МЕТОД РЕШЕНИЯ СТАЦИОНАРНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С НЕСТАНДАРТНОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ ГРАНИЦЫ

METHOD FOR SOLUTION OF THE STATIONARY BOUNDARY PROBLEM WITH THE NON-STANDARD GEOMETRY OF THE BORDER

Evgeny Minaev

doctor of Science, professor of Department of Physics,

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov,

Russia, Saratov

АННОТАЦИЯ

Предложен численно – аналитический метод, заключающийся в разбиении области задания функции на более простые подобласти. На линии сопряжения этих подобластей вводится некоторая вспомогательная, величина, формулируется граничное условие и составляется система уравнений для этой величины. После нахождения граничных значений на линии сопряжения, решаются краевые задачи для каждой из подобластей независимо друг от друга.

ABSTRACT

In this numerical – analytical method the area is divided into sub – areas. On the border of sub – areas the system of equations for auxiliary values is detected. The system of equations is solved. The auxiliary values is used to solve boundary problems in these sub – areas.

Ключевые слова: краевая задача; нестандартная геометрия границы

Keywords: boundary problem; non-standard border

Введение

В научной литературе рассматривается несколько методов решения задач со сложной геометрией границы. Среди них можно выделить метод «сшивания» и метод эквивалентных параметров [1].

В данной статье рассматривается и распространяется на случай сложной геометрии границы методология, представленная в работе [2]. В цитируемой работе рассмотрен метод решения краевых задач со смешанными граничными условиями на границе, причём условия являются разнородными не только на разных границах области изменения функции, но и в пределах одной и той же границы. Рассматриваемый метод заключается в разбиении  границы на малые участки, для каждого из которых вводится некоторая вспомогательная величина, имеющая смысл усреднённого по этому участку значения искомой функции, усреднённого значения производной от искомой функции или линейной комбинации функции и производной. Это позволяет перейти от смешанных граничных условий к стандартному граничному условию первого, второго или третьего рода для всей границы. Далее, каким-либо аналитическим методом решается краевая задача, в результате чего образуется система уравнений относительно указанных вспомогательных величин.

В представленной статье этот метод применяется к решению задач с нестандартной геометрией границ, то ест границ более сложных, чем простая линия, плоскость, окружность или цилиндр. Область задания функции разделяется на две более простые подобласти. Линия сопряжения этих подобластей разбивается на малые участки, для каждого из которых вводится некоторая вспомогательная величина. При помощи этой величины на линии сопряжения задаётся граничное условие. Использование этого граничного условия позволяет составить систему уравнений для нахождения вспомогательной величины на линии сопряжения . После того, как значения вспомогательной величины найдены, они используются для решения краевых задач в каждой из подобластей независимо от другой подобласти.

Решение задачи

Поясним предложенный метод на следующем простом примере. Рассмотрим задачу о стационарном распределении температуры  в бесконечной по координатам  и  пластине, состоящую из двух полупластин А и В, выполненных из одного и того же металла, имеющих ширину соответственно  и , как указано на рис 1.

Рисунок 1. Границы и граничные условия

Запишем краевые задачи для подобласти А

                        (1)

         ,        (2)

,                             (3)

и для подобласти В

              (4)

       ,        .           (5)

Взаимовлияние подобластей А и В происходит через отрезок сопряжения . Условие на этом отрезке неизвестно, так как он границей не является. Если распределение искомой функции  было бы известно на отрезке сопряжения, задачу можно было решать по отдельности для указанных подобластей, считая этот отрезок частью границы как для подобласти А, так и для подобласти В. Поэтому в основе решения лежит построение системы уравнений для нахождения дискретных значений искомой функции и её производной на отрезке сопряжения. Как отмечалось выше, для этого воспользуемся методологией, представленной в работе [2].

Рассмотрим, сначала. подобласть А. Разделим отрезок сопряжения на  малых участков. Заменим непрерывное распределение  неизвестными дискретными значениями , где

      ,        ,     ,  (6)

Считая производные от  в пределах этих малых участков постоянными, заменим непрерывное распределение производной неизвестными дискретными значениями, которые обозначим как .Тогда для линии сопряжения подобластей  можно записать

   .       (7)

Введя обозначение

       ,        (8)

 запишем

     ,        , (9).

