ДОСТАТОЧНОСТЬ ГЛАДКОСТИ СЛАГАЕМЫХ В ОБЩИХ ИНТЕГРАЛАХ КЛАССИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

​THE SUFFICIENCY OF THE SMOOTHNESS OF THE TERMS IN THE GENERAL INTEGRALS OF CLASSICAL SOLUTIONS TO SECOND-ORDER LINEAR WAVE EQUATIONS

Fedor Lomovtsev

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor of the Department of Intelligent Modeling Methods, Professor, Belarusian State University,

Belarus, Minsk

АННОТАЦИЯ

В этой статье впервые введены автором новые многомерные интегральные обобщенные функции Дирака в дополнение к известным числовым обобщенным функциям Дирака. С помощью двумерных интегральных функций Дирака им доказано, что дважды непрерывная дифференцируемость слагаемых общего интеграла классических решений линейного уравнения колебаний струны не является необходимой (обязательной) для дважды непрерывной дифференцируемости их суммы. Установлена разрывность вторых частных производных от новых частных решений неоднородного уравнения колебаний струны на критической характеристике в первой четверти плоскости. Указаны новые методы вывода критериев корректности на входные данные смешанных задач для волновых уравнений во множестве классических решений.

ABSTRACT

In this article, the author introduces new multidimensional integral generalized Dirac functions for the first time in addition to the known numerical generalized Dirac functions. Using two-dimensional integral Dirac functions, he proves that twice continuous differentiability of the terms in the general integral of classical solutions to the linear string vibration equation is not necessary (mandatory) for twice continuous differentiability of their sum. Discontinuity of the second partial derivatives of new partial solutions of the inhomogeneous string vibration equation on its critical characteristic in the first quadrant of the plane is established. New methods for deriving criteria for the correctness of input data of mixed problems for wave equations in a set of classical solutions are indicated.

Ключевые слова: многомерная интегральная функция Дирака; уравнение колебаний струны; классические решения однородного и неоднородного уравнений.

Keywords: multidimensional Dirac integral function; string vibration equation; classical solutions of homogeneous and inhomogeneous equations.

1.  Многомерные весовые интегральные функции Дирака

Известно, что сумма двух разрывных функций одной переменной  может быть как разрывной, так и гладкой по . Например, сумма разрывных при  функций  и  тождественно равна нулю, т.е. может быть гладкой и даже бесконечно дифференцируемой по  при  и на всей вещественной прямой  Это справедливо и для общего интеграла классических решений

                                                               (1)

уравнения колебаний струны с двумя независимыми переменными

                                                 (2)

в ограниченном квадрате плоскости  потому что в реальных процессах временная переменная  конечна. Классическими решениями уравнения (2) мы называем дважды непрерывно дифференцируемые функции    для которых выполняется равенство (2) при всех  

Известны одномерные числовые обобщенные функции Дирака в фиксированных точках из [1] и значения функций нескольких переменных в фиксированных точках вместо значений поверхностных интегралов от них на сферах или гиперплоскостях из [9].

Утверждение 1.  Дважды непрерывная дифференцируемость функций  и  не является необходимой (обязательной) для дважды непрерывной дифференцируемости суммы (1) на множестве  

Доказательство. Пусть  –– множество бесконечно непрерывно дифференцируемых основных функций  имеющих почти всюду на  ограниченное произведение  с весовой функцией  Основное векторное топологическое (полное локально выпуклое метризуемое) пространство Фреше   ––  множество  основных функций с топологией компактной сходимости из полунорм Л. Шварца [12] или сходимостью к нулю [1]. В пространстве  топология компактной сходимости задается полунормами  

где компакты  –– замыкания открытых множеств    из локально конечного покрытия    множества

Линейные непрерывные функционалы сопряженного пространства  к пространству Фреше  мы будем называть весовыми обобщенными функциями (весовыми распределениями) c компактным носителем.

Регулярные весовые распределения  на основных функциях  определяются билинейным двойным интегралом  

                                          (3)

с весовой функцией  не принадлежащей сопряженному пространству  с нормой  к пространству Лебега  Все остальные весовые распределения из  будем называть сингулярными.

Весовое пространство локально интегрируемых функций  состоит из всех функций  интегрируемых по Лебегу на любом компакте  из открытого множества  Если весовая функция  на , то пространства   и  совпадают соответственно с обычными (известными) пространствами локально интегрируемых функций по Лебегу , основных функций  и распределений  [1; 10].

В формуле (3) при  интеграл конечен, так как в нем нет неопределенности типа  при  Поскольку характеристика  имеет нулевую меру в двумерной области  то регулярные весовые распределения  из (3) при  равны

                                       (4)

На  для  верно неравенство

                                      (5)

так как справедливы равенства

Из неравенства (5) и очевидного неравенства

мы выводим неравенство

                                                        (6)

Отсюда следует, что очевидно существует компактное множество  в  для которого выполняется неравенство (6) с  вместо  и полунормой  пространства Фреше  в правой части этого неравенства. Таким образом, линейное отображение  одной характеристики  из пространства основных функций  в другую характеристику  из пространства  является непрерывным.

