ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГИПОТЕЗЫ КАТАЛАНА С ПОМОЩЬЮ АВС-ТЕОРЕМЫ

​PROOF OF THE CATALANʼS CONJECTURE BY THE ABC-THEOREM

Valery Agafontsev

Candidate o f Science, retired,

Russia, Pskov

Дочери моей Татьяне

Посвящается

АННОТАЦИЯ

В данной статье представлено доказательство гипотезы Каталана, основанное на АВС-теореме, утверждающей, что для тройки любых взаимно простых натуральных чисел , удовлетворяющих равенству , выполнимо соотношение .

ABSTRACT

In this article, we give a proof of Catalan's conjecture based on the ABC-theorem, which states that for the triple of any mutually prime natural numbers (a,b,c) satisfying the equality a+b=c, the relation .

Ключевые слова: гипотеза Каталана, АВС-теорема, explicit-вариант АВС-гипотезы, доказательство explicit-варианта АВС-теоремы.

Keywords: Catalan hypothesis, ABC-theorem, explicit-variation ABC-hypothesis, proof of explicit-variation ABC-hypothesis.

Вводная часть

Французский и бельгийский математик XIX-столетия Эжен Шарль Каталан (Eugène-Charles Catalan) в 1844 году высказал такую гипотезу [1]:

Deux nombres entiers consécutifs, autres que 8 et 9, ne peuvent étre des puissances exactes, autrement dit: lʼéquation , dans laquelle les inconnues sont entières et positives, nʼadmèt quʼune seule solution. В переводе с французского на русский: два последовательных целых числа, отличных от 8 и 9, не могут быть точными значениями, другими словами: уравнение , в котором неизвестные целые и положительные числа, имеет только одно решение. Таким решением является , , , . Других решений в целых числах для уравнения  не существует, что и является сутью гипотезы Каталана.

Отметим, что гипотеза Каталана доказана румынским математиком Предой Михайлеску (Preda Mihᾰilescu) в 2002 году и опубликована в 2004 году в его работе [2]. Доказательство очень сложное.

Покажем, что АВС-теорема, представленная в статье [3, С. 43-50], обеспечивает более простое доказательство гипотезы Каталана.

Теоретико-доказательная часть

ТЕОРЕМА

Уравнение  имеет только одно решение в натуральных числах .

Доказательство

От обратного, а именно: предположим, что уравнение  имеет несколько решений, представленных натуральными числами . Все решения приводят к целочисленным равенствам вида

Числа , ,  образуют тройки взаимно простых натуральных чисел, для которых в соответствии с АВС-теоремой 2 [3, C. 48] выполнится такое соотношение:

Из равенства (1) следует: . Поэтому при  будет . Следовательно,

С учётом (3) соотношение (2) запишется так:

Из соотношения (4) следует, что в равенстве (1) должно быть .

Для выполнения равенства (1) при условии  необходимо, чтобы мéньшее число  возводилось бы в бόльшую степень, чем число , то есть, должно выполняться неравенство

Действительно, из условия  следует . Выполнение равенства (1) требует, чтобы показатель степени для числа  был больше, чем .

При условии неравенства (5) и  и возможны два случая:

1.  и .
2.  и .

В первом случае уравнение  превращается в уравнение

В соответствии с доказательством Эйлера это уравнение имеет единственное целочисленное решение: ,  [5, с. 9].

Во втором случае уравнение  превращается в уравнение . Докажем, что это уравнение не имеет решений в натуральных числах. Действительно, если предположить, что данное уравнение имеет хотя бы одно решение, например, ,  и учесть, что , где - любое натуральное число (в частности, ), то получим равенство . Исходя из теоремы 3 [4, С. 49]: равенство  в котором , при , ,  невыполнимо для любых взаимно простых чисел , , . Теореме 3 предшествует теорема 2 [4, С. 48]: равенство  невыполнимо для любых наборов чисел ; 1, , с которыми выполнялись бы равенства  и  при условиях , , , , . В свою очередь теореме 2 предшествует теорема 1 [4, С. 45-47], следствие из которой [4, С. 47-48] гласит: для выполнимого равенства , в котором , , - любые натуральные взаимно простые числа, , , , выполнимо соотношение , где , , . Напомним формулировку теоремы 1: необходимое и достаточное условие выполнения равенства , в котором , , ,  ̶ любые ненулевые натуральные взаимно простые числа, , , , , представимо триадой равенств:

где  ℕ₀ 

Здесь символом ℕ обозначены натуральные, то есть положительные целые числа без нуля. Символом ℕ₀ обозначены натуральные числа c нулём. Можно убедиться в истинности теоремы 1 на примерах , .

Итак, последовательностью этих теорем доказывается, что уравнение  не имеет решений в натуральных числах. Следовательно, получается, что уравнение  имеет только одно целочисленное решение (Эйлерово решение), что противоречит нашему начальному предположению о том, что уравнение  имеет несколько решений, представленных натуральными числами . В силу закона логики – закона противоречия – приходим к выводу о ложности начального предположения и, следовательно, об истинности теоремы, заключающейся в том, что уравнение  имеет только одно решение, представленное натуральными числами , , , . Что и требовалось доказать.

Список литературы:

1. E. Catalan, Note extradite d’une lettre adressere a` l’erditeur, J. reine angew. Math. 27 (1844), 192.
2. Preda Mihᾰilescu, Primary cyclotomic units and a proof of Catalanʼs conjecture, Journal für die reine und angewandte Mathematik , 2004 (572): 167-195.
3. Агафонцев В.В. АВС-теоремы для двух формулировок АВС-гипотезы //Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. LXXV междунар. науч.-практ. конф. № 5(66).- Новосибирск: СибАК, 2024.- С. 43-50. Электронный ресурс: https://sibac.info/files/2024_05_22_technics/5%2866%29.pdf Д/обр- 7.06.2024.
4. Агафонцев В.В, Федоров Д.А. О случаях наличия и отсутствия решения уравнения Ферма-Каталана // Вопросы технических и физико-математи-ческих наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. LXXIV междунар. науч.-практ. конф. № 4(65).- Новосибирск: СибАК, 2024. - С. 37-50. Электронный ресурс: https://sibac.info/files/2024_04_22_technics/4%2865%29.pdf Д/обр- 7.06.2024.
5. Сендеров В, Френкин Б. Гипотеза Каталана // Журнал ″КВАНТ″ №4, 2007.- С. 8-9.