ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Графическое представление данных является неотъемлемой частью высшей математики и широко изучено исследователями в области развития математических наук [1, с. 32]. В частности, большое внимание в математической литературе было уделено графическому представлению у учащихся. Многие исследователи выступают за повышение визуализации при преподавании и изучении математики [2, с. 125]. Другие также предупреждают о большой зависимости восприятия информации от её графического представления.

В последнее время некоторые исследователи начали анализировать, как студенты понимают и осмысляют определенный интеграл [4, с. 17]. Из этих исследований возник вывод, что студенты склонны полагаться на графическое представление в процессе изучения высшей математики. Важно, чтобы педагоги также имели представление о типах графических изображений, которые присутствуют в студенческом мышлении [3, с. 236]. Поэтому описанное исследование направлено на изучение графических изображений определенного интеграла, используемых студентами при определении и восприятии этого понятия. К тому же, это исследование предназначено для решения таких вопросов как: (А) Какое графическое изображение, как правило, используют студенты для описания определенных интегралов? (Б) Существуют ли определенные признаки, которые являются общими для этих графических изображений? Ответы на эти вопросы помогут нам понять, как некоторые распространенные изображения могут помочь или помешать студентам в изучении определенных интегралов.

Набор данных, первоначально используемый для этой работы, состоит из рисунков студентов, полученных от 200 человек из нескольких высших учебных заведений. Тем не менее, 68 из опрошенных студентов не дают графического изображения в своих ответах (т.е. записывают примерно такой ответ: «площадь криволинейной трапеции»), и эти 68 студентов были убраны из набора данных, поскольку исследование было сосредоточено только на типах графических изображений.

Ниже приведены примеры типов вопросов из опросников, которые были использованы в анализе настоящей работы:

1) Рассмотрим выражение,  Что это значит? Что оно представляет?

2) Допустим, у вас есть друг в этой аудитории, который был болен в течение последней недели, как бы вы объяснили ему, что такое интегралы? Чтобы вы сказали, определенный интеграл – это?

3) Объясните подробно, метод интегрирования .

Если вы думаете больше, чем об одном методе, то опишите их. Пожалуйста, используйте слова, рисунки, формулы, или другие методы представления.

Первым шагом в анализе данных для этого исследования было: распознать общие черты между графическими представлениями определенного интеграла, которые используются среди 132 студентов. После того, как эти черты были определены, изображения распределили в группы по сходству. Организация различных групп привела к выделению определенной группы образов, состоящей из наиболее часто встречаемых изображений. Также было определено, что существует семь ключевых характеристик для разделения изображений в группе. Эти характеристики сравнивались с изображениями в других подобных группах. Так как среди анализируемых изображений интегралов было много изображений близких по своей природе к «общей» группе, то для удобства была создана вторичная группа «схожие изображения».

Далее будут рассмотрены критерии для сортировки изображений по группам. Общие особенности графических изображений, полученных с помощью значительной части студентов показывают очевидность некоторых сходств.

Рисунок 1. Группа «Общие изображения»

Видно, что изображения, показанные, на рисунке 1 имеют отличительные особенности, но в то же время, и сходные черты.

Характеристики, по которым происходит отбор изображений в группы.

1. Ни x, ни f(x) не являются отрицательными на интервале (a, b)
2. График не пересекается с осями OX и OY на интервале (а, b)
3. Присутствует заштрихованная область
4. График напоминает «волну», что обусловлено, по меньшей мере, хотя-бы одну область вогнутости на интервале (a, b)
5. Нет отчетливых крутых склонов
6. График плавный на интервале (a, b)
7. Нет существенных отклонений графика на интервале (a, b).

Проанализировав особенности, присущие изображениям «общей» группы, возвратимся к группе «схожие изображения», которая показана на рисунке 2.

Рисунок 2. Группа «Схожие изображения»

В соответствии с вышесказанным, любое изображение, которое нарушило две или более из семи представленных характеристик было исключено из «общей» группы.

В ходе анализа групп изображений была составлена следующая таблица, в которой отмечено процентное соотношение студентов всех групп.

Таблица 1.

Соотношение студентов

Таким образом, большинство студентов изображали, либо рисунки, которые соответствуют всем характеристикам, либо схожие изображения, лишь 16,7% студентов сделали непохожие на другие рисунки. Это можно связать только с тем, что преподаватели используют похожие рисунки при обучении студентов. Видимо, такие рисунки являются типичными для изображения определенного интеграла и у преподавателей.

Как уже обсуждалось в начале этой статьи, графические представления играют важную роль в изучении высшей математики, и поэтому важно понять, как графические изображения используются студентами. В этом исследовании мы представили набор из семи характеристик, которые определяют общность для графических представлений определенного интеграла, который распространен в математическом анализе. Учитывая, что эта статья предполагает, что выявленный «общий» тип изображения может быть «стандартным» изображением для студентов (и преподавателей), важно понять, каким образом этот конкретный тип изображения может принести пользу или помешать студенту по отношению изучения определенных интегралов. Результаты этого исследования дают некоторое первоначальное представление о возможных преимуществах и препятствиях.

С положительной стороны, этот тип графического изображения прост, свободен от визуального беспорядка и содержит функцию, которая как увеличивается, так и уменьшается, и наклон которой постоянно меняется. Тем не менее, с отрицательной стороны, он кажется проблематичным, так как ни x, ни f(x) на рисунках не достигают отрицательных значений, что ведет к возможному упущению важных моментов при решении задач и изучении свойств интегралов. Кроме того, тот факт, что график не имеет резких подъемов и падений, и всегда непрерывен и гладок, может упростить природу определенных интегралов, если такой образ слишком доминирует в мышлении студента.

Заявляя об этих возможных положительных и отрицательных сторонах графического изображения определенных интегралов из «общей» группы, нельзя однозначно сказать, что это «плохое» или «хорошее» изображение. Тем не менее, необходимо внимательно рассмотреть типы графических изображений, которые используются в интерпретации определенного интеграла студентами, чтобы разработать более надежный набор изображений, который мог бы служить более гибко и в более широком диапазоне ситуаций. Наличие одного графического изображения, которое настолько часто встречается в ответах студентов, может быть проблематичным для формирования знаний об определенных интегралах. В виду этого, если бы такое изображение было включено, как основное, в набор математических изображений по данной теме, студенты, возможно, не смогли бы развить более глубокое понимание определенных интегралов, полагаясь только на этот конкретный тип изображения. Если это так, то необходимо задуматься о разработке набора изображений, относящихся к определенным интегралам, опираясь на которые студент в полной мере получит визуальное представление об определенном интеграле, его свойствах и методиках вычисления, что будет способствовать более глубокому и полному изучению данной темы.

Список литературы:

1. Далингер В.А. Методика формирования пространственных представлений у учащихся: Учебное пособие. – Омск: Изд-во ОГПИ, 1992. – 96 с.
2. Стефанова Н.Л, Подходова Н.С., Орлов В.В., Радченко В.П., Методика и технология обучения математике: курс лекций / Н.Л. Стефанова [и др.]. - М.: Дрофа, 2005.
3. Смирнов Е.И. наглядное моделирование в обучении математике: теория и практика: учебное пособие / Е.И. Смирнов. – Ярославль: ИПК «индиго», 2007. -454с.
4. Далингер В.А. обучение математике на основе когнитивно-визуального подхода и его особенности: электронный научный журнал «вестник омского государственного педагогического университета» выпуск 2006г.