МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭКОНОМИКЕ: ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ В ЭКОНОМИКЕ.

​АННОТАЦИЯ

В статье рассказывается подробно о теории массового обслуживания, об ее целях и задачах в экономике и для предприятий, а также примеры, показывающие ее работу в действии.

Ключевые слова: теория массового обслуживания, СМО, структура и классификация СМО, поток заявок.

Теория массового обслуживания в экономике.

Теория массового обслуживания (СМО) начала свое развитие в начале XX века. Иоханнсен в 1907 году определил главные предпосылки новой теории. В 1909 году Эрланг воспользовался теорией вероятностей к анализу взаимозависимости поддержания телефонных от числа поступающих на телефонную станцию вызовов.  В СССР известный математик А.Я. Хинчин сгруппировал положения теории СМО в монографии «Работы по математической теории массового обслуживания. Теория СМО известна в Европе под названием, как «теория очередей».

В последние года теория стала наиболее значительна в экономике из-за использования ряда ее аспектов в финансово-экономической области.

Структура и классификация систем массового обслуживания.

СМО являются структурой довольно специфического вида. Под структурой понимается единство множества элементов, между которыми связанные отношения, не разделяемые на независимые подмножества. Каналы обслуживания – основа СМО, определяемое как число устройств обслуживания. В реальной жизни каналами являются различные приборы, операторы, продавцы и т.д.

Главной целью СМО считается содержание потоков заявок, которые представляют из себя серию событий и имеют непостоянный характер, т.е. это значит появляются в произвольный момент времени. Существует 4 основных элемента заявок, такие как: входной поток заявок, очередь, каналы обслуживания, выходной поток заявок. (рис.1) Из-за такого потока заявок, одни из них сразу обслуживаются, другие ждут в очереди, а часть из них покидает систему необслуженными.

Рисунок 1. Модель массового обслуживания

Про входной поток требований можно сказать, что это своеобразный вероятностный закон, благодаря которому определяется момент поступления требований, их значимость на обслуживание и количество требований на каждое такое поступление. Все зависит от количества поступлений требований, они бывают единичные и групповые, для которых создана параллельно-групповая система обслуживания.

Дисциплина очереди - важный элемент теории СМО, при котором поступившие требования направляются из очереди к процедуре обслуживания.

В некоторых случаях очереди имеют экономический смысл, в таком случае ресурсы ограничены, и создается система для удовлетворения клиентов при меньших затратах.

Сама по себе теория включается анализ поступивших на объект и требования к их обслуживанию, например, магазин или кафе и покупатели или обслуживающий персонал.

Происхождение этой теории начинается до начала 1900-х г., это было выявлено благодаря исследованию копенгагенской телефонной станции, проведенному Крарупом Эрлангом, датским инженером, математиком. Его работа привела к теории эффективных сетей Эрланга и области анализа телефонных сетей.

Вот время обслуживания заявок напрямую зависит от них самих или определенных требований клиента, а также от состояния системы обслуживания. В некоторых случаях необходимо учитывать процент выхода обслуживаемого прибора по истечении какого-то ограниченного интервала времени.

СМО называют замкнутыми, если их состояние влияет на поступление заявок, которым необходимо обслуживание. От количества заявок, находящихся в системе, зависит входной поток заявок. С другой стороны, если такой поток заявок, которым нужно обслуживание, не влияет на структуру системы, то СМО является разомкнутой.

Целью теории СМО называется создание предложений по эффективному созданию системы и организации ее работы. Из данной цели можно выделить следующие задачи СМО:

• зависимости работы СМО от ее организации,
• характер потока заявок и числа каналов,
• ее производительность, правила работы СМО.

Для компаний СМО является преимуществом, так как она может создать качественные системы очередей, механизмы ценообразования, кадровые решения и так далее, для уменьшения времени ожидания клиентов и увеличения количества обслуживания клиентов.

Теория очередей чаще всего используется для оптимизации кадровых потребностей, планирования и инвентаризации, что улучшает обслуживание клиентов.

Примеры применения теории

Теория СМО является прикладной областью теории случайных процессов, в рамках которой рассматриваются вероятностные модели систем обслуживания. Она применяется с целью уменьшения затрат в различных сферах.

Благодаря методам математического моделирования определяется, к примеру, необходимое количество машин, которое обслуживается рабочим или цехом.

Типичный пример объекта теории массового обслуживания – это автоматическая телефонная станция. На АТС поступают случайным образом вызовы абонентов (требования), обслуживание заключается в связи абонентов с другими, поддержание соединения во время разговора.