Мы применим следующую новую двумерную функцию Дирака.

Определение 1. Двумерной весовой обобщенной функцией Дирака будем называть линейный непрерывный функционал , равный

где  –– некоторая весовая функция и  –– вещественная прямая.

В определении 1 весовой  функции Дирака подынтегральную функцию можно заменить на функцию  аналогично подынтегральной функции регулярных весовых распределений  с  из (4).

В силу непрерывности выше указанного отображения  и определения 1 с функциями   общий интеграл (1) уравнения колебаний струны (2) можно записать в виде

                                           (7)

Затем в равенстве (7) мы полагаем  и получаем равенство  на множестве  Утверждение 1 доказано с помощью новой двумерной интегральной функции Дирака из определения 1.

Следствие 1. Аналогичное утверждение с многомерными функциями Дирака справедливо для евклидовых пространств  

Замечание 1. Утверждение 1 указывает на ошибочность необходимости дважды непрерывной дифференцируемости функций  и  в [2]. В аналоге доказательства утверждения 1 можно заменить множество  пространства  на первую четверть плоскости  Целесообразно развивать теорию весовых распределений и её приложений в экономике, физике, математике и других общественных и естественных науках.

2. Необходимость гладкости и согласования в смешанных задачах

Необходимость требований гладкости и условий согласования начальных и граничных данных с правыми частями общего и модельного телеграфных уравнений с переменными коэффициентами для вторых смешанных задач получены на полупрямой в [8] и на отрезке в [7]. В этих работах необходимость выводится из постановок смешанных задач новыми методами корректировки пробных решений в классические (дважды непрерывно дифференцируемые) решения из [5], вспомогательных смешанных задач на полупрямой из [4], неявных характеристик из [10] и другими методами. Более того, в статье [8] впервые выведены формулы Римана классических решений второй смешанной задачи новым методом компенсации граничного режима правой частью волнового уравнения. Во вторых смешанных задачах из статей [3; 8] и обобщенной задаче Коши для общего телеграфного уравнения с переменными коэффициентами и условиями Коши на кривой в плоскости из [6] заменой переменных интегрирования впервые установлены следствия: если правые части волновых уравнений зависят только от времени  или координаты  то для дважды непрерывной дифференцируемости частных решений неоднородных волновых уравнений необходимо и достаточно только непрерывности их правых частей по этой переменной  или  В этих работах установлены глобальные критерии корректности (необходимые и достаточные условия на правые части дифференциальных уравнений и дополнительных условий) краевых задач во множестве классических решений без их явных периодических или других продолжений вдоль оси . В них использование рекуррентных начальных условий вдоль временной оси  предпочтительнее традиционных периодических и других продолжений вдоль оси . Только в методе вспомогательных смешанных задач на полупрямой (в первой четверти плоскости) для обоснования единственности их классических решений на отрезке (в полуполосе плоскости) свертками с финитными функциями легко строятся гладкие продолжения классических решений с полуполосы на четверть плоскости без дополнительных условий на данные этих задач [4].

Утверждение 2. Во второй смешанной задаче для уравнения колебаний струны (2), в котором  с граничным условием  терпят разрыв на характеристике  вторые частные производные функции

                                           (8)

Доказательство. На характеристике  уравнения (2) в первой четверти плоскости  непрерывна первая частная производная по  от функции (8)

                              (9)

                          (10)

Мы дифференцируем частные производные (9) и (10) ещё раз по  и получаем следующие вторые частные производные по

                             (11)

                             (12)

Из равенств (11) на множестве  и (12) на множестве

 находим разрыв на характеристике  этих вторых частных производных

                                       (13)

Аналогично (13) вычисляются разрывы на характеристике  вторых частных производных

Во второй смешанной задаче утверждения 2 значение  правой части уравнения (2) в начале координат, так как значение  отсутствует в условиях согласования   из [2, С. 1230] для множества её классических (дважды непрерывно дифференцируемых) решений   Утверждение 2 доказано.

Следствие 2. Функция  из (8) является обобщенным (один раз непрерывно дифференцируемым) частным решением уравнения колебаний струны (2) с правой частью  второй смешанной задачи в первой четверти плоскости .

Замечание 2. Пусть в статье [2, С. 1225] отсутствует нелинейность волнового уравнения при  Тогда гладкость функций    не дает дважды непрерывную дифференцируемость функций     на  Выше в утверждении 2 это показано для  Доказательство теоремы 1 в [2, С. 1225] содержит ошибку: из гладкостей  и  не всегда следует гладкость  Например, также, как для первой производной по  от модуля  переменной  при  Во вторых частных производных от  модуль  нижнего предела интегрирования в (8) вызвал разрыв на характеристике  аналогично модулю   нижнего предела интегрирования в формуле (31) учебника [11, С. 83].