Таким образом, линию сопряжения можно рассматривать, как часть границы подобласти А, на которой выполняется граничное условие третьего рода. Решение задачи (1), (3), (9) представлено в работе [2], там же представлена система уравнений для нахождения  и

,            .       (10)

и коэффициенты . Появление коэффициентов  связано с неоднородностью условия (2) данной задачи, по сравнению с задачей, рассмотренной в [2]

     .        (11)

В задаче, представленной в [2], определена связь между  и , что позволяет выразить  через  и преобразовать систему (10) в систему  уравнений с  неизвестными . В рассматриваемой же задаче такая связь отсутствует, поэтому в системе уравнений число неизвестных равно  – это вектора  и , а число уравнений – . Таким образом, получена только первая половина системы уравнений.

Для нахождения второй половины системы уравнений, рассмотрим решение краевой задачи (4), (5) в подобласти В. С учётом условий (5), применим к уравнению (4) интегральное синус − преобразование с конечными пределами интегрирования

        ,                          (12)

   .                           (13)

Дифференциальное уравнение для изображения имеет вид

     (14)

решение его с учётом условий на бесконечности выражается функцией

         ,                           (15)

Для нахождения констант интегрирования  нужно знать условие на линии сопряжения . Возможны два варианта. Первый – рассматривать на этой линии саму искомую функцию. Второй – рассматривать производную от функции. Второй вариант предпочтителен. Это связано со следующим обстоятельством. При построении системы уравнений, появляются коэффициенты этих уравнений, которые являются числовыми рядами. В работе [3] показано, что при втором варианте рассмотрения, эти ряды сходятся быстрее, чем при первом. Итак, будем считать, что на линии сопряжения задано некоторое неизвестное распределение производной. Учитывая малый размер участков разбиения, будем считать производную постоянной и равной  в пределах каждого участка. Тогда, можно записать

      .       (16)

Применим к данному выражению интегральное преобразование и получим формулу для нахождения констант интегрирования

     .        (17)

Возвращаясь от изображения к оригиналу и меняя порядок суммирования по k и по n, запишем выражение для искомой функции в подобласти В

       (18)

Для построения системы уравнений относительно неизвестных  и , подставим (18) при условии  в выражения (6) и проинтегрируем. Поскольку ряд является равномерно сходящимся, интегрировать его можно почленно. После вычисления интегралов, получим систему линейных уравнений относительно неизвестных и

       ,                .        (19)

Коэффициенты  определяются по формулам

              (20)

Обсуждение результатов

Алгоритм решения задачи состоит из следующих этапов. Рассчитываются коэффициенту ,  и составляется первая половина системы уравнений (10). Рассчитываются коэффициенты  и составляется вторая половина системы уравнений (19). Решается система линейных уравнений (10), (19) и находятся дискретные значения функции  и её производной на линии сопряжения подобластей А и В, после чего рассчитывается искомая функции в каждой из подобластей независимо от другой подобласти. Например, для расчёта искомой функции в подобласти В, нужно подставить найденные значения  в выражение (18) и провести расчёт при любых значениях  и .

Рассмотренный в данной статье и в работе [2] метод можно отнести к группе методов граничных элементов (МГЭ) поскольку он удовлетворяет двум основным особенностям МГЭ:

1) Исходная краевая задача, заданная в области, заменяется эквивалентной задачей, заданной только на границе этой области, причём дискретизация непрерывных функций требуется только на границе. В данном случае краевые задачи (1)-(3) и (4), (5) заданные на полубесконечных полосах

   и  

заменяются эквивалентной системой уравнений (10), (19), заданной только на границе , что позволяет найти для подобластей граничные значения функции и её производной;

2) Существует некоторое аналитическое выражение, позволяющее определить искомую функцию в области, используя только её значения (или значения связанных с ней величин) на границе этой области без применения численных методов внутри области. В рассматриваемом случае, для подобласти В таким аналитическим выражением является формула (18). Аналогичное выражением для подобласти А представлено в работе [2]. 

Список литературы

1. Иоссель Ю.Я. Расчёт и моделирование контактной коррозии судовых конструкций / Ю.Я. Иоссель, Г.Э. Клёнов, Р.А. Павловский. – Л.: Судостроение, 1979. – 297с.
2. Минаев Е.Н. Метод решения смешанной стационарной краевой задачи с нелинейным условием на части границы // Инновации в науке. – 2017. – № 4(65). – С. 29-33.
3. Минаев Е.Н. Методы математической физики при исследовании электрохимических систем. − Саратов: Издательство «КУБиК», 2015.− 240 с.