ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ МНОГОМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ С КОНЕЧНОМЕРНЫМ ПРЕОБЛАДАНИЕМ

INVESTIGATION OF SYSTEMS OF MULTIDIMENSIONAL LINEAR OPERATOR-DIFFERENCE EQUATIONS WITH FINITE-DIMENSIONAL PREDOMINANCE

Zhumagul Zheentaeva

           Candidate of Science, assistant professor

 Kyrgyz-Uzbek University, Republic of Kyrgyzstan, Osh

АННОТАЦИЯ

В статье полученные ранее автором результаты по существованию специальных решений и асимптотической конечномерности пространства решений начальных задач для систем линейных операторно-разностных уравнений обобщены на системы векторно-матричных операторно-разностных уравнений.

ABSTRACT

In the paper, the results on existence of special solutions and asymptotical finitedimensionality of solutions of initial value problems for systems of linear operator-difference equations obtained by the author earlier are generalized for systems of vector-matrix operator-difference equations.

Ключевые слова: разностное уравнение; система уравнений; специальное решение; начальная задача; асимптотика

Keywords: difference equation; system of equations; special solution; initial value problem; asymptotic

Введение

Отметим, что для решений линейных автономных эволюционных уравнений (в широком смысле) вопрос о структуре пространства решений сводится к исследованию характеристических алгебраических уравнений. Поэтому мы далее рассматриваем существенно неавтономные уравнения.

Для решений начальной задачи для линейного дифференциального уравнения с ограниченным запаздыванием аргумента, в ряде работ (см. обзоры в книге [3] и статье [4]) были найдены условия, когда существует такое одномерное подпространство решений (названных «специальными»), что любое решение стремится при увеличении аргумента к одному из специальных решений. В статье [5] был построен пример, показывающий, что данное явление имеет место не всегда, поэтому возник вопрос о наиболее широких условиях, при которых оно имеет место.

Мы также поставили вопрос о том, для каких наиболее широких классов эволюционных уравнений возникают аналогичные явления. В [1] нами показано, что дифференциальные уравнения с ограниченным запаздыванием аргумента при помощи "расщепления пространства решений» можно привести к уравнениям более широкого класса - эволюционным системам операторно-разностных уравнений - с сохранением их специфики. В [2] - найдены условия для систем операторно-разностных уравнений, соответствующие «малости запаздывания», обеспечивающие наличие аналогичных явлений.

В настоящей статье некоторые результаты [2] обобщены на системы векторно-матричных операторно-разностных уравнений, соответствующих системам дифференциальных уравнений с малым запаздыванием аргумента.

1. Условия наличия специальных решений систем векторно-матричных операторно-разностных уравнений

Применение метода расщепления пространства решений к системе m линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом приводит к системе 2m операторно-разностных уравнений

x_n+1,1=a_n11x_n1+a_n12x_n2+…+a_n1mx_nm +b_n11y_n1+b_n12y_n2+…+b_n1my_nm,

x_n+1,2=a_n21x_n1+a_n22x_n2+…+a_n2mx_nm +b_n21y_n1+b_n22y_n2+…+b_n2my_nm,

…

x_n+1,m=a_nm1x_n1+a_nm2x_n2+…+a_nmmx_nm+b_nm1y_n1+b_nm2y_n2+…+b_nmmy_nm,                                      (1)

y_n+1,1=c_n11x_n1+c_n12x_n2+…+c_n1mx_nm +d_n11y_n1+d_n12y_n2+…+d_n1my_nm,

y_n+1,2=c_n21x_n1+c_n22x_n2+…+c_n2mx_nm +d_n21y_n1+d_n22y_n2+…+d_n2my_nm,

…

y_n+1,m=c_nm1x_n1+c_nm2x_n2+…+c_nmmx_nm+d_nm1y_n1+d_nm2y_n2+…+d_nmmy_nm,

n=0,1,2,3,…,

где искомые: {x_n1:n=0,1,2,…}, {x_n2:n=0,1,2,…}, …, {x_nm:n=0,1,2,…} – числовые последовательности;{y_n1:n=0,1,2,…}, {y_n2:n=0,1,2,…}, …, {y_nm:n=0,1,2,…} -

последовательности элементов некоторого банахова пространства Ω;

заданные:{a_n11,a_n12,…,a_nmm: n=0,1,2,…}- числовые последовательности;

{b_n11, b_n12,…,b_nmm: n=0,1,2,…}  - последовательности линейных функционалов Ω→R;{с_n11, с_n12,…,с_nmm: n=0,1,2,…}  - последовательности элементов из Ω; {d_n11, d_n12,…,d_nmm: n=0,1,2,…}  - последовательности линейных операторов Ω→Ω.

Как будет показано ниже, необходимо, чтобы числовые матрицы из последовательности

 3, …(2)

имели диагональное преобладание, и матрицы из последовательностей

,              (3)

(4)

с элементами, описанными выше, были малы по норме.

Вводя еще обозначения

записываем (1) в виде системы двух векторно-матричных операторно-разностных уравнений

(5)

В качестве нормы в пространствеR^m выберем

||colon{x₁, x₂, …,x_m}||₀ :=max{| x₁|, |x₂|, …,|x_m|}.

Аналогичную норму||⋅||_Ω,0 введем в пространствеΩ ^m. Операторную нормуΩ→ΩиΩ→R будем обозначать ||⋅||_w.

