ОСОБЕННОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ

PECULIARITIES TRANSFORMATION OF NONLINEAR EQUATIONS OF DYNAMICS CONTROL SYSTEMS

Korolev Vladimir

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor

Saint Petersburg State University, Saint Petersburg, Russia

АННОТАЦИЯ

Обсуждаются особенности применения в нелинейных задачах механики уравнений движения в гравитационных полях, когда уравнения или решения содержат негладкие функции. Классическая механика занимается исследованием свойств, аппроксимацией и прогнозированием движения для задач с регулярными функциями. Решение нелинейных уравнений динамики использует дополнительные преобразования для устранения особенностей уравнений для сложных систем, которые приводят к линейному виду, или возможности решения с учетом этапов последовательного приближения. Рассматривается применение таких преобразований для решения задач управляемого движения космических аппаратов в гравитационном поле с учетом действующих сил после приведения к каноническому виду или регулярным элементам. Управление релейного вида определяет моменты переключения в угловых точках на основе принципа максимума Понтрягина. Требуется состыковка последовательных участков траектории.

ABSTRACT

Application problems in the mechanics of motion equations in gravitational fields are considered when solutions contain equation or non-smooth function. Classical mechanics has been researching the properties, approximation and forecasting movement for problems with regular functions. Solution of nonlinear equations of the dynamics using additional conversion to eliminate the characteristics of the equations for complex systems, which lead to a linear form and possible solutions based on the stages of successive approximation. The use of such a transformation is considered to solve the problems of spacecraft motion in the gravitational field, taking into account the perturbations by the action of other forces after reduction to the canonical regular elements. Control determines the type of the relay switching points at the corner points on the basis of the Pontryagin maximum principle. To represent solutions require interfacing of consecutive trajectory.

Ключевые слова: нелинейные динамические системы; преобразования уравнений; космическая динамика; теория управления.

Keywords: nonlinear dynamical systems; space dynamics; conversion equations; control theory.

Все науки – это модели реального мира

В.Ф. Демьянов

Проблемы математического моделирования динамических процессов и нелинейных задач механики управляемых систем начинаются с постановки и описания возможных условий, которые желательно учитывать [1-5, 12-19]. Далее нужно уточнить определения и утверждения, которые предлагается использовать при формализации и логических построениях. Для построения математических моделей динамических систем следует выделить совокупность объектов исследования и определить условия взаимодействия внутри системы, а также возможное влияние дополнительных внешних сил [6, 9-14, 18-22]. Начальный этап моделирования задач предполагает переход к обоснованному выбору условий, которые могут учитываться для записи уравнений на основе законов и принципов, аксиом, алгоритмов и методов. Основные законы динамики со времен Ньютона хорошо описывают движение естественных или искусственных небесных тел Солнечной системы [16, 21]. Величина и направление гравитационных сил определяется положением Солнца и планет в идеальной системе отсчета, которая считается инерциальной. Особое значение имеет удачный выбор системы отчета или обобщенных координат для записи уравнений движения. Одним из универсальных является метод составления уравнений Лагранжа второго  рода для вектора позиционных или обобщенных координат, которые можно записать в канонической форме после введения обобщенных импульсов в число фазовых переменных.

Исследование математических моделей возмущенного движения в гравитационных полях используется для нахождения оптимального управления маневрирования космических аппаратов [12-16]. Требования к эффективности алгоритмов решения задач приводит к дополнительным исследованиям в более сложной постановке в особых случаях при движении по траекториям, близких к соударению или максимального сближения с притягивающими центрами [6, 9-14]. Уравнения в регуляризованном виде оказались удобными для решения вопросов существования и продолжаемости решений, а также для использования асимптотических или численных методов. Использования специальных преобразований уравнений позволяет существенно сократить время вычислений и повысить точность прогнозирования движения.

Математическое моделирование процессов сложных динамических систем может менять наше представление о наблюдаемых явлениях. Воображение позволяет сформировать, а компьютер может изобразить на экране даже то, чего нельзя увидеть или не может быть в реальном мире. Когда не было компьютеров, достаточно было включить свои внутренние картины и образы фантазии, чтобы дополнить реальность новыми возможностями.

Многие задачи оптимального управления движением механических систем, в том числе в космической динамике, приводятся к системе сложных нелинейных уравнений для совокупности необходимых условий стационарности функционала [15-18]. Поэтому особого внимания требуют преобразования уравнений к виду, для которого возможно получить общее решение или провести в аналитическом виде качественное исследование свойств и удобный алгоритм численного моделирования.

