МНОЖЕСТВА НОРМ

​SETS OF NORMS

Elizaveta Almazova

student, Faculty of Science, RUDN University,

Russia, Moscow

Sergei Pupchin

student, Faculty of Science, RUDN University,

Russia, Moscow

АННОТАЦИЯ

Применимость некоторых математических методов, например, метода простых итераций решения СЛАУ, связана с численным значением норм. Поэтому требуется рассмотреть возможность преобразования имеющихся норм для получения нужного значения без усложнения хода исследования и решения в целом. В статье был определен общий вид множества, основанного на норме, а также множество подходящих коэффициентов.

ABSTRACT

The applicability of some mathematical methods, for example, the method of a fixed-point iteration for solving a system of linear equations, is connected to the value of the norms. Therefore, it is required to consider the possibility of transforming the existing norms to obtain the desired value without complicating the solution. In the article, the general form of the set based on the norm was defined, as well as the set of suitable coefficients.

Ключевые слова: норма, множество, преобразование.

Keywords: norm, set, transformation.

Нужно отметить широкую применимость норм в различных сферах математики. За годы развития математического анализа, численных методов и других областей были выведены важные понятия и создана аксиоматика норм. Более того, дальнейшее развитие и исследование применимости данной теории привели к удачному решению многих проблем совместимости и сокращению трудоемкости рассмотрения нового материала: создание нескольких определенных, широко применимых норм, например, евклидовой нормы вектора.

Рисунок 1. Евклидова норма вектора (3,3)

Однако применимость некоторых методов, например, метода простых итераций решения СЛАУ, связана с численным значением норм. Нередко встречаются случаи, когда при доказанной сходимости итерационного процесса использование норм, удовлетворяющих критерию сходимости, невозможно или является слишком трудоемким для вычисления промежуточной погрешности. Имеются и иные примеры проблем, связанных с численным значением норм.

В связи с этим возникает потребность в возможности преобразования имеющихся норм для получения нужного значения без усложнения хода исследования и решения в целом.

Поскольку основной задачей перед нами стоит изменение численного значения нормы за счет ее минимального преобразования, попробуем произвести линейное преобразование некоторой произвольной нормы  и проверим, при каких условиях преобразованная норма также будет являться нормой.

Рассмотрим сначала случай, когда является векторной нормой. Пусть , . Сначала возьмем свободный член равным нулю, тогда .

Рисунок 2. Схема преобразования

Исходя из предположения, что  является нормой, то есть удовлетворяет известным условиям [1, с. 397], найдем множество A подходящих коэффициентов a.

1) 

2) 

3) 

4) 

Исходя из вышеуказанных ограничений, .

Если же взять свободный член не равным нулю, то получим противоречие со вторым условием.

Таким образом, можно сделать вывод, что множество, построенное на норме , представимо в виде .

Если ограничить предметную область и рассмотреть только матричные нормы, то становится необходимым выполнение еще одного соотношения [2, с. 64]. Оно также известно как свойство субмультипликативности.

Учитывая обозначения, введенные выше, рассмотрим, при каких коэффициентах  будет выполняться это свойство.

Таким образом, множество, построенное на матричной норме, приобретает вид.

Теперь мы можем вывести правило, по которому можно построить норму с нужным численным значением на основе уже существующей. Это можно сделать с помощью пропорций.

Нужно отметить, что именно  является нашим коэффициентом. А значит, в зависимости от того, имеем мы дело с векторными или матричными нормами, нужно проверять неравенства  соответственно.

Это правило позволит изменять численные значения норм в нужных пределах, что требуется в широком спектре задач, стоящих перед математиками.

Заметим, что в случае матричных норм не все преобразования допустимы, а именно, из-за ограничений на коэффициенты возможно только увеличение численного значения. А значит, в случае решения задачи на уменьшение нормы потребуется найти иные пути. Например, метод простых итераций предусматривает вторую формулу для промежуточной погрешности, которая используется при фактической сходимости метода в условиях невыполнения критерия, требующего значение нормы меньше единицы.

Список литературы:

1. Зорич В.А. Математический анализ. Часть 1. М.: МЦНМО, 2020. – 564 с.
2. Уилкинсон Дж.X. Алгебраическая проблема собственныx значений. СПб: Наука, 1970. – 565 с.