ПЯТЬ ЗНАМЕНИТЫХ ЗАДАЧ ДРЕВНОСТИ

​FIVE FAMOUS TASKS OF ANTIQUITY

Semyon Gorshkov

1st year student, direction "Finance", Shadrinsky Financial and Economic College,

Russia, Shadrinsk

Natalya Murzina

scientific director, lecturer, Shadrinsky Financial and Economic College,

Russia, Shadrinsk

АННОТАЦИЯ

В наше время тема математических задач древности достаточно актуальна, ведь это то, с чего всё началось. Очень интересно узнать истоки зарождения математических задач, которые возникают в жизни людей, практической и научной деятельности, и в технике, ведь они очень разнообразны и интересны. Целью моей работы является рассмотрение всех пяти видов знаменитых задач древности. Объект исследования – знаменитые задачи древности. Предмет исследования – история зарождения древнейших задач и методы их решения.

ABSTRACT

In our time the topic of mathematical problems of antiquity is quite relevant, because this is where it all began. It is very interesting to find out the origins of mathematical problems that arise in people's lives, practical and scientific activities, and in technology, because they are very diverse and interesting. The purpose of my work is to consider all five types of famous problems of antiquity. The object of research is the famous problems of antiquity. The subject of the study is the history of the origin of the oldest problems and methods for solving them.

Ключевые слова: удвоение угла, Гиппократ Хиосский, «делосская» задача, Архит Тарентский, квадратура круга, трисекция угла, квадратура луночек, деление окружности на равные части, куб, ребро куба, геометрия, математика.

Keywords: angle doubling, Hippocrates of Chios, the "Delian" problem, Archite of Tarentes, the quadrature of the circle, the trisection of the angle, the quadrature of the holes, the division of the circle into equal parts, the cube, the edge of the cube, geometry, mathematics.

Древнейшие письменные математические тексты относятся к началу II тыс. до н.э. Математические документы сохранились только в Египте, Вавилоне, Китае и Индии.

Геометрия и геометрические задачи развивались на основе практических задач измерения, но геометрическая форма задачи обычно является только средством для того, чтобы поставить алгебраический вопрос. [3, с. 43]

Существует три знаменитые задачи древности: 1) квадратура круга, 2) трисекция угла, 3) удвоение куба. Но некоторые ученые и авторы считают, что к ним также следует отнести следующие две задачи древности: 1) деление окружности на равные части (построение правильных многоугольников), 2) квадратура луночек.

Итого мы насчитываем пять знаменитых задач, которые возникли в глубокой древности из практических потребностей людей.

На первом этапе своего существования они выступали как вычислительные задачи: по некоторым «рецептам» вычислялись приближенные значения искомых величин (площадь круга, длина окружности и др.). На втором этапе истории этих задач (VI в. до н.э. – VI в. н. э.) происходят существенные изменения их характера: они становятся геометрическими (конструктивными задачами). [2, с. 3]

Рассмотрим одну из этих задач более подробно.

Удвоение куба

Все известные нам античные решения задачи об удвоении куба описаны Евтокием (VI в. н.э.) в комментарии к книге Архимеда "О шаре и цилиндре". К этим решениям относятся: а) решение Архита Тарентского (IV в. до н.э.), в котором используются пространственные построения с пересечением тора, цилиндра и конуса; б) механическое решение, приписываемое Платону (IV в. до н.э.); в) два решения Менехма (IV в. до н.э.) с коническими сечениями; г) механическое решение Эратосфена Киренского (III в. до н.э.), в котором применяется специальное устройство с прямоугольными пластинками; д) решение Никомеда (III в. до н.э.), в котором используется специальная механическая кривая — конхоида, предназначенная для выполнения вставок. е) группа схожих решений, принадлежащих Филону Византийскому (III в. до н.э.), Аполлонию Пергскому (конец III в. до н. э.) и Еерону Александрийскому (I в. н. э.); в этих решениях применяются разного рода вставки. [7, с. 3]

О происхождении задачи

Эта задача первоначально формулировалась так: построить куб, объем которого был бы в два раза больше объема данного куба. В дальнейшем с помощью алгебраической символики эта задача была сформулирована следующем образом: дан куб с ребром , построить новый куб с ребром х так, чтобы  Став затем одной из конструктивных задач, она сводилась к построению отрезка прямой , а при  – к построению отрезка  .

Эта задача могла возникнуть из практических потребностей: например, учитывая удвоение урожая в этом году, пришлось удвоить объем хранения продукции, имевшей форму куба, или удвоить вместимость кубического водохранилища, сохранив такую же форму.

