МАТЕМАТИКА: СОЗДАНИЕ ИЛИ ОТКРЫТИЕ?

MATHEMATICS: CREATION OR DISCOVERY?

Leila Gurbanova

student, Department of Applied Mathematics, Russian Technological University (RTU MIREA),

Russia, Moscow

АННОТАЦИЯ

Статья посвящена философской проблеме о природе математики — вопросу, является ли она открытием объективной реальности или созданием человеческого разума. Рассматриваются ключевые теории, включая пифагорейский подход, взгляды Платона и Аристотеля, а также влияние формализма Давида Гильберта.

ABSTRACT

This article explores the philosophical question regarding the nature of mathematics: is it a discovery of objective reality or a creation of the human mind? It examines key theories, including the Pythagorean approach, the views of Plato and Aristotle, and the influence of David Hilbert's formalism.

Ключевые слова: математика, философия математики, пифагорейцы, Платон, Аристотель, формализм, Гильберт, теоремы Гёделя, природа математики.

Keywords: mathematics, philosophy of mathematics, Pythagoreans, Plato, Aristotle, formalism, Hilbert, Gödel's theorems, nature of mathematics.

Вопрос о природе математики — это фундаментальная философская проблема, которая имеет далеко идущие последствия для науки и человеческого познания. Если мы полагаем, что математика существует независимо от человека, это подразумевает, что мир имеет объективную математическую структуру, которую мы открываем, а не создаем. С другой стороны, если мы придерживаемся точки зрения о том, что математика является созданием человека, мы ставим под сомнение ее универсальность и предполагаем, что другие разумные существа могли бы разработать совершенно иную математическую систему, не похожую на нашу. Математика лежит в основе технологий, науки и инженерии, и её понимание влияет на подходы к разработке новых теорий и инструментов. Если математика "создана", то ее структура может быть адаптирована под задачи. Если же она "открыта", то поиск математических законов природы становится центральной задачей для науки.

Крупнейшие философы по-разному объясняли происхождение математики, этот вопрос исследовался еще с античности. Пифагорейцы – сторонники пифагореизма – считали, что “все есть число”, и что природа в основе своей математична и ее законы описываются через математические структуры. “Число управляет миром – ПИФАГОРЕЙЦЫ” [1, с. 12].

Пифагор был первым, кто назвал мир космосом (греч. κόσμος — «порядок»), по его мнению, мир устроен гармонично, и его гармония заключается в математике. Основными утверждениями Пифагора и его последователей были положения о том, что числа лежат в основе всего существующего и являются первопричиной и сутью реальности. Впервые к такому выводу ученый пришел изучая музыку. Он исследовал, в результате чего возникают созвучные интервалы, гармонические и негармонические сочетания. Ученый использовал монохорд (др.-греч. μονόχορδον, однострунник), с помощью которого он пришел к основополагающему для всей истории музыки выводу – пропорция имеет прямое отношение к звучанию, и качество этого звучания выражается числом. Открытие математической закономерности в музыке стало первым подтверждением существования математики в природе. Идея музыкальных соотношений вскоре переросла в идею мировой гармонии, которая заключалась в утверждении о том, что движущиеся планеты издают музыку небесных сфер, а музыка на Земле является лишь отражением царящей всюду гармонии. Таким образом пифагорейцы свели астрономию и музыку к анализу числовых закономерностей, то есть к арифметике и геометрии, после чего эти четыре дисциплины были объединены в общую, под названием – математика.

Пифагорейское учение было господствующим в античной философии и полностью принято Платоном. Это влияние видно в диалогах Платона. Например, в “Тимее”, описывается как душа складывается из четырех элементов в соответствии с известными пропорциями: 1:2, 3:2, 4:3. Основная мысль философии Платона – существование мира идей (истины) и мира вещей (иллюзий).

Для объяснения своей теории в “Государстве” он изложил диалог между Сократом и Главконом, позже ставший известным как миф о пещере. Его суть заключается в том, что, если человек всю свою жизнь от самого рождения проведет закованным в пещере и будет видеть лишь одну стену, на которую другие люди за ее пределами будут отбрасывать тени различными предметами, его представление о мире сложится именно так, будто эти тени и есть истинные вещи. И даже если однажды снять с человека оковы и позволить выйти наружу, он будет в замешательстве и гораздо больше поверит в то, что он видел раньше, чем в то, что ему показывают теперь. По Платону, пещера - это чувственный мир, мир вещей, в котором люди полагают, что познают настоящую реальность. Однако истинный мир идей они судят только по теням на стене пещеры. Эта аллегория указывает, что мы не видим никаких вещей, а то, что мы называем вещью, есть лишь тень ее “идеи”. То есть любая вещь является отражением своей идеи и она может лишь стремиться к ней, но никогда ее не достигнет.

Причина постепенного ослабления пифагорейской философии математики состояла в развитии философии, в появлении более обоснованного и убедительного объяснения природы математических объектов. Огромная роль принадлежит здесь Аристотелю, в сочинениях которого дана широкая и в определенном смысле исчерпывающая критика пифагореизма. «На каком основании, — спрашивает Аристотель, — числа суть причины? Есть семь гласных, гармонию дают семь звуков, семи лет животные меняют зубы, было семь вождей против Фив. Так разве потому, что число таково по природе, вождей оказалось семь или Плеяды состоят из семи звезд? А может быть, вождей было семь потому, что было семь ворот...». Пифагорейские сопоставления для Аристотеля – простая игра с числами, основанная на случайных совпадениях и не имеющая значения для истинного объяснения явлений.

