ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ КАК СРЕДСТВО ФОРМИРОВАНИЯ ПОЗНАВАТЕЛЬНЫХ УНИВЕРСАЛЬНЫХ УЧЕБНЫХ ДЕЙСТВИЙ В НАЧАЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

Образовательные стандарты последнего поколения поставили перед школой задачу общекультурного, личностного и познавательного развития учащихся, обеспечивающего такую ключевую компетенцию, как умение учиться. Решение поставленной задачи предполагается осуществлять через формирование универсальных учебных действий (далее – УУД), обеспечивающих способность обучаемых к саморазвитию и совершенствованию умений, путем самостоятельного освоения новых знаний. Среди всех УУД особый интерес для учителей, преподающих математику, представляют познавательные учебные действия, включающие в себя общеучебные и логические действия. К общеучебным относят: формулирование познавательной цели, поиск и выделение информации, знаково-символические действия, моделирование.

В состав логических универсальных учебных действий входят: анализ объектов с целью выделения существенных и несущественных признаков; синтез – составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание с восполнением недостающих компонентов; сравнение – установление сходства и различия объектов; подведение под понятие; выведение следствий; установление причинно-следственных связей; построение логической цепи рассуждений; доказательство; выдвижение гипотез и их обоснование [3].

Одним из способов овладения указанными действиями в начальной школе является решение комбинаторных задач в курсе математики. Вспомним, что комбинаторика - это раздел математики, в котором исследуются и решаются задачи выбора элементов из исходного множества и расположения их в некоторой комбинации, составляемой по заданным правилам [2].

Комбинаторные задачи рассматриваются уже в дошкольном возрасте. Целенаправленное обучение их решению способствует развитию такого качества мышления, как вариативность. Под вариативностью мышления понимается направленность мыслительной деятельности ученика на поиск различных решений задачи в случае, когда нет специальных указаний на это [1, с. 21].

Анализ учебно-методических комплексов по математике начальной школы позволил выявить следующую типологию комбинаторных задач, используемых в начальном курсе математики:

1. Задачи, основу которых составляет пропедевтика понятия графа. Типичными заданиями, относящимися к данному типу, являются: задачи на составление упорядоченных и неупорядоченных пар элементов, например, задачи на рукопожатия и обмен (фотокарточками, телефонными номерами и т.д.).

2. Задачи на нахождение числа перестановок не более чем из трех элементов. Задачи данного типа решаются, как правило, методом упорядоченного перебора, по правилу произведения или с помощью «дерева вариантов». «Дерево вариантов» целесообразно применять в том случае, когда рассматриваются иерархические структуры.

3. Задачи на нахождение числа сочетаний без повторений по 2 из трех - пяти элементов. Отметим, что комбинаторные формулы не изучаются в начальном курсе математики.

4. Задачи на нахождение числа размещений, как с повторениями, так и без них по 2 из трех - пяти элементов.

Основными методами решения задач третьего и четвертого вида являются метод перебора и табличный метод, но наиболее эффективный способ - табличный. Отличительная особенность четвертого типа заданий от третьего состоит в полном заполнении таблицы, ведь размещения характеризуются упорядоченностью расположения элементов.

Например, рассмотрим задания на выбор двух из четырех элементов.

Задача 1. Фокусник попросил ребят задумать две цифры из четырех: 2, 3, 4, 5. Сколькими способами можно это сделать?

Решение задачи иллюстрируется с помощью таблицы 1. Так как не имеет значения, в какой последовательности загадывать цифры, то заполнена только часть таблицы.

Таблица 1.

Составление неупорядоченных пар

Ответ: 6.

Задача 2. Сколько различных двузначных чисел ты можешь записать с помощью цифр 2, 3, 4, 5, если цифры не должны повторяться?

В данном случае порядок выбора цифр играет роль, так как числа 23 и 32 – это разные числа, поэтому таблица заполнена практически полностью, за исключением диагональных ячеек, соответствующих числам, состоящих из одинаковых цифр.

Таблица 2.

Составление упорядоченных пар без повторяющихся элементов

Ответ: 12.

3. Для того чтобы таблица была заполнена полностью, переформулируем задание следующим образом: сколько различных двузначных чисел ты можешь записать с помощью цифр 2, 3, 4, 5, если цифры могут повторяться?

Теперь будут заполнены все ячейки в таблице, и общее количество способов станет равным 16.

В комбинаторных задачах заложены большие возможности для развития логического мышления. В процессе их решения происходит освоения действия анализа, так как школьникам необходимо выявить существенные признаки устанавливаемых на множестве отношений: играет роль порядок расположения элементов или нет, являются ли пары различными или нет.

В процессе построения таблиц у младших школьников формируется действие синтеза, так как ученикам приходится соединять элементы в единое целое, достраивать таблицы в соответствии с условием задачи.

Решение комбинаторных задач требует от учащихся умения применять соответствующие алгоритмы, кроме того задачи данного типа позволяют формировать действия моделирования, ведь при решении комбинаторной задачи ученик должен перейти от текста (словесной модели) к решению с помощью вспомогательной модели (графу, таблицы, «дерева вариантов») или к упорядоченному перебору [4]. Отметим, что наиболее удачной опорой для решения комбинаторных задач признаны графические и табличная модели. Они достаточно конкретны, зрительно воспринимаемы учащимися и полностью отражают внутренние связи между элементами множества, заданных в  условии задачи.

Комбинаторные задачи допускают возможность их решения несколькими способами, осуществляя переход от одной модели к другой, что не только способствует самостоятельному созданию алгоритмов деятельности учащимися, но и создает условия для улучшения их речи, то есть развития коммуникативных учебных действий.

Список литературы:

1. Библер В.С. Мышление как творчество. М.: Политическая литература 1993. 175 с.
2. Вендина А.А., Киричек К.А. Комбинаторные задачи в курсе математики начальной школы // Мир науки, культуры, образования. 2017. № 1 (62). С. 49-51.
3. Вендина А.А., Малиатаки В.В., Богомолов Е.В. Формирование информационной грамотности учащихся на уроках математики в начальной школе как средство реализации требований ФГОС // Мир педагогики и психологии. 2017. № 11 (16). С. 69-75.
4. Вендина А.А. Моделирование при решении текстовых задач в начальной школе // Проблемы и перспективы развития образования в России. Сборник материалов XLVII Всероссийской научно-практической конференции. Под общей редакцией С.С. Чернова. 2017. С. 59-63