Основные проблемы определяются функциями в правых частях системы обыкновенных дифференциальных уравнений, где могут присутствовать сложные тригонометрические выражения или степени различного порядка для аргументов. Например, в задачах космической динамики можно использовать для гравитационного поля Земли (геопотенциала) функцию

                                  (1)

Функции  уравнений могут иметь особые точки (в том числе ), отсутствие производных или другие особенности. В задачах управления  могут иметь разрывы непрерывности, игольчатые вариации  или особые ограничения.

Уравнения необходимых условий оптимальности содержат систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которые описывают динамику при выборе состава действующих сил, а также систему сопряженных уравнений Эйлера-Лагранжа для вектора дополнительных переменных для условного функционала, а также условие максимума функции Понтрягина по управлению и краевые условия трансверсальности [12-19].

Вид и свойства уравнений движения космического аппарата определяет выбор системы обобщенных координат, алгоритм или способ формирования на основе соответствующих законов классической механики. В наиболее общем виде можно записать

                                              (2)

где  – декартовы координаты,  – гравитационный параметр центрального тела,  – модуль радиус-вектора,  – силовая функция [22] учитываемых возмущений геопотенциала и всех потенциальных сил,  – непотенциальные силы при учете сопротивления атмосферы, светового давления, при работе реактивного двигателя на активном участке, или других возмущающих сил.

Определение траекторий движения в гравитационном поле с учетом основных возмущений других действующих сил можно выполнить для пространственного случая задачи двух тел после регуляризирующего преобразования Кустаанхеймо-Штифеля или для ограниченной задачи трех тел обобщенным преобразованием Биркгофа [6, 9, 15, 20, 23] и переходом к линейным уравнениям в конфигурационном пространстве увеличенной размерности или каноническим уравнениям для регулярных элементов [10].

При действии малых возмущений уравнения (2) можно записать для случая потенциальных сил в каноническом виде с учетом зависимости от малого параметра:

                                      (3)

Здесь  – канонические переменные,  – функция Гамильтона, которая допускает выделение части , порождающей общее решение в нулевом приближении, и возмущения малого порядка при выбранной реализации управления: .

Систему уравнений (3), которые должны выполняться на оптимальном решении, можно привести к нормальной форме и записывать как векторное дифференциальное уравнение вида

                      (4)

Для записи условий стационарности функционала из критерия качества

                      (5)

оказалось удобным и целесообразным ввести лагранжевы множители  по числу скалярных уравнений системы (4) и переходу к гамильтониану задачи оптимизации вида

                      (6)

Общее решение уравнений движения в нулевом приближении, зависящее от времени и набора произвольных постоянных, позволяет получить решение уравнений Эйлера-Лагранжа [7-9, 13, 16, 19] и определить функцию Гамильтона задачи оптимизации с помощью дифференцирования по вектору произвольных постоянных.

Тогда систему уравнений необходимых условий стационарности, которые должны выполняться на оптимальном решении составит совокупность:

,                                                       (7)

,                                                (8)

которую можно дополнить условиями трансверсальности для граничных значений. Условие максимума функции Гамильтона по управлению

,                                                                (9)

можно дополнить при выборе ограниченного множества U всех функций допустимого управления соотношением, которое получило название принципа максимума Понтрягина

.                                          (10)

В левой и правой частях формулы (10) переменные  x и  одни и те же.

Они равны значениям в момент времени t на траектории с оптимальным управлением . Рассматривается максимум функции H только по всем допустимым управлениям.

Если функция Гамильтона  линейно зависит от управления , тогда частные производные по управлению будут непрерывными функциями времени, а во всех точках, где управление  изменяет знак (так называемая точка переключения управления), будет выполняться условие (9). Это позволяет искать моменты переключения управлений.

Фундаментальная матрица решений системы уравнений возмущенного движения определяется через решения системы уравнений в вариациях [9]. Это позволяет определить параметры оптимального решения [13]. Решение получается последовательным удовлетворением уравнений, полученных для соответствующей степени малого параметра из общей совокупности условий стационарности [11]. Оптимальное маневрирование может быть реализовано включением двигателей управляемого космического аппарата. При этом используется полученное на основе принципа максимума Понтрягина явное представление лагранжевых множителей на участках активного и пассивного полета космических аппаратов [2, 12, 17], а также совместной системы уравнений движения (7) и уравнений Эйлера-Лагранжа (8). Оптимальное управление при маневрировании может быть реализовано включением двигателей космического аппарата достаточно большой тяги на коротком промежутке времени.

При необходимости обслуживания большого числа объектов можно использовать принцип декомпозиции, который применяли для соединения этапов движения на активных и пассивных участках траекторий движения космического аппарата в виде функций времени. В точках сопряжения конечные данные переходят в начальные для нового участка орбиты. Аппроксимация возмущений кусочно-непрерывными функциями приводит к последовательному сопряжению участков траекторий, полученных при выбранной параметризации промежутков движения.