Аристотель – ученик Платона – он провел 20 лет в стенах Платоновской академии, и только после смерти учителя основал собственную школу. Несмотря не это, его мировоззрение отличается от платоновского, и его отношение к пифагорейцам можно считать пренебрежительным. Аристотель считал, что математические объекты – такие, как числа, геометрические формы – существуют, но они существуют в контексте физических объектов. То есть они не существуют сами по себе в абстрактном мире идей, как утверждал Платон. Например, он видел геометрические формы как абстракции от реальных объектов. Математика, по его мнению, была способом упорядочивания и понимания мира, а не самодостаточной реальностью. Аристотель утверждал, что математика служит инструментом для объяснения и понимания физических объектов. В отличие от Платона, который говорил, что математика открывает высшие истины, Аристотель считал, что математические законы применимы лишь в контексте материальных объектов.

Давид Гильберт, выдающийся немецкий математик, стал одним из создателей формализма — направления в математике, занимающегося строгой аксиоматизацией и формализацией научных теорий. Формализм предполагал построение математических систем на основе строго определенного символического языка и правил логического вывода. Для устранения неоднозначностей естественного языка аксиомы записывались в символической форме. Использование математических операций в качестве правил вывода позволяло систематически строить доказательства, основываясь исключительно на аксиомах. Такой подход берет свое начало в идеях древнегреческого математика Евклида. В его "Началах" изложены пять основных постулатов, на которых строилась математика того времени. Например, утверждение о том, что через две точки можно провести только одну прямую, служило фундаментом для вывода новых теорем, сохраняя их истинность.

Цель Гильберта состояла в создании математической системы, обладающей тремя основными свойствами:

1. Непротиворечивость: доказательство того, что внутри теории не появится логическое противоречие.
2. Полнота: возможность вывести все истинные утверждения теории из выделенных аксиом.
3. Разрешимость: способность установить, что любое из верных утверждений действительно может быть получено из данных аксиом в конечное число шагов и с помощью конечного числа операций.

Формализм рассматривал математику как игру с формальными символами, где правила игры (аксиомы и выводы) задаются заранее. В этом подходе не важно, что означают символы, — важно, что они подчиняются строгим правилам. Эта позиция предполагает, что математика — продукт человеческого разума, а не открытие существующих в природе истин. Её структура определяется нами, а не объективной реальностью.

Теоремы Гёделя о неполноте показали, что любая достаточно мощная формальная система, во-первых, не может быть полной, всегда существуют истинные утверждения, которые невозможно доказать внутри этой системы. Простой пример: утверждение "Это утверждение нельзя доказать." Если мы предположим, что утверждение истинно, это означает, что оно действительно не может быть доказано в рамках системы. Значит, система неполна, так как в ней есть истинные утверждения, которые нельзя доказать.

Если мы предположим, что оно ложно, это означает, что утверждение можно доказать. Но тогда оно утверждает свою собственную недоказуемость, что приводит к противоречию.

Во-вторых, система не может доказать свою собственную непротиворечивость. Внутри неё всегда будут такие утверждения, которые нельзя проверить её собственными средствами.

Неразрешимость математики позже доказывает Тьюринг с помощью своей работы над понятием машины Тьюринга и доказательства неразрешимости проблемы остановки (Halting Problem).

Эти ограничения поставили под сомнение возможность реализации программы Гильберта. Если формальная система не может быть полной, это может означать, что математика выходит за рамки формализма, что подразумевает ее объективное существование (как в платонизме).

Вопрос о природе математики — ее открытии или создании — остается одним из ключевых в философии и науке. Разные подходы раскрывают множество взглядов на математические структуры. Формализм подчеркивает человеческую роль в формулировании и построении математических теорий, рассматривая их как продукт символических операций, однако теоремы Гёделя (а также множества Кантора, парадокс Рассела, теорема Тьюринга о неразрешимости, Теорема Лёвера–Шолема и другие) поставили под сомнение возможность создания универсальной, полной и непротиворечивой системы. Эти ограничения, с одной стороны, усиливают аргументы сторонников платонизма, утверждающих, что математика отражает объективные законы реальности. С другой стороны, сторонники конструктивизма продолжают рассматривать математику как гибкий инструмент, созданный человеком для описания и упрощения мира. Таким образом, вопрос о природе математики остается открытым, что свидетельствует о сложности и глубине ее связи с реальностью, человеческим познанием и культурой.

Список литературы:

1. Белл Э. Т. Творцы математики. - М.: Просвещение, 1979. - 256 с.
2. Bauman Moscow State Technical University (kafedra filosofii) FORMALIZATION METHOD OF SCIENTIFIC THEORIES AND ITS FUNCTIONS // JOURNAL OF NATURAL SCIENCES RESEARCH. - 2017. - №4. - С. 13-29.
3. Н. В. Михайлова Философия и математика в учении Платона: развитие идеи и современность // Liberal Arts in Russia. - 2014. - №6. - С. 468-479.
4. Pythagoras’ revenge: humans didn’t invent mathematics, it’s what the world is made of // The conversation URL: https://theconversation.com/pythagoras-revenge-humans-didnt-invent-mathematics-its-what-the-world-is-made-of-172034 (дата обращения: 14.11.2024).
5. О. Б. Скородумова Структурализм и его влияние на философию математики Н. Бурбаки // Научный вестник МГТУГА. - 2006. - №101. - С. 45-51.