ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В РЕШЕНИИ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

DIFFERENTIAL EQUATIONS AND THEIR APPLICATION IN SOLVING PHYSICAL PROBLEMS

Nikolai Gorbachev

student, Department of Physical and Mathematical Disciplines and Vocational and Technological Education, P.P. Yershov Ishim Pedagogical Institute (branch) Tyumen State University,

Russia, Ishim

АННОТАЦИЯ

Задачи по физике, содержащие уравнения, с многочисленными переменными, такими как время, расстояние и скорость, уместно решать при помощи дифференциальных уравнений.

ABSTRACT

Problems in physics containing equations with numerous variables, such as time, distance and speed, are appropriate to solve using differential equations.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения, решение физических задач.

Keywords: differential equations, solving physical problems.

Существует три основных этапа для решения различных задач в математическом исследовании, рассмотрим их:

1. Создание модели явления;
2. Её изучение, поиск возможных решений;
3. Использование полученных данных в практике [3, с. 314].

Для создания математической модели различных явлений, стоит использовать их идеализацию и формализацию.

Для решения физических задач при помощи дифференциальных уравнений, стоит придерживаться следующего плана: первым делом составляется дифференциальное уравнение, затем находится его решение, а в заключении происходит исследование и обобщение полученного решения.

При решении физических задач при помощи дифференциальных уравнений наиболее часто используют следующую последовательность действий:

1. Определение величин;
2. Выбор искомой переменной и связанной с ней функции;
3. Определение условий;
4. Выражение величин через искомую переменную и связанную с ней функцию;
5. Составление соответствующего дифференциального уравнения;
6. Поиск решений дифференциального уравнения;
7. Поиск частных решений дифференциального уравнения;
8. Исследование полученного результата [1, с. 263].

Пример 1[4, с. 237]. После того как двигатель был заглушён, лодка стала двигаться медленнее вследствие силы трения о воду, которое пропорционально скорости лодки. Начальная скорость лодки равна 4 м/с, спустя 4с её скорость уменьшилась до 1м/с. Через какое время лодка достигнет скорости 0.25 м/с? Какое расстояние потребуется лодке для полной остановки?

Решение. Допустим v=v(t) есть скорость лодки в данный момент времени t, тогда v(0)=2. Пользуясь вторым законом Ньютона, найдём , где F(t) есть сила, направленная на лодку, а m – масса лодки, следуя условиям задачи, сила соприкосновения воды пропорциональна скорости лодки:  F(t)= -kv(t), где k>0 – коэффициент пропорциональности. Сила тяжести, направленная на лодку, уравнивается выталкивающей силой и они противоположны друг другу, исходя из данных условий, ДУ имеет вид:

Это ДУ с разделяющимися переменными, значит, разделим переменные и проинтегрируем их:

Общее решение данного ДУ примет вид:

Исходя из условия, v(0)=2, значит C = 2

Поскольку скорость лодки станет известна через 4 секунды: v(4) = 1 , то найдём величину:

откуда:

Получили скорость лодки V(t) =, время, по истечению которого скорость снизится до 0,25 м/с, найдём из уравнения  где , , следовательно Т=12с. По следующей формуле найдём пройдённый путь:

Из чего можно сделать вывод, что лодка проходит путь, не превышающий 

Список литературы:

1. Баврин И.И. Высшая математика: Высшая математика: учебное пособие для студентов педагогических институтов по биологическим и химическим специальностям - Москва: Просвещение, 1980 г. – 383с.
2. Виленкин Н. Я. и др. Дифференциальные уравнения – Москва: Просвещение, 1984 г. 176с.
3. Зайцев И. А. Высшая математика: учебник для неинжинерных специальностей сельскохозяйственных вузов - Москва: Высшая школа, 1991г. - 400с.
4. Шипачев В. С. Задачник по высшей математике: Учебное пособие для вузов. - Москва: Дрофа, 2001 г.- 384с.
5. lib.maupfib.kg: ЭЛЕКТРОННАЯ БИБИОТЕКА МАУПФиБ [сайт]. Бишкек. URL: http://lib.maupfib.kg/ (дата обращения 20.11.2020).
6. kvm.gubkin.ru КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ [сайт]. Москва. URL: http://kvm.gubkin.ru/ (дата обращения 21.11.2020).