        Предположим, что существуют такие положительные константыa_-<a₊, b, c, d, чтоa_nii∈ [a_–,a₊],i=1..m; |a_nij|≤a, i≠j;||b_nij||_w≤ b, ||c_nij||_Ω≤ c, ||d_nij||_w≤ d,i,j=1..m, n=0,1,2,3,…

Т е о р е м а  1. Если существует положительное число w, удовлетворяющее условиям 1) q_-:= a_--a(m-1) -bmw>0;  2) m(c+ dw)≤q_-w,                                                                                                         

то решение системы (1) с начальными условиями

X₀₁=1, X₀₂=0,..., X_0m=0, Y₀₁=0, Y₀₂=0,..., Y_0m=0                                  (6)

удовлетворяет неравенствам

                                                        (7)

         До к а з а т е л ь с т в о. В силу (6), неравенства (7) выполняются в на-чальный момент времени. Докажем, что из их выполнения при “n”следует их выполнение при “n+1”. Имеем (при i=0слагаемые «до него» и при i=n слагаемые «после него» опускаются):

|X_n+1,i|=|a_ni1 X_n1 + a_ni2 X_n2 +… +a_nimX_nm+ b_ni1 Y_n1 + b_ni2 Y_n2 +… +b_nimY_nm | ³

³a_nii|X_ni|- |a_ni1 X_n1 + a_ni2 X_n2 +…+ a_ni2 X_n,i-1 + a_ni2 X_n,i+1+… +a_nimX_nm|-

-b( ||Y_n1||_W+ ||Y_n2 ||_W+… +||Y_nm ||_W) ³

³a_-|X_ni|- a(|X_n1 |+ |X_n2|+ …+ |X_n,i-1 |+ |X_n,i+1|+… +|X_nm|)-

-bmmax{ ||Y_nj||_W: j=1..m} ³

³a_-|X_ni|-a(m-1) max{|X_nj |: j=1..m} -bmmax{ ||Y_nj||_W: j=1..m},i=1..m.

Применив операцию max к обеим сторонам этого неравенства, получим

(8)

Также имеем:

||Y_n+1,i||_W=||c_0i1 X₀₁ + c_0i2 X₀₂ +… +c_0im X_0m + d_0i1 Y₀₁ + d_0i2 Y₀₂ +… +d_0im Y_0m ||_W≤

≤c(|X₀₁ |+ |X₀₂|+ … +|X_0m|)+d( ||Y₀₁||_W + ||Y₀₂ ||_W +… +||Y_0m ||_W) ≤

≤ c m max{|X_0j |: j=1..m} + d m  max{ ||Y_0j||_W: j=1..m}, i=1..m.

Применив операцию max к обеим сторонам этого неравенства и учитывая оценку (8), получим

Теорема доказана.

2. Приложение к системам линейных дифференциальных уравнений с малым запаздыванием аргумента

Рассматривается система

z₁'(t)=P₁₁(t)z₁(t–h)+ P₁₂(t)z₂(t–h)+… +P_1m(t)z_m(t–h),

z₂'(t)=P₂₁(t)z₁(t–h)+ P₂₂(t)z₂(t–h)+… +P_2m(t)z_m(t–h),                                            (9)

…

z_m'(t)=P_m1(t)z₁(t–h)+ P_m2(t)z₂(t–h)+… +P_mm(t)z_m(t–h),  t∈R₊=[0, ∞), h=const>0,

с начальными условиями

z₁(t)= j₁(t), z₂(t)= j₂(t),..., z_m(t)= j_m(t), t∈ [–h,0],           (10)

где заданы функцииj₁(t), j₂(t),…, j_m(t)∈C[–h,0]иP₁₁(t), P₁₂(t),..., P_mm(t) ∈C(R₊), при этом p_-≤ P_ij(t)≤ p₊, i,j =1..m;p_-< p₊  - заданные числа.

В качестве пространства Ω выбирается{y(t)∈C⁽¹⁾[–h,0]: y(0)=0}, с нормой

||y||_Ω :=sup{ |y(t)/t|: –h≤t<0}, тогда|y(t)| ≤ ||y||_Ω| t |.

Компонент пространства решений z(t)на каждом отрезке [kh–h, kh],

k=1,2,3,… представляется в виде суммы функции-константы xи функции, удов-летворяющей условию y(kh)=0:C⁽¹⁾[–h,0]=R×Ω. Соответственно, компонент оператора сдвига по траекториям

         Из Теоремы 1 следует

Теорема 2. При достаточно малом h система (9)-(10) имеет ненулевые решения, удовлетворяющие неравенству

Список литературы:

1. Жээнтаева Ж.К. Иcследование асимптотики решений линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием с помощью расщепления пространства // Инновации в науке  / Сборник статей  по материалам LVII междунар. научно-практ. конф. № 5 (54). Часть I. Новосибирск: Изд. АНС СибАК , 2016. 190 с. – С. 149-154.
2. Жээнтаева Ж.К. Численные условия наличия асимптотики решений систем линейных разностных уравнений с переменными коэффициентами //  Естественные и математические науки в современном мире  / Сборник статей  по материалам  XL междунар. научно-практ. конф. № 3 (38). - Новосибирск: Изд. АНС "СибАК", 2016. – С.76-80.
3. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. – Москва: Наука, 1972. – 351 с.
4. Панков П.С. Асимптотическая конечномерность пространства решений одного класса систем с запаздыванием // Дифференциальные уравнения, 1977, том 13, № 4. – С. 455-462.
5. Панков П.С. Пример линейного однородного дифференциального уравнения с запаздыванием, не имеющего конечномерного экспоненциально устойчивого при t→∞ пространства решений // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям. - Фрунзе: Илим, 1977. - С.117-125.