РАВНОМЕРНО – РАЗРЫВНЫЕ ГРУППЫ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПЛОСКОСТИ

​UNIFORMLY DISCONTINUOUS GROUPS OF PLANE DISPLACEMENT

Zhazira Amangeldieva

student, Karakalpak State University,

Uzbekistan, Republic of Karakalpakstan, Nukus

Kamal Seydullayev

senior lecturer, Karakalpak State University,

Uzbekistan, Republic of Karakalpakstan, Nukus

Abat Seidullaev

Associate Professor, Karakalpak State University,

Uzbekistan, Republic of Karakalpakstan, Nukus

Rahim Ongarbaev

Trainee-teacher, Karakalpak State University,

Uzbekistan, Republic of Karakalpakstan, Nukus

АННОТАЦИЯ

В данной статье рассматриваются основные виды перемещений плоскости и их групповая структура. Перемещения плоскости — это геометрические преобразования, сохраняющие расстояния между точками, то есть изометрии. К ним относятся параллельные переносы, повороты, отражения и скользящие симметрии. Все эти преобразования образуют группу изометрий, что означает, что они обладают определёнными алгебраическими свойствами, такими как замкнутость, наличие нейтрального элемента и обратных преобразований. Статья подробно анализирует эти виды преобразований и их классификацию как элементы единой группы, исследуя их роль в сохранении геометрической структуры плоскости.

ABSTRACT

This article examines the main types of plane transformations and their group structure. Plane transformations are geometric transformations that preserve the distances between points, that is, isometries. These include translations, rotations, reflections, and glide reflections. All of these transformations form the isometry group, meaning they possess certain algebraic properties such as closure, the existence of an identity element, and inverses. The article provides a detailed analysis of these transformations and their classification as elements of a single group, exploring their role in preserving the geometric structure of the plane.

Ключевые слова: равномерно разрывных подгрупп, параллельный перенос, поворот, осевая и скользящая симметрия.

Keywords: uniformly discontinuous subgroups, parallel translation, rotation, axial symmetry, sliding symmetry.

Определение 1. Перемещением – называется отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояние между точками.

Из определения следует, что примерами перемещений могут быть параллельный перенос, поворот, осевая симметрия и скользящая симметрия. В дальнейшем будем обозначать, параллельный перенос на вектор , через , поворот вокруг точки О на угол  через , симметрию относительно оси  через  и скользящую симметрию относительно оси  на вектор  через , где .

Очевидно, что осевая симметрия является частным случаем скользящей симметрии, при  равном нулю. Из определения следует, что композиция перемещений также является перемещением. Некоторые перемещения удобно задавать как результат последовательного выполнения или композиции других перемещений. Таким перемещением является скользящая симметрия

,

т.е. скользящая симметрия является композицией симметрий относительно оси  и параллельного переноса на вектор , параллельного оси .

Пусть Г – такое множество перемещений, которое образует группу перемещений.

Определение 2. Пусть в группе перемещений выполняется следующее свойство:

Существует такое положительное число d, что если F – любое перемещение из группы Г, а Х – любая точка плоскости и , то , где символ  - обозначает расстояние между точками.

Группы, обладающие этим свойством, называются равномерно- разрывными.

Если мы возьмем любую точку  плоскости и применим к ней все перемещении из группы , то получим разрывное множество точек. Слово «равномерное» указывает на то, что число  в определении может быть выбрана одним и тем же для всех точек .

Следующая теорема, которая приводится без доказательства, показывает, что любое перемещение плоскости является или параллельным переносом, поворотом, осевой симметрией или их композицией.

Теорема Шаля I: Всякое перемещение плоскости является параллельном переносом, поворотом или скользящей симметрией.

Определение 3. Перемещение называется перемещением первого рода, если это перемещение сохраняет ориентацию любого треугольника (в случае пространства тетраэдра). Если же ориентация меняется, то перемещение называется перемещением второго рода.

Определим какие перемещения плоскости принадлежат первому роду и какие второму роду.

Пусть дан параллельный перенос на вектор , и треугольник , в котором вершины A₁, B₁ и С₁ обходятся по часовой стрелке (рис.-1).

Рисунок 1.

Очевидно, что обход вершин треугольника  как и обход вершин треугольника  осуществляется по часовой стрелке.

Пусть  - поворот вокруг точки  на уголь (рисю-2а).

Рисунок 2. 

Ясно, что поворот также не меняет ориентацию треугольника. Следовательно, параллельный перенос и поворот являются перемещениями первого рода.

Пусть дана симметрия относительно оси  т.е. осевая симметрия(рис.-2б). Заметим, что вершины треугольника  обходятся против часовой стрелки. Значит, при этом перемещении ориентация треугольника меняется. Следовательно, осевая симметрия является перемещением второго рода.

Из того, как они влияют на направления обхода треугольников, следует, что если  перемещения первого рода, то их композиция  также перемещения первого рода: если - перемещения первого рода, а  - второго рода, то  и  - перемещения второго рода, и если  перемещения второго рода, то их композиция  - перемещение первого рода.

