УТОЧНЕНИЕ ОДНОЙ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ФЕРМА-КАТАЛАНА

REFINEMENT OF ONE THEOREM FOR FERMA-CATALAN EQUATION

Valery Agafontsev

Candidate of Science, retired,

Russia, Pskov

Правнуку моему Лёнечке Молоданову

п о с в я щ а е т с я

АННОТАЦИЯ

В данной статье даётся уточнённый вариант доказательства теоремы 2 для уравнения Ферма-Каталана . Ранее теорема 2 представлялась в статье [1, С. 48-49], где был рассмотрен случай отсутствия решения уравнения Ферма-Каталана при .  

ABSTRACT

In this article we give a refined version of the proof of theorem 2 for the Fermat-Catalan equation . Previously, theorem 2 was presented in [1, pp. 48-49], where the case of no solution of the Ferma-Catalan equation at

Ключевые слова: уравнение Ферма-Каталана.

Keywords: Ferma-Catalan equation.

Вводная часть

Для удобства прочтения доказательства теоремы 2 приведём связанное с ней доказательство теоремы 1.

ТЕОРЕМА 1

Необходимое и достаточное условие выполнения равенства

,

в котором , , ,  ̶ любые ненулевые натуральные взаимно простые числа, , , , , представимо триадой равенств:

где  ℕ₀ 

Здесь и далее символом ℕ обозначены натуральные, то есть положительные целые числа без нуля. Символом ℕ₀ обозначены натуральные числа c нулём.

Доказательство

Запишем правую и левую части равенства  в C-ричной позиционной нумерации; получим:

где число нулей в правой части равенства (1) в соответствии с леммой [1, C.44-45] равно точно z.

Из равенства (1) следует необходимое условие его выполнения. Такое условие заключается в том, что:

I. C-ричная запись каждого из чисел  и  в равенстве (1) должна содержать не более, чем z C-ричных разрядов. Действительно, правая часть равенства (1) представляет собой наименьшее целое C-ричное число, содержащее  разрядов, старший, -й, из которых имеет наименьшее ненулевое значение. Поэтому, если хотя бы одно из чисел  или  будет представляться  C-ричными разрядами, то это сделает равенство (1) невыполнимым, так как его левая часть будет заведомо больше правой части. Следовательно, числа  и  в их C-ричной записи представимы не более, чем  C-ричными разрядами:

Учитывая позиционность C-ричной нумерации, числа  и  в их количественном эквиваленте представимы так:

Здесь ; . По условию , следовательно, исходя из равенства ,  и , поэтому , .

 II. В соответствии с равенством (1) поразрядные суммы C-ричных записей правой части равенств (2) должны удовлетворять таким соотношениям:

где . Переходя к количественному эквиваленту равенств (4), получим:

Выполнение равенств (3), (5) является не только необходимым, но и достаточным условием выполнения равенства . Действительно, если предположить, что равенства (3), (5) выполняются и сложить левые и правые части равенств (3) соответственно, а также учесть равенство (5), то получим равенство , что и требовалось доказать.

Следствие из теоремы 1

 Для выполнимого равенства , в котором , , -любые натуральные взаимно простые числа; , , , выполнимо соотношение , где , ,

Доказательство

По теореме 1, если выполняется равенство , в котором ,  и  ̶ любые ненулевые натуральные взаимно простые числа, , , , , то для чисел ,  и  выполнимы равенства (3) и (5), в которых , , .

Сложим левые и правые части равенств (3) соответственно. Получим соотношение:

что и требовалось доказать.

В соответствии с равенством (5) из необходимых условий выполнения равенства  следует такая цепочка (кортеж) равенств:

1)  ,

2)  ,

3) ,

4)  

Завершает кортеж равенство, в правой части которого число  в степени . Отметим, что во всех равенствах кортежа стоит одно и то же число . Убедимся в этом на двух числовых примерах.

Рассмотрим равенство В соответствии с равенствами (3) и (5) можно записать:

, , , ,

, , , ,

Нетрудно убедиться в выполнимости четырёх равенств кортежа.

Рассмотрим равенство В соответствии с равенствами (3) и (5) можно записать:

,

, , , ,

, , , ,

Нетрудно убедиться в выполнимости пяти равенств кортежа. Отметим, что в рассмотренных примерах один из показателей  или  равен .

Докажем невыполнимость равенства (6) в том случае, когда в равенстве , , , где ; .

Теоретико-доказательная часть

ТЕОРЕМА 2

Равенство , где ; 1, , невыполнимо с любым числом ,  с которым выполнялись бы равенства ,  при условиях: ; ; , , .

Доказательство

От обратного! А именно: предположим, что равенство

где ; 1, , выполнимо хотя бы с одним числом , с которым выполнялись бы равенства ,   при условиях: ; ; , , . Из нашего предположения о выполнимости равенства (7) и равенств ,  следует выполнимость равенства  хотя бы с одним числом . В соответствии с теоремой 1 выполнимость этого равенства обеспечивается необходимым условием (5), заключающимся в том, что , где . Данное условие порождает такую цепочку (кортеж) из  равенств:

1) ,

2) ,

3) ,

  ʺ       ʺ        ʺ        ʺ        ʺ

z)  

Отметим, что в соответствии с теоремой 1 цепочка из первых трёх равенств кортежа порождалась бы и гипотетическим равенством . Но такого равенства быть не может, так как по теореме Эйлера уравнение  не имеет решений в целых отличных от нуля числах [2, С. 34-38], [3, С. 57-60], [4]. Поэтому c любым числом  равенство  при , , z  невыполнимо. Следовательно, c любым числом  при условиях ; ; , ,  первые три равенства кортежа невыполнимы. Заметим, что число  входит и в другие равенства кортежа. Из этого следует невыполнимость всех равенств кортежа с любым числом . Получили противоречие, заключающееся в том, что с одной стороны, исходя из предположения выполнимости равенства (7) выполнимы все равенства кортежа хотя бы с одним числом  при условиях ; ; , , . С другой стороны при тех же условиях невыполнимы все равенства кортежа с любым числом . Следовательно, наше предположение о выполнимости равенства (7) хотя бы с одним числом  является ложным, так как через последовательность импликаций приводит к противоположному утверждению. В силу фундаментального закона логики – закона противоречия, сформулированного Аристотелем: «невозможно, чтобы противоречащие утверждения были истинными по отношению к одному и тому же» [5, С. 90], приходим к выводу об истинности заключения теоремы 2, то есть о том, что при заданных условиях равенство (7) невыполнимо. Следовательно, при тех же условиях выполнимо неравенство

что и требовалось доказать.

Список литературы:

1. Агафонцев В.В, Федоров Д.А. О случаях наличия и отсутствия решения уравнения Ферма-Каталана //Вопросы технических и физико-математических наук в свете современных исследований: сб. ст. по матер. LXXIV междунар. науч.-практ. конф. №4(65).-Новосибирск: СибАК, 2024.- С. 37-50. Электронный ресурс - https://sibac.info/files/2024_04_22_technics/4(65).pdf (дата обращения - 28.10.2024).
2. Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. М.: Наука, 1982. – 242 с.
3. Эдвардс Г. [Edwards H.] Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел / пер. с англ. В.Л. Калинина и А.И. Скопина / под ред. Б.Ф. Скубенко. М.: Мир, 1980. – 486 с.
4. Мачис Ю.Ю. О предполагаемом доказательстве Эйлера // Матем. Заметки. 2007. №82:3. С. 395-400.
5. Маковельский А.О. История логики. М.: изд-во «Кучково поле», 2004.- 480 с.