Заключение. Доказанное утверждение 1 указывает на то, что дважды непрерывная дифференцируемость и более высокая гладкость слагаемых общих интегралов линейных волновых уравнений служит только достаточным требованием, но не является необходимым (обязательным) условием соответственно дважды непрерывной дифференцируемости и более высокой гладкости их суммы. Поэтому для классических решений необходимость гладкости и согласованности исходных данных смешанных задач следует обосновывать их постановкой и уже известными новыми методами. Для второй смешанной задачи в первой четверти плоскости обосновано утверждение 2, которое показывает разрыв на характеристике  вторых частных производных явного неклассического решения (8) неоднородного волнового уравнения. Во множестве классических решений автором настоящей статьи разработаны новые методы вывода глобальных теорем корректности с необходимыми и достаточными требованиями гладкости и условиями согласования на все исходные данные смешанных задач для волновых уравнений с переменными коэффициентами. Из этих глобальных теорем корректности смешанных задач можно выводить глобальные теоремы их корректности для множеств обобщенных решений, потому что обобщенные решения являются соответствующими пределами их классических решений.

Список литературы:

1. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. – Москва. 1976. – 280 с.
2. Корзюк В. И., Рудько Я. В. Классическое решение второй смешанной задачи для телеграфного уравнения с нелинейным потенциалом. // Дифференциальные уравнения. – 2023. – Т. 59, № 9. – С. 1222–1239.
3. Ломовцев Ф. Е. Вторая смешанная задача для общего телеграфного уравнения с переменными коэффициентами в первой четверти плоскости. // Вестник Гродненского государственного университета имени Янки Купалы. Серия 2. Математика. Физика. Информатика, вычислительная техника и управление. – 2022. – Т. 12, № 3. – С. 50–70.
4. Ломовцев Ф. Е. Глобальная теорема корректности по Адамару первой смешанной задачи для волнового уравнения в полуполосе плоскости. // Вестник Гродненского государственного университета имени Янки Купалы Серия 2. Математика. Физика. Информатика, вычислительная техника и управление. –2021. – Т. 11, № 1. – С. 68–82.
5. Ломовцев Ф. Е. Критерий гладкости частного классического решения неоднородного модельного телеграфного уравнения в первой четверти плоскости. // Вестник Полоцкого государственного университета. Сер. С. Фундаментальные науки. Математика. – 2022. – № 11. – С. 99–116. DOI: 10.52928/2070-1624-2022-39-11-99-116.
6. Ломовцев Ф. Е., Кухарев А. Л. Задача Коши для общего телеграфного уравнения с переменными коэффициентами при условиях Коши на кривой линии в плоскости. // Труды WSEAS по математике, ISSN/E–ISSN:1109-2769/2224-2880, Т. 22, 20 декабря, – 2023, Art. 103. – С. 936–949. DOI: 10.37394/23206.2023.22.103 https://wseas.com/journals/articles.php?id=8733
7. Ломовцев Ф. Е., Лиу Зенхай, Чеб Е. С. Глобальная теорема корректности второй смешанной задачи для модельного волнового уравнения с переменной скоростью на отрезке. // Современные методы теории краевых задач: матер. междунар. конф. ВВМШ «Понтрягинские чтения - XXХIV». (Воронеж, 3–9 мая 2023 г.). Воронеж: Издательский дом ВГУ, – 2023. ­– С. 464–467.
8. Ломовцев Ф. Е. Метод компенсации граничного режима правой частью телеграфного уравнения с переменными коэффициентами в решении второй смешанной задачи на полупрямой. // Вестник Гродненского государственного университета имени Янки Купалы. Серия 2. Математика. Физика. Информатика, вычислительная техника и управление. – 2023. – Т. 13, № 1. – С. 39–63. //https://elibrary.ru/item.asp?id=50313946
9. Ляхов Л. Н., Калитвин В. А., Лапшина М. Г. Обращение B – потенциалов Рисса и преобразования Радона ­– Киприянова. // Воронежская зимняя математическая школа: матер. междунар. ВЗМШ. (Воронеж, 30 января–4 февраля 2025 г.). Воронеж: Издательский дом ВГУ, – 2025. – С. 212–215.
10. Ломовцев Ф. Е. Первая смешанная задача для общего телеграфного уравнения с переменными коэффициентами на полупрямой. // Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика. –2021. № 1. – С. 18–38.
11. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. – Москва. 2004. – 798 с.
12. Шварц Л. Теория распределений. – Париж. Т. 1, 1950, Т. 2, 1951.