ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ: ОКРУЖНОСТЬ, ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА

Впервые кривые второго порядка начал изучать одним из учеников Платона - Менехмом. Основными положениями его труда было следующее: если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы угла, образованной ими, то получится конусная поверхность. Если же пересечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры, среди которых могут быть эллипс, окружность, парабола, гипербола и несколько вырожденных фигур.

Однако эти знание нашли научное применение лишь в XVII веке, когда стало известно, что планеты солнечной системы движутся по эллиптическим траекториям, а пушечный снаряд летит - по параболической. С продолжением развития этих идей стало известно, что придание телу первой космической скорости будет способствовать его движению по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости движение будет происходить по траектории эллипса, а по достижении второй космической скорости тело по траектории параболы покинет поле притяжения Земли.

Все эти траектории – окружность, эллипс, парабола – являются кривыми второго порядка.

Общее уравнение кривой второго порядка выглядит следующим образом:

Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и 2) невырожденные. Вырожденные кривые второго порядка — это прямые и точки, которые задаются уравнением второй степени. Если уравнению второго порядка не удовлетворяет ни одна точка плоскости, то говорят, что уравнение определяет вырожденную кривую (мнимую кривую второго порядка). Невырожденными кривыми второго порядка являются эллипс, окружность, гипербола и парабола.

В рамках данной статьи рассмотрим невырожденные кривые второго порядка:

1. Окружность.
2. Эллипс.
3. Гипербола.
4. Парабола.

1. Окружностью называют геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от данной точки, называемой центром данной окружности.

Пусть даны координаты центра окружности в прямоугольной декартовой системе координат  – радиус окружности. Тогда уравнение такой окружности будет иметь вид:

.

Общее уравнение кривой второго порядка

представляет собой уравнение окружности при условии, что

.

Наиболее простое уравнение имеет окружность с центром в начале координат:

2. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых от двух данных точек – фокусов – есть величина постоянная, равная 2a. Расстояние между фокусами обозначаем 2c.

Если фокальная ось совпадает с осью абсцисс, а начало координат лежит в середине отрезка  , то уравнение эллипса имеет наиболее простой (канонический) вид:

причём       .

Рисунок 1. Эллипс

Вершины эллипса – точки пересечения с осями симметрии эллипса, совпадающими в данном случае с осями координат, – обозначим   , при этом отрезок – большая (фокальная) ось, а отрезок – малая ось эллипса.

Эксцентриситетом эллипса называют отношение . Ясно, что для эллипса .

Две прямые, параллельные малой оси и отстоящие от неё на расстояние, равное ,  называются директрисами эллипса.

3. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний которых от двух данных точек – фокусов – есть величина постоянная, равная 2a. Расстояние между фокусами обозначаем 2c. Выберем прямоугольную декартову систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокусы, а ось ординат – через середину отрезка  В этой системе получим простейшее (каноническое) уравнение гиперболы:

, .

Две вершины гиперболы – действительные точки на фокальной оси, причём , а две другие точки – мнимые, но действительный отрезок называют мнимой осью гиперболы.

Рисунок 2. Гипербола

Эксцентриситетом гиперболы называют отношение . Очевидно, что для гиперболы .

Две прямые, параллельные мнимой оси и отстоящие от неё на расстоянии равном , называются директрисами гиперболы. Асимптоты гиперболы определяются равенствами:

4. Параболой называют геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от данной точки – фокуса параболы – и данной прямой – директрисы параболы. Если принять за ось абсцисс прямоугольной декартовой системы координат перпендикуляр, опущенный из фокуса на директрису, а начало координат поместить посередине между фокусом и директрисой, то уравнение параболы примет вид:

где – параметр, равный расстоянию от фокуса до директрисы параболы.

Ось симметрии у параболы одна, она совпадает в выбранной системе координат с осью абсцисс. Вершина у параболы также одна, она совпадает с началом координат (при нашем выборе координатных осей).

Рисунок 3. Парабола

Курс вузовской геометрии содержит разнообразный материал, однако одним из ключевых её разделов является теория кривых второго порядка, которой отводится центральное место в процессе изучения данной дисциплины.

Список литературы:

1. Грешилов А.А., БеловаТ.И.Аналитическая геометрия. Кривые второго порядка: учеб.пособие/ А.А. Грешилов, Т.И. Белова.- М.: Логос, 2004.-128с.
2. И. Смирнова, В. Смирнов. Геометрия на профильном уровне обучения: кривые как геометрические места точек/ И. Смирнова, В. Смирнов//Математика (Прилож. к газ.«Первое сентября»)/. - 2006.
3. Канатиков А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия: Учеб. для вузов. 2-е изд. / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000 – 388с.(Сер. Математика в техническом университете; Вып. III).