате преобразования исследуемого уравнения степенное неравенство обусловлено отсутствием целых квадратных степеней, что никак не коррелирует с обычным численным неравенством означающем например , поэтому неравенство  не способно, кроме знака равенства, как-либо изменить исследуемое уравнение, порядок или способ решения.

Соотношение переменных в уравнении всегда , и оно определено исследуемым уравнением ; коэффициенты от этого уравнения ; , в любом случае будут меньше единицы. То есть, результат не может быть иным из-за отсутствия самой возможности образования полных троек (численно равных или неравных) целых квадратов.

,    

Степень  не раскладывается на сумму двух целых степеней  в натуральных числах абсолютно для всех случаев, исключая таким образом равенство в уравнении . 

Вывод:

Уравнение ; (- натуральное число до ;  - по определению) при всём разнообразии натуральных переменных ; не имеет ненулевых решений в натуральных числах

Ферма записал: «невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата, и, вообще, никакую степень, большую квадрата на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство».

Что и требовалось доказать.

Немного о загадке под названием гипотеза Била

Любителем математики техасским миллиардером Эндрю Билом в 1993 году была предложена для решения задача в виде гипотезы и по имени создателя ей было присвоено наименование «гипотеза Била». Считается что при условии справедливости этой гипотезы, Великую теорему Ферма можно доказывать способом от противного, так как задача по сути представляет собой её обобщение.

В своих работах из цикла публикаций на эту тему я подробно показывал несложные решения таких задач путём представления степеней выше вторых в виде квадратов с коэффициентами кратности, что позволяет получить доказательство без сложных математических расчётов и выкладок. Этим же принципом я воспользовался и для опровержения гипотезы Била.

Простейшее опровержение гипотезы Била

Для исключения попыток навязать иную точку зрения сразу условимся, что мы исследуем исключительно и только базовое уравнение, являющееся единственной основой гипотезы, для доказательства которой необходимо и достаточно подтвердить или исключить знак равенства в нём.

Никакого скрытого или расширенного математического толкования, как-либо изменяющего само уравнение или его смысл, априори существовать не может.

Условие гипотезы: Если .  — натуральные числа,  каждый из показателей степеней больше двух:  > 2; тогда  имеют общий простой делитель.

Повторю главное утверждение: основой натурального числа  степени всегда является квадрат переменной, образующей эту степень путём умножения квадрата на некоторый множитель размерность и шаг которого определяются величиной целой переменной. На время рассмотрения гипотезы абстрагируемся от третьих, четвёртых, пятых и т.д., степеней, пусть это всегда будут квадраты с присущим только им степенным множителем (коэффициентом кратности). Это численно те же самые величины, не искажающие ни математических основ, ни сути решаемой задачи.

При проверке исследуемого целочисленного уравнения на наличие в нём возможного равенства, после преобразования его в квадратное с коэффициентами кратности, необходимо удостовериться, что на каждый из представленного количества  целых квадратов   приходится сумма строго из двух меньших  целых квадратов. То есть, достаточно ли в составе исследуемого уравнения , набора целых квадратов для образования полных троек  без остатка незадействованных квадратов.

Если таких вариантов не существует, гипотеза опровергнута.

Итак, представим степени в исходном уравнении , ( - по определению)  — натуральные числа, каждый из показателей степеней больше двух:  > 2; в виде квадратов  с коэффициентами кратности  соответственно: .

Разделив обе части этого уравнения  на коэффициент  при квадрате  получим:    ,    ;  .

Здесь дробные коэффициенты кратности при квадратах  и , исключают возможность образования необходимого количества полных троек (равенств или неравенств) целых квадратов. То есть к каждому из имеющихся  целых квадратов  невозможно приравнять сумму двух целых квадратов , из  и . Таким образом доказано, что степень  не раскладывается на сумму двух целых степеней  в полных тройках целых квадратов. 

Для предположения о наличии возможного существования равенства в уравнении необходимо исключительно равное количество целых квадратов:

;   ;   

Целочисленное уравнение  не является тождеством в целых ненулевых числах так как коэффициенты  не могут быть одновременно равны друг другу. 

Вариантов, получить базовое равенство из неравенства , не существует, так как полученное в результате преобразования исследуемого уравнения  степенное неравенство обусловлено отсутствием необходимого количества целых квадратных степеней, что никак не коррелирует с обычным численным квадратным неравенством означающим например , поэтому неравенство  не способно, кроме знака равенства, как-либо изменить исследуемое уравнение, порядок или способ решения.

Наличие равенства проверяется преобразованием имеющегося в условии гипотезы исследуемого базового  уравнения:

   ,    ;  ,

Здесь равенство исключено в связи с отсутствием самой возможности образования полных троек (равных или неравных) целых квадратов. Поэтому дополнительная операция по установлению численного равенства квадратов внутри троек теряет всякий математический смысл.

Вывод:

Уравнение , ( - по определению)  — натуральные числа,  каждый из показателей степеней больше двух:  при всём разнообразии натуральных переменных ; не имеет ненулевых решений в натуральных числах . Гипотеза Била опровергнута.

Что и требовалось доказать.

Список литературы:

1. Серпинский В. Пифагоровы треугольники. М.: Учпедгиз, 1959. Стр 5 – 12
2. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные материалы. М.: Просвещение, 1990.
3. Боревич З.И., Шафаревич Н.Р. Теория чисел. М.: Наука.—1985.-368 с.
4. Строганов В. Н. Об особенностях n>2 степеней. СибАК, 2022.
5. Строганов В. Н. Решение уравнения гипотезы Била. СибАК, 2022.
6. Строганов В. Н. Почему гипотеза Била, как и Великая теорема Ферма не требуют сложного решения и причём здесь Пифагор.