О РЕШЕНИИ ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ

Возникновение диофантовых уравнений связано с работами одного из величайших древнегреческих математиков – Диофанта Александрийского. «Арифметика» — труд Диофанта в 13 томах, в котором дано систематическое изложение теории известных в то время уравнений в целых числах.

Помимо Диофанта изучением данных уравнений занимались многие другие математики. Конкретные уравнения такого рода были решены еще в Древнем Вавилоне около 4 тысяч лет тому назад.

Свое новое «рождение» идеи Диофанта получили в Константинополе, а также на арабском Востоке, откуда проникли в Европу. В 1572 году в «Алгебре» Рафаэля Бомбелли, профессора университета в Болонье, вдруг появляются 143 задачи из «Арифметики» Диофанта. Методы Диофанта обрели новую жизнь только в произведениях двух крупнейших математиков Франции XVI–XVII веков — Франсуа Виета и Пьера Ферма. На протяжении веков математики надеялись отыскать общий способ решения любого диофантового уравнения [2].

Но, не смотря на трудности, возникающие в связи с большим разнообразием диофантовых уравнений, необходимо уметь их решать, поскольку они имеют достаточно широкое практическое применение. Например, некоторые космические, астрономические задачи, задачи арифметической геометрии, молекулярной физики и органической химии при поиске оптимальных структур приводят к уравнениям, в результате решения которых неизвестные величины могут быть только целыми числами. Также случаи, связанные с решением диофантовых уравнений, возникают в алгоритмах обработки видео, проектирования осветительных систем и разработке систем управления сложными машинами.

Под диофантовыми уравнениями будем понимать уравнения или системы уравнений с целыми коэффициентами, для которых нужно найти целые или рациональные решения [2].

Диофантовы уравнения также называют неопределенными уравнениями, так как они чаще всего имеют множество различных решений.

Рассмотрим способы решения некоторых диофантовых уравнений высших степеней.

Задача 1. Найти все целочисленные решения уравнения:

Решение. Заметим, что данное уравнение относится к классу диофантовых уравнений высших степеней с одним неизвестным. Для того, чтобы его решить обратимся к лемме, которая вытекает из основной теоремы алгебры.

Основная теорема алгебры. Любой многочлен ненулевой степени имеет хотя бы один комплексный корень [1].

Докажем методом математической индукции следующую лемму.

Лемма. Любой многочлен степени

может быть представим в виде произведения линейных множителей

Доказательство. При  многочлен имеет вид  Вынося за скобку , приведем его к вид у, что и требовалось доказать.

Предположим, что для многочленов степени уже доказана возможность представить их в виде произведения линейного множителя. Покажем, что тогда и многочлен можно представить в аналогичном виде. В самом деле, пусть:

- многочлен  степени. По основной теореме алгебры многочленов этот многочлен имеет по крайней мере один комплексный корень . Но тогда по теореме Безу многочлен  делится на , так что его можно представить в виде:

                                          (1)

Ясно, что  многочлен  степени, старший коэффициент которого равен  Поэтому его можно представить в виде:

                                (2)

Из равенств (1) и (2) следует, что

Значит, и многочлен  степени можно представить в виде произведения линейных множителей.

Итак, утверждение доказано для многочленов первой степени и показано, что из его справедливости для многочленов  степени вытекает, что оно верно и для всех многочленов m-й степени. Поэтому оно верно для всех многочленов любой ненулевой степени.

Согласно лемме многочлен  можно представить в виде произведения линейных множителей.

Найдем все делители свободного члена:

При помощи подстановки устанавливаем, что  является корнем уравнения. Выполним деление «уголком».

Аналогично поступим с многочленом .

Теперь найдем корни квадратного уравнения:

.

Получим

Таким образом, получаем

Ответ:

Задача 2. Решить в целых числах уравнение:

Решение. Заметим, что данное уравнение имеет вид:

Чтобы решить данное уравнение обратимся к следующей теореме.

Теорема. Для того, чтобы уравнение имело по крайней мере одно решение в целых числах , необходимо и достаточно, чтобы число  при делении на

Доказательство. Действительно, если существуют целые числа  такие, что разность их квадратов  и оба числа  являются четными, то числа  кратны 4 и, следовательно, разность  этих чисел кратна 4.

Если какое-нибудь одно из чисел  четное, а другое нечетное, то число , является нечетным.

Наконец, если оба числа  будут нечетными, то, поскольку квадрат нечетного числа при делении на 4 в остатке дает 1, заключаем, что число кратно 4. Итак, ни в одном случае число  при делении на 4 не дает в остатке 2. Таким образом, наше условие является необходимым.

Предположим, что целое число  при делении на 4 не дает в остатке 2. Тогда, если  четное число, то оно делится на 4 и число  является целым. Таким образом, числа  целые и удовлетворяют нашему уравнению.

Если же число  нечетное, то имеем  целое число. Числа  также будут целыми и удовлетворяют нашему уравнению. Таким образом, наше условие является достаточным.