В повседневной жизни теория применяется в случаях, когда поступает много заявок на обслуживание, например, поступление материалов и сырья на склад, их выдача со склада, организация настройки и т.д.

Финансовые аналитики могут строить модели на основе теории массового обслуживания, чтобы делать прогнозы относительно того, как изменение операционной переменной может повысить эффективность массового обслуживания и, как следствие, прибыльность. Использование теории очереди стало так популярным, что теперь доступны онлайн-калькуляторы очередей, которые могут выполнять базовый анализ заданной установки очередей.

В частности, образцами систем массового обслуживания могут быть:

• магазины;
• банки;
• ремонтные мастерские;
• почтовые отделения;
• посты технического обслуживания автомобилей, ремонта автомобилей;
• персональные компьютеры, обслуживающие поступающие заявки или требования на решение тех или иных задач;
• отделы налоговых инспекций, занимающиеся приемкой и проверкой текущей отчетности предприятий;
• телефонные станции и т.д.

Простейшей одноканальной моделью с вероятностными входным потоком и процедурой обслуживания является модель, характеризуемая показательным распределением как длительностей интервалов между поступлениями требований, так и длительностей обслуживания. При этом плотность распределения длительностей интервалов между поступлениями требований имеет вид  где λ — интенсивность поступления заявок в систему.

Плотность распределения длительностей обслуживания: 

где  – интенсивность обслуживания, tоб – среднее время обслуживания одного клиента.

Пусть система работает с отказами. Можно определить абсолютную и относительную пропускную способность системы. Относительная пропускная способность равна доли обслуженных заявок относительно всех поступающих и вычисляется по формуле:

 .

Эта величина равна вероятности Р0 того, что канал обслуживания свободен.

Абсолютная пропускная способность (А) — среднее число заявок, которое может обслужить система массового обслуживания в единицу времени:  Вероятность отказа в обслуживании заявки будет равна вероятности состояния «канал обслуживания занят»: 

Данная величина Ротк может быть интерпретирована как средняя доля необслуженных заявок среди поданных.

По мимо этой существуют еще различные формулы расчета теории.

Подводя итоги выполненной работы, можно сделать ряд важных выводов:

1. Системами массового обслуживания называют такие системы, в которых в произвольные моменты времени попадают заявки на обслуживание. При этом такие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.

2. Классическими системами, которые изучает теория массового обслуживания и для которых сконструирован математический аппарат, представляются системы с ожиданием и с отказом. Для таких систем нормальны следующее требования: прибывающие в систему на обслуживание, оставляют ее лишь после обслуживания.

Однако, в практике зачастую встречаются системы массового обслуживания с ожиданием, в которых присутствуют всевозможные ограничения, например, на время присутствия в очереди, на время присутствия требования в системе, на длину очереди. Вероятны вдобавок всевозможные комбинации аналогичных ограничений. подобные системы массового обслуживания именуются смешанными системами с ожиданием.

Список литературы:

1. CFI_TM ; теория массового обслуживания ; режим доступа: https://translated.turbopages.org/proxy_u/en-ru.ru.d5874309-627a9ac9-883e56c4-74722d776562/https/corporatefinanceinstitute.com/resources/knowledge/other/queuing-theory/ (дата обращения: 22.04.22)
2. Pandia ; Некоторые главы линейного программирования: теория игр, теория массового обслуживания ;  https://pandia.ru/text/78/214/14576-4.php (дата обращения: 22.04.22)
3. Studwood ; СМО заключение ; https://studwood.net/2040346/matematika_himiya_fizika/zaklyuchenie (дата обращения: 22.04.22)
4. Справочник ; теория массового обслуживания в экономическом анализе ; https://spravochnick.ru/ekonomicheskiy_analiz/teoriya_massovogo_obsluzhivaniya_v_ekonomicheskom_analize/ (дата обращения: 22.04.22)
5. Студопедия ; теория массового обслуживания ; https://studopedia.ru/9_2951_otsenochnie-sredstva-dlya-tekushchego-kontrolya-uspevaemosti-i-promezhutochnoy-attestatsii-po-itogam-osvoeniya-distsiplini-i-uchebno-metodicheskoe-obespechenie-samostoyatelnoy-raboti-studentov.html (дата обращения: 22.04.22)
6. Финансовая энциклопедия ; теория массового обслуживания ; https://nesrakonk.ru/queuing-theory/ (дата обращения: 22.04.22)