Следовательно, скользящая симметрия , являющееся композицией осевой симметрии  и параллельного переноса  на вектор , есть перемещение второго рода.

Из определения равномерно-разрывных групп перемещении следует, что в группе не может содержаться нетождественное перемещение, имеющее неподвижную точку. Следовательно, верно, следующее предложение.

Предложение 1: В равномерно-разрывной группе перемещений плоскости могут содержаться только параллельные переносы и скользящие симметрии с ненулевым вектором.

Действительно, всякий поворот имеет неподвижную точку – центр поворота. Скользящая симметрия с нулевым вектором, или просто осевая симметрия, не является тождественным перемещением, но имеет неподвижные точки, это точки ось симметрии.

Пусть  – равномерно-разрывная группа перемещений плоскости. Обозначим через  совокупность всех параллельных переносов, содержащихся в группе  , Очевидно, что  тоже группа: если  и  содержатся в , то  содержится в  и является параллельным переносом. Аналогично легко проверить, что если  содержится и , то и  содержится в . Если  не исчерпывает всю группу , то в  содержится по крайней мере еще одно перемещение, которое согласно предложению 1 должно быть скользящей симметрией.

Пусть - произвольная скользящая симметрия, содержащаяся в . Рассмотрим всевозможное перемещения вида  , где - произвольный параллельный перенос, содержащийся в . Как нам известно, что перемещения  есть перемещение второго рода. Следовательно, по предложению 1  является скользящей симметрией. Покажем, что так может быть получена любая скользящая симметрия, содержащаяся в . Действительно, если  - такая скользящая симметрия, то рассмотрим перемещение  . Во-первых, оно содержится в  . Во-вторых,  тоже является скользящей симметрией, а значит,  - перемещение первого рода. Но единственным перемещением первого рода, которое может содержаться в равномерно-разрывной группе, является по предложению параллельный перенос. Таким образом  - параллельный перенос, и он содержится в группе . Пусть  - произвольная точка плоскости и , тогда  и . Значит, . Таким образом, мы доказали следующее следствие:

Следствие: Равномерно-разрывная группа перемещений  или состоит из одних параллельных переносов, или же содержит равномерно-разрывную подгруппу , состоящую из параллельных переносов. Если - любая скользящая симметрия из группы, то остальные перемещения группы , не содержащиеся в , исчерпываются скользящими симметриями вида  , где  содержится в .

Разобьем все равномерно-разрывные группы перемещений на три типа в зависимости от того, какие параллельные переносы в них содержатся. К первому типу отнесем группы, в которых единственным параллельным переносом является тождественное перемещение (перенос на нулевой вектор). Во второму типу отнесем группу, в которой все параллельные переносы являются переносом на коллинеарные векторы. Наконец, к третьему типу отнесем группы, не относящиеся ни к первому, ни ко второму типу. Таким образом, в группе, относящейся к третьему типу, должны содержаться, по крайней мере, два параллельных переноса на неколлинеарные векторы.

Теперь перечислим все равномерно-разрывные группы перемещений плоскости. Их всего пять типов. Перечисление проводится без доказательства.

Запись  означает, что группа  порождена перемещениями . Перемещения  называются образующими группы  . Остальные перемещения из группы  , получаются как композиция в любой числе перемещений  и их обратных.

Перечисление равномерно-разрывных групп перемещений плоскости.

I-тип. Равномерно-разрывная группа перемещений плоскости типа I, состоит только из тождественного перемещения.

II-тип.

II-А. Равномерно-разрывная группа типа II-А задается ненулевым вектором  и состоит из параллельных переносов на вектора вида , где  - любое целое число.

II-В. Равномерно-разрывная группа типа II-В задается прямой  и ненулевым вектором  , параллельным . Она состоит из параллельных переносов вида  и скользящих симметрий вида  , где  - любое целое число.

 где .

III-тип.

III-А. Равномерно-разрывная группа типа III-А задается двумя неколлинеарными векторами  и  и состоит из параллельных переносов на все векторы вида , где  и  - любые целые числа.

III-В. Равномерно-разрывная группа типа III-В задается прямой  и ненулевым вектором  , параллельным этой прямой и вектором  , ей перпендикулярным. Она состоит из параллельных переносов вида  , где m и n – любые целые числа, и из скользящих симметрий вида

 ,

где,  , а  и  - любые целые числа.

.

Список литературы:

1. Никулин В.В., Шафаревич И.Р. Геометрия и группы. – М.: Наука, 1963.
2. Моденов П.С., Пархоменко А.С. Геометрические преобразования. – М.: Изд - во МГУ, 1961.
3. Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. – М.: Наука,1966.
4. Андреева З.И. Современные главы геометрии: учеб.пособие.Пермь: ПГНИУ, 2014.
5. Андреева З.И., Шеремет Г.Г. Многообразие геометрии: учебник.Пермь: ПГТПУ, 2015.