О практическом и культовом происхождении задачи об удвоении куба говорят и легенды, связанные с этой задачей.

В одной из них говорится, что Критский король Минос приказал архитекторам установить памятник своему сыну Главку. Архитекторы сделали памятник кубической формы с ребром в 100 локтей. Миносу нравилась форма памятника, но они находили его слишком маленьким и приказывали увеличить его вдвое. Архитекторы долго боролись, чтобы найти длину ребра нового куба, но не смогли найти его. Осознав их бессилие, архитекторы обратились за помощью к геометрии, но и геометры не смогли решить эту проблему.

О возникновении задачи удвоения куба сохранилась ещё одна легенда, она принадлежит Эратосфену (276 – 194 гг. до н.э), знаменитому греческому математику, астроному и философу: [6, с. 8] «... во время эпидемии чумы послали афиняне в Дельфы вопросить оракула, что им сделать, чтоб чума прекратилась. Бог ответил им: удвоить алтарь и принести на нем жертвы. А так как алтарь был кубической формы, они взгромоздили на него еще один такой же куб, думая тем исполнить повеление оракула. Когда же чума после этого не прекратилась, отправились они к Платону и спросили, что же теперь делать. Тот отвечал: «Сердится на вас бог за незнание геометрии», — и объяснил, что следовало подразумевать здесь не простое удвоение, но найти некое среднее пропорциональное и произвести удвоение с его помощью; и как только они это сделали, чума тотчас же кончилась». Эта легенда сравнительно поздняя; в ней многое искажено: задачей удвоения куба занимался еще Гиппократ Хиосский, живший до Платона. Но эта легенда сохранила множество источников. В ней много интересного: для древних греков совсем не чуждым было мнение, что боги могут гневаться за незнание геометрии. [5, с. 7]

С того момента задачу об удвоении куба стали называть «делосской».

Более подробно рассмотрим решение Гиппократа Хиосского и Архита Тарентского.

Приходя к необходимости построить отрезок прямой, равный ,  Гиппократ Хиосский (около 420 г. до н.э.), вероятно, пытался сначала решить эту задачу с помощью циркуля и линейки. Но осознав трудность их решения таким образом, он попытался свести решение этой (стереометрической) задачи к планиметрической.

Он показал, что эта задача будет решена, если удастся построить два отрезка x и y, которые связаны с данными отрезками  и  соотношением  Как он это обосновал неизвестно. [2, с. 37]

Занимаясь решением задачи квадратуры круга, Гиппократ впервые построил криволинейные фигуры, - луночки, для которых при помощи циркуля и линейки можно построить равновеликие им фигуры, ограниченные прямыми. [2, с. 103]

Архит Тарентский тоже пытался решить данную задачу. Архит фактически ищет пересечение поверхностей тора конуса и цилиндра. Если, в частности, положить и переменные отрезки AI=x и АК=y, то можно сказать, что Архит нашел зависимость между этими отрезками в виде  А это равносильно задаче . Следовательно, если  есть ребро, данного куба, то ребром нового куба x, объем которого в два раза больше данного, будет отрезок  . Так появилось первое из известных решений задачи об удвоении куба. [2, с.40]

Эрнест Кольман писал, что: «...наибольшее достижение Архита – его смелое решений делийской проблемы при помощи пересечения трёх поверхностей вращения». [4, с. 106]

После Архита свои решения данной задачи представили: Платон, Герон, Филон, Апполоний, Эратосфен, Никомед.

Список литературы:

1. Баврин И. И., Фрибус Е. А., Старинные задачи, 1994
2. Белозеров С.Е. Пять знаменитых задач древности (История и современная теория). Издательство Ростовского университета, 1975. 320 стр.
3. Дирк Ян Стройк. Краткий очерк истории математики. М., 1978 г., 336 стр. с илл. Редактор В. В. Донченко. Издательство «Наука».
4. Кольман Эрнест. История Математики в древности. Редакторы Н.А. Угарова, А.Н. Копылова. 1961. 235 стр.
5. Прасолов В. В. Три классические задачи на построение. Удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга. М.: Наука, 1992. 80 с. Серия «Популярные лекции по математике», выпуск 62.
6. Чистяков В.Д. Три знаменитые задачи древности - М., 1963.
7. Щетников А. И. Как были найдены некоторые решения трёх классических задач древности? Математическое образование, № 4 (48), 2008.