В данном уравнении нечетное и при делении на 4 не дает в остатке 2.

Следовательно, оно решается при помощи следующих формул:

Таким образом,

Ответ:

Задача 3. Решить уравнение в целых числах:

Решение. Проведем равносильные преобразования

Представим число 3 в виде произведения целых чисел с учетом порядка:  Получим системы уравнений:

Первая и четвертая системы не имеют целочисленных решений.

Ответ:

Задача 4.  Найти натуральные, для которых:

Решение. Уравнение вида:

где  − данное целое число, называется уравнением Пелля.

Если , то все решения уравнения в целых числах сводились бы к следующим значениям переменных:  

Если , то получаем четыре решения уравнения в целых числах:  

Если  то имеем только два решения: . Поэтому далее будем предполагать, что  есть натуральное число [3].

Теорема. Любое уравнение  где  – натуральное число, являющееся точным квадратом, имеет только тривиальное решение [3].

Доказательство. Пусть . Тогда уравнение можно переписать в следующем виде:

Таким образом, число  было бы делителем единицы, откуда следует, что числа  не могли бы быть натуральными. Отсюда заключаем, что в целых числах  уравнение имеет только два решения Данное решение является тривиальным.

Поскольку  не является точным квадратом, данное уравнение будет иметь нетривиальное решение.

Рассмотрим способ решения уравнения Пелля, основанный на теории цепных дробей.

Теорема. Пусть  положительное решение уравнения Пелля. Тогда  является подходящей дробью [3].

Доказательство. Так как

Значит,

Разделим полученное неравенство на .

Поскольку  положительное решение уравнения Пелля, левая часть этого неравенства положительна и дробь  несократима и является подходящей дробью числа

Приведем без доказательства следующую теорему.

Теорема. Пусть длина периода последовательности элементов цепной дроби для числа Тогда числитель и знаменатель подходящей дроби числа  являются решением уравнения Пелля тогда и только тогда, когда ее номер имеет вид  и при делении нечетен [3].

Так как цепная дробь является периодической, то

и обозначим длину периода этой непрерывной дроби через .

 может быть четным или нечетным. Если  четное, то подходящую дробь находят так:

В этом случае наименьшее натуральное решение уравнения Пелля имеет вид:

Если же  нечетное, то

Перейдем теперь непосредственно к решению данного уравнения.

Поскольку 2020 кратно четырем, то данное уравнение равносильно следующему уравнению:

.

Разделим обе части полученного уравнения на  и выполним перенос вычитаемого вправо: и извлечем корень:

Таким образом, корни этого уравнения можно искать среди рациональных приближений корня из 505. Запишем цепную дробь:

Если обрывать цепную дробь на каком-нибудь слагаемом и сворачивать её обратно, будем получать подходящие дроби. Если для приближения взять дробь:

то получим первую пару натуральных чисел, удовлетворяющих условию:

Таким образом,

Ответ:

Задача 5. Решить в натуральных числах уравнение:

Решение. Проведем равносильные преобразования левой части исходного уравнения к виду:

Тогда, умножив обе части исходного уравнения на 64, получим равенство:

Так как, то из последнего равенства заключаем, что

откуда

Умножив теперь обе части исходного уравнения на 4 и воспользовавшись последним неравенством имеем:

откуда

Задача сводится к проверке значений

Имеем

Ответ:

Из рассмотренных уравнений можно сделать вывод о том, что многие из них могут быть решены с помощью разложения на множители, перебором всех возможных значений переменных, с помощью оценки выражений, входящих в уравнение и т.д.

Однако чаще всего каждый вид диофантового уравнения высшей степени имеет определенные формулы для его решения. Некоторые общие формулы решения данных уравнений приведены в таблице 1.

Таблица 1.

Общие формулы решения некоторых диофантовых уравнений высших степеней

Таким образом, решение диофантовых уравнений высших степеней − очень увлекательная задача, поскольку практически для каждого такого уравнения необходимо либо найти тривиальное решение при условии его существования, либо вывести формулы общего решения, либо доказать его неразрешимость.

Однако отсутствие общего способа решения данного вида уравнений создает некоторые трудности их применения в реальной жизни. К счастью, в практическом применении чаще встречаются линейные диофантовы уравнения, способы решения которых уже давно известны.

Список литературы:

1. Виленкин, Н.Я. Алгебра: учебное пособие для средних школ с математической специализацией / Н.Я. Виленкин, Р.С Гутер, С.И. Шварцбурд, Б.В. Овчинский, В.Г. Ашкинузе — М.: Просвещение, 1968. — 336 с.
2. Гринько, Е.П. Методы решения диофантовых уравнений при подготовке школьников к олимпиадам: учебно-методич. пособие / Е.П. Гринько, А.Г. Головач; Брест.гос. ун-т имени А.С. Пушкина. – Брест:БрГУ, 2013. – 180 с.
3. Серпинский, В. О решении уравнений в целых числах / В. Серпинский – М.: Книга по требованию, 2012. - 86 с.