РЕШЕНИЕ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА НАХОЖДЕНИЕ УГЛА МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ

Стереометрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Основными фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости. Систематический курс стереометрии изучается в десятом и одиннадцатом классах, предусматривает рассмотрение начальных базовых тем: 1. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия. 2. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. 3. Перпендикулярность прямых и плоскостей. Данные темы закладывают фундамент знаний по разделу «Стереометрия» (основные определения, аксиомы, теоремы, признаки) для успешного изучения пространственных фигур и решения задач.

В базовый блок изучения стереометрии можно отнести задачи на нахождение: 1) расстояния от точки до прямой, 2) расстояния от точки до плоскости, 3) расстояния между скрещивающимися прямыми, 4) угол между скрещивающимися прямыми, 5) угол между прямой и плоскостью и 6) угол между плоскостями.     

В рамках данной статьи рассмотрим решение задач четвертого типа – нахождение угла между скрещивающимися прямыми. Сначала вспомним основные определения и теоремы, которые помогут решить задачи данного типа. 

Определение 1. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат на одной плоскости [1, с. 15].

Теорема (признак скрещивающихся прямых). Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся [1, с. 15].

Определение 2. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся.

Задача 1. Длина ребра правильного тетраэдра SABC равна 3. Найти угол между прямыми CE и SD, если E делит сторону SB в отношении 2:1, а D – середина AB.

Решение: «Признак скрещивающихся прямых» подсказывает, что CE и SD являются скрещивающимися (рис. 1).

Пусть F – прямая, параллельная прямой SD, и F – точка пересечения с прямой AB. Значит,  Тогда . 

 где .

Рисунок 1. Чертеж для решения первой задачи

 – равносторонний, поэтому

, .

Треугольники  и  имеют общую сторону CF. Найдем ее по теореме косинусов:

                                (1)

                                 (2)

Из  по теореме косинусов находим CE:

.    

Приравняем (1) и (2), подставив все известные величины, получим, что

.

Ответ: .

Задача 2. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды SABC равно 5, а синус угла CSA при вершине боковой грани равен . Точка D – середина ребра SB. Найти синус угла между прямыми AD и SC.

Решение: Прямые AD и SC являются скрещивающимися (рис. 2).

Рисунок 2. Чертеж для решения второй задачи

Пусть F – середина BC. Так как D и F – середины сторон SB и BC соответственно, то DF – средняя линия  а значит   и DF = 2,5.

.

Найдем из по теореме косинусов AD:

,

где

Чтобы найти AF, найдем из  по теореме косинусов AB:

Рисунок 3. Треугольник ADF

AF – высота равностороннего треугольника со стороной 1,78, поэтому

.

Найдем из по теореме косинусов угол :

Ответ:

Задача 3. Дана правильная треугольная пирамида  с вершиной . Найдите косинус угла между высотой основания  и ребром , если сторона основания равна , а боковое ребро равно 1.

Решение. Прямые  и   являются скрещивающимися (рис. 4).

Так как пирамида правильная, то в основании лежит правильный треугольник, следовательно,  также является и медианой.

Рисунок 4. Чертеж для решения третьей задачи

Заметим, что прямые  и  скрещиваются. Проведем  ∥, следовательно,

.

Так как  ∥ и – середина , то  – середина , следовательно,  – средняя линия

.

По теореме Пифагора из :

.

Медиану  из  можно найти по формуле медианы:

.

Следовательно, по теореме косинусов из :

.

Ответ: .

В данной статье были рассмотрены типовые задачи, подобные которым могут встречаться при изучении темы «Скрещивающиеся прямые» в рамках школьной программы и в заданиях единого государственного экзамена по математике.

Список литературы:

1. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразовательных учреждений: базовый и профил. уровни / [Л.С. Анатасян, В.Ф. Бутозов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.
2. Корняков А.Н.  Материалы курса «Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников»: лекции  5-8  \  А.Н.  Корняков, А.А.  Прокофьев.  М.:  Педагогический университет «Первое сентября», 2012.  – 100 с.