ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ В ЭКОНОМИКЕ

​APPLICATION OF THE METHOD OF LEAST SQUARES IN ECONOMICS

Evgeniy Shamukov

student, Department of Accounting, Analysis and Economic Security, Samara State University of Economics,

Russia, Samara

Sergey Makarov

Scientific adviser, Doctor of Pedagogy, Professor, Department of Higher Mathematics and Economic and Mathematical Methods, Samara State University of Economics,

Russia, Samara

АННОТАЦИЯ

В данной статье рассматривается сущность метода наименьших квадратов как математического метода, а также применение его в экономике.

ABSTRACT

This article examines the essence of the least squares method as a mathematical method, as well as its application in economics.

Ключевые слова: метод наименьших квадратов, экономика, функциональная зависимость.

Keywords: Least squares, economics, functional dependence.

Метод наименьших квадратов (МНК) – один из наиболее часто использующихся методов при обработке статистических данных, построении и анализе физических, технических, экономических и социальных моделей. Метод наименьших квадратов предполагает поиск линейной (y = ax + b) или квадратичной (y = ax + bx + c)^2 зависимостей, для нахождения которых предусмотрены следующие формулы соответственно:

(1)             

На практике метод наименьших квадратов (МНК) часто используется при анализе статистических данных для выявления функциональной зависимости между несколькими расматриваемыми величинами. МНК обеспечивает возможность определения по рядам данных оценок, которые являются максимально правдоподобными, несмещенными, согласованными и эффективными (с минимальной дисперсией).

Данный метод может быть широко применен в различных областях, например, для нахождения:

1) зависимости показателей безработицы (y) и инфляции (x);

2) зависимости роста преступности (y) и роста безработицы (x),

3) зависимости цен товара (y) от спроса (x) на этот товар;

4) зависимости частного потребления (y) от располагаемого дохода (x);

5) зависимости температуры воздуха (y) от высоты над уровнем моря (x) и других зависимостей.

Широкое применение данный метод имеет в экономической науке.

Рассмотрим применение данного метода для определения уравнений спроса и предложения. При взаимодействии спроса и предложения формируется цена на различные товары и услуги. Для этого они отображаются графически, то есть на плоскости координат откладываются точки, полученные в результате статистических наблюдений, где у – значение цены, а х – объем спроса или предложения. Благодаря этому методу можно составить уравнение функции.

Вычислим функции спроса и предложения. Разберем это на примере: пусть даны некоторые данные наблюдения:

Согласно этим данным построим кривую спроса (2):

   (2)

Определим вид кривой – линейная функция (y = ax+b). Найдем значения a и b, для этого составим вспомогательную таблицу (3):

 (3)

Подставим получившиеся значения:

С помощью метода Крамера решим данную систему:

Следовательно, уравнение имеет вид: y = (-1)x+6; y = -x+6;

Используя метод наименьших квадратов, определим уравнение кривой предложения:

Данные наблюдений:

Согласно данным построим кривую предложения (4):

   (4)

Кривая имеет вид – линейная функция (y = ax+b). Найдем значения a и b, для этого составим таблицу (5):

(5)

Составим систему уравнений:

Решим систему уравнений методом Крамера:

Следовательно, уравнение имеет вид: 

y = -1x+11.

Также данный метод применяется и в других экономических вычислениях.

Даны следующие показатели о производстве сухофркутов:

Согласно данным, кривая имеет линейный вид y = ax+b, для того чтобы найти a и b построим расчётную таблицу (7):

 (7)

Подставим получившиеся данные в формулу и вычислим по методу крамера:

Уравнение функции примет вид: y = -x+18. Наблюдается следующая зависимость: при увеличении товара на один цена уменьшается также на единицу. Эта формула позволит в будущем определять объем продукции для получения необходимой прибыли.

Метод наименьших квадратов достаточно распространен в экономике, применяется, как показано в приведенных примерах, для выражения одной величины через другую.

Список литературы:

1. Экономико-математические методы и модели. Учебник для бакалавров. 4-е изд. | Новиков Анатолий Иванович.
2. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика. 2004.
3. Красс М. С. Математика в экономике. Основы математики: учебник. М.: ИД ФБК-ПРЕСС, 2005. 472 с.