УРАВНЕНИЕ ПОЛЯ ДИРАКА

Квантовая механика связывает друг с другом математику, химию и физику и позволяет описать движение и специфические свойства микроскопических частиц (в том числе электронов, атомов, молекул и т.д.).  Для этого могут использовать уравнение Дирака, обобщающее уравнения Ньютона, релятивиcтские уравнения движения частиц и уравнение Шрёдингера. Уравнение объясняет взаимодействие электромагнитного поля с свободными электронами, рассеивание света на электроне, рождение фотоном электронно-позитронной пары и т. д.

Ключевые слова: уравнение Дирака, квантовая механика, формула, волновая функция, матрица, спинор.

Целью данной статьи является подробное описание уравнения Дирака и его применение.

Уравнение Дирака – релятивистское обобщение уравнения Шрёдингера, применяется для определения движения би-спинорного стандартного поля электрона. Применяется и для описания других точечных фермионов со спином 0,5.

Фермион - частица или квазичастица с полуцелым значением спина, то есть равным

,

где n – целое число,

h – приведённая постоянная Планка.

Разберем переменные в составе уравнения Дирака.

где  m – масса электрона (другого фермиона);

 c – скорость света;

  – три оператора компонента импульса (по x, y, z);

 ; h – постоянная Планка;

 x = (x, y, z) – пространственные координаты;

 t – время;  – волновая функция (биспинор);

  – линейные операторы над пространством би-спиноров действующие на волновую функцию.

 Они подобраны так, что квадрат каждого из них равен единице, а каждая их пара антикоммутирует:

,

где  и индексы  меняются от 0 до 3, а  для i от 0 до 3.

Эти операторы являются матрицами размера 4×4 (это минимальный размер матриц, для которых выполняются условия антикоммутации), которые называют альфа-матрицами Дирака.

Матрицы Дирака (также известные как гамма-матрицы) – набор матриц, удовлетворяющих особым антикоммутационным соотношениям.

Весь оператор в скобках в левой части уравнения называется оператором Дирака. В современной физике обычно используется ковариантная запись уравнения Дирака:

Физический смысл: из уравнения Дирака следует, что у электрона есть собственный механический момент количества движения – спин, равный , а также собственным магнитным моментом, равным магнетону Бора, который ранее был открыт экспериментально.

Приведем решения уравнения Дирака для различных частиц.

Для решения уравнения в случае свободной частицы используется спинор χ.

Спинор – специальное обобщение понятия вектора, применяемое для лучшего описания группы вращений евклидова или псевдоевклидова пространства.

где   соответствует спину вверх,   соответствует спину вниз.

Для античастиц верно обратное утверждение:

Введём также матрицы Паули,

Решение уравнения Дирака для свободных частиц запишется в виде:

,

где p – трёхмерный вектор, а p и x – четырехмерные векторы.

Для античастиц:

В представленной статье мы изучили вопросы применения уравнения Дирака. Узнали, что с помощью него была получена формула уровней энергии атома водорода и водородоподобных ионов (одноэлектронных). На основе уравнения Дирака были выведены формулы для вероятностей рассеивания фотонов свободными электронами и излучения электрона при его торможении, получившие экспериментальное подтверждение.

Список литературы:

1. Бьёркен Дж. Д., Дрелл С. Д. Релятивистская квантовая теория. — М.: Наука, 1978. — Т. 1. — 296 с.
2. Дайсон Ф. Релятивистская квантовая механика. — Ижевск: РХД, 2009. — 248 с.
3. Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. — М.: Наука, 1979. — 440 с.
4. Дирак П. А. М. Релятивистское волновое уравнение электрона // Успехи физических наук. — 1979. — Т. 129, вып. 4. — С. 681—691.
5. Пескин М., Шрёдер Д. Введение в квантовую теорию поля. — Ижевск: РХД, 2001. — 784 с.
6. Шифф Л. Квантовая механика. — М.: ИЛ, 1959. — 476 с.
7. Уравнение Дирака в «Физической энциклопедии»