ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ ПРИ ИЗУЧЕНИИ МАТЕМАТИКИ СТУДЕНТАМИ ИНЖЕНЕРНЫХ НАПРАВЛЕНИЙ АГРАРНЫХ ВУЗОВ

Аннотация. В данной статье рассматривается уравнение колебания струны и его решение методом Даламбера и методом Фурье. Постановка задачи носит прикладной характер; относятся к задачам инженерно-технического профиля, что позволит студентам инженерных направлений: 1) повысить знания не только по математике, но и по физикеи другим смежным дисциплинам; 2) повысить уровень профессиональных компетентности.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение, решение дифференциального уравнения, метод Даламбера, метод Фурье, колебание струны.

Известно, что многие процессы, происходящие в природе, описываются дифференциальными уравнениями, например, рост бактерий; рост популяции некоторых видов животных; движение маятника; процесс теплопроводности; колебание струны и т.д. Симоненко О.Д. отмечает, что с внешней стороны математизация технических наук может быть охарактеризована как последовательное расширение и усложнение применяемых в инженерии математического аппарата и методов. Внутренняя, сущностная сторона математизации технических наук может быть раскрыта на основе исследования функций и роли математики в формировании и функционировании технических теорий и анализа их изменений в процессе развития технических наук [2].

Для студентов инженерно-технических направлений наибольший интерес представляет колебание струны. Струной называется тонкая нить, которая может свободно изгибаться [1, с. 242]. Известно, что отклонение точек струны от положения равновесия в момент времени определяется дифференциальным уравнением

,                                         (1)

где , ,  – масса единицы длины (линейная плотность струны),  – сила, действующая на струну перпендикулярно  оси абсцисс и рассчитанная на единицу длины. Если внешняя сила отсутствует, то получим уравнение свободных колебаний струны

.                                            (2)

При начальных условиях задачи, то есть если задать уравнение колебания струны в начальный момент времени  и начальную скорость движения струны

, ,                                 (3)

частное решение уравнения (2) будет иметь вид

                       (4)

Формула (4) называется формулой Даламбера.

Приведем несколько примеров.

Пример 1. Описать колебание струны при начальных условиях, в момент времени , если его движение описывается уравнением.

Решение. Ясно, что,, (см. условия (2) и (3)). Тогда по формуле (4) получим:

.

Пример 2. Найти форму струны, определяемой уравнением , если ,    .

Решение. В нашем случае , . Тогда частное решение будет иметь вид

.

Рассмотрим случай, когда свободное колебание струны происходит при наличии начальных и краевых (или граничных) условий. Итак, если движение струны описывается уравнением (2), удовлетворяющим начальным условиям (3) и граничным условиям

, ,                                                (5)

то решение данного уравнения может быть представлено в виде бесконечного ряда:

,                              (6)

где

,        .                    (7)

Данный метод нахождения решения уравнения (2), называется методом Фурье.

Пример 3. Дана струна, закрепленная на концах  и . В начальный момент времени форма струны задается уравнением . Описать колебание струны при любом, если начальная скорость выражается формулой

Решение. Из условия (5) следует, что , при и вне этого интервала. По формулам (7) найдем коэффициенты и .

.

.

Таким образом, получим решение

Пример 4. Струна, закрепленная на концах  и , в начальный момент форму . Найти форму струны для любого момента времени , если начальные скорости отсутствуют [1, с.247].

Решение., . Тогда или при .

Таким образом, колебание струны описывается уравнением

,

удовлетворяющим данным начальным и краевым условиям.

На наш взгляд, владея математическими методами, студенты инженерных направлений должны научиться решать профессиональные инженерные задачи и «уметь физически интерпретировать сложные формализованные решения» [2].

Список литературы:

1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 2: Учеб. пособие для студентов втузов. -3-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. школа,1980. – 365 с.
2. Симоненко О.Д. Математика и технические науки. [Электронный ресурс] – Режим доступа. – URL: https://www.portal-slovo.ru/impressionism/36325.php