                 (11)

Общее решение получается в виде нелинейных функций времени, которые не имеют производных в угловых точках траекторий. Особенность задачи в том, что нужно последовательно выполнить эти условия для всех объектов возможной встречи из выделенной совокупности. Если условия сближения с очередным объектом не требуют изменения скорости, то можно продолжать движение до момента встречи со следующим объектом.

Энергетически оптимальные решения задач маневрирования со свободным временем дают глобально оптимальные решения, однако они требуют очень больших промежутков времени ожидания наступления моментов, благоприятных для старта и выхода на оптимальные орбиты перехода для встречи с другим объектом. Время движения между двумя точками орбиты можно определить из решения уравнения Кеплера. Энергетически оптимальные переходы с учетом ограничений времени движения по орбитам дают лишь локально оптимальные решения относительно времени старта.

Отметим, что задачи с учетом времени движения по орбитам являются существенно более сложными для исследования. Ограничения в задачах оптимизации играют решающую роль, а значения параметров могут часто находиться на границе допустимой области.

Список литературы:

1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. – М.: Наука, 1979. – 432 с.
2. Бабаджанянц Л.К., Потоцкая И.Ю. Управление по критерию расхода в механических системах. – СПб: С-Петерб. ун-т, 2003. – 137 с.
3. Брумберг В.А. Релятивистская небесная механика. – М.: Наука, 1972. – 382 с.
4. Демьянов В.Ф. Математическая модель развития динамических систем // Вестн. С-Петерб. ун-та. Серия 1. 2002. Вып. 4. – С. 11-20.
5. Демьянов В.Ф. Математическая модель динамического процесса // Доклады Академии Наук, 2004, том 395, № 2. – С. 178-182.
6. Королев В.С. О траекториях соударения в плоской круговой ограниченной задаче трех тел // Проблемы механики управляемого движения. – Пермь: изд. ПГУ, 1974. – С. 43-47.
7. Королев В.С., Коваленко А.Н. К обоснованию схемы поэтапной оптимизации // Механика управляемого движения. – Л.: изд. ЛГУ, 1979. – С. 58-69.
8. Королев В.С. Экстремум функции малого параметра при наличии ограничений // Вестник ЛГУ, № 19, 1983. – С. 72-74.
9. Королев В.С. Асимптотические методы вычисления и оптимизации траекторий, близких к соударению // Динамика механических систем. – Томск: изд-во ТГУ, 1987. – С. 174-176.
10. Королев В.С. Уравнения возмущенного движения регуляризованной задачи трех тел // Вопросы механики и процессов управления. Вып. 16. – СПб: изд. СПбГУ, 1994. – С. 71-78.
11. Королев В.С. Определение движения навигационных спутников с учетом возмущений // Вестн. С-Петерб. ун-та. Серия 10. 2004. Вып. 3. – С. 39-46.
12. Королев В.С. Моделирование оптимальных траекторий космических аппаратов при наличии ограничений // Управление в морских и аэрокосмических системах. – СПб.: Изд. ЦНИИ Электроприбор, 2014. – С.446-450.
13. Королев В.С. Оптимальные траектории перехода космических аппаратов между заданными орбитами различного типа // Технические науки – от теории к практике, № 32, 2014. – С. 62-70.
14. Королев В.С. Задачи маневрирования космических аппаратов для инспектирования или обслуживания системы тел // Исследования Наукограда. Научный журнал. № 2(12), 2015. – С.18-23.
15. Королев В.С., Новоселов В.С. Управление гамильтоновой системой с учетом возмущений // Инновации в науке. 2015. № 51-1. – С. 23-29.
16. Новоселов В.С. Аналитическая теория оптимизации в гравитационных полях. – Л.: изд.ЛГУ, 1972. – 317 с.
17. Новоселов В.С. О слабом управлении возмущенной гамильтоновой системой // Вестник СПбГУ, сер. 1, вып. 4, 1993. – С. 66-70.
18. Новоселов В.С., Королев В.С. Аналитическая механика управляемой системы. – СПб.: изд. СПбГУ, 2005. – 298 с.
19. Охоцимский Д.Е., Сихарулидзе Ю.Г. Основы механики космического полета. – М.: Наука, 1990. – 448 с.
20. Себехей В. Теория орбит. Ограниченная задача трех тел. – М.: Наука, 1975. – 656 с.
21. Субботин М.Ф. Введение в теоретическую астрономию. – М.: Наука, 1968. – 800 с.
22. Холшевников К.В., Кузнецов Э.Д., Шайдулин В.Ш. О представлении гравитационного потенциала некоторых модельных тел // Вестник СПбГУ. Серия 1. 2016. Т. 3. № 3. – С. 489-497.
23. Штифель Е., Шейфеле Г. Линейная и регулярная небесная механика. – М.: Наука, 1975. – 304 с.