ПРИМЕНЕНИЕ РОБАСТНОГО ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ПЛАНИРОВАНИЯ ПРИ ОПТИМИЗАЦИИ ПАРАМЕТРОВ ТЕХНИЧЕСКИХ ИЗДЕЛИЙ

Введение. Планирование эксперимента – это процедура выбора условий проведения опытов, их количества, необходимых и достаточных для решения задач с поставленной точностью. Его использование обеспечивает:

1) минимизацию, т.е. предельное сокращение необходимого числа опытов;

2) одновременное варьирование всех факторов;

3) выбор четкой стратегии, что позволяет принимать обоснованные решения после каждой серии опытов;

4) минимизацию ошибок эксперимента за счет использования специальных проверок [2, с. 159].

На сегодняшний день существуют различные методы планирования экспериментов [1], одним из которых является робастное параметрическое планирование по Тагути [3].

Область применения робастного параметрического планирования. Планирование экспериментов с целью определения оптимальных значений параметров продукции – робастное параметрическое планирование экспериментов –  применяется на этапе проектирования и разработки новых изделий и основано на оценивании робастности их функций. Под робастностью (англ. robustness) понимают степень малости вариабельности функций системы при варьировании факторов шума  – параметров, негативно влияющих на работу системы [3, c. 1]. Следовательно, робастное параметрическое планирование экспериментов позволяет уменьшить потери на этапе эксплуатации изделия за счет выбора проектного решения, соответствующего требованиям минимальной вариабельности функции системы.

Основной причиной дефектов и отказов технических изделий является варьирование их выходных характеристик (откликов) относительно заданного целевого значения при изменении условий эксплуатации или деградации, т.е. в условиях шума. Вариабельность отклика из-за шумов рассматривают в качестве характеристики робастности технического изделия как системы, поскольку рыночные потери растут пропорционально величине вариабельности выходных характеристик (откликов). Отношение сигнал/шум (С/Ш) – величина, обратная вариабельности, используется для оценивания робастности системы. Другая величина, исследуемая при робастном параметрическом планировании – чувствительность. Чувствительность (англ. sensitivity) – характеристика, используемая для оценивания изменения отклика при единичном изменении величины на входе [3, c. 2].

Другими словами, чем выше отношение С/Ш, тем меньше рыночные потери. Особенность этого подхода заключается в том, что необходима только информация для оценивания отношения С/Ш: зависимость, описывающая идеальную функцию системы, и факторы шума. Отношения С/Ш можно вычислять одним и тем же способом для различных проектных решений до тех пор, пока для описания зависимости «вход-выход» системы справедлива одна и та же функциональная зависимость.

План эксперимента при робастном параметрическом планировании формируется как произведение внутренней и внешней таблиц плана. Управляемые факторы располагаются во внутренней таблице, а сигнальные и шумовые факторы, соответственно, –  во внешней. Под сигнальными факторами понимают величины на входе системы, которые пользователь намеренно изменяет для получения ожидаемого отклика в зависимости «вход-выход» [3, c. 2].

Процедура параметрического планирования экспериментов состоит из 12 этапов, которые рассмотрены далее при оценке робастности электродвигателя [3].

Формулировка задачи. В различных подсистемах современного автомобиля используется большое количество малых двигателей постоянного тока. На этапе проектирования и разработки требуется выбрать проектное решение с оптимальными параметрами электродвигателя, которое обеспечит снижение акустических шумов, уменьшение выделения тепла, увеличение вращающего момента и угловой скорости, энергетической эффективности и надёжности.

Этап 1. Выявление идеальной функции системы

Функцию двигателя постоянного тока можно описать как преобразование электроэнергии в механическую энергию вращательного движения.

Идеальную функцию двигателя постоянного тока можно представить как пропорциональную идеальную зависимость с нулевой точкой:

                                                    ,                                                        (1)

где вход М – требуемая механическая мощность, а выход y – потребляемая двигателем электрическая мощность. Коэффициент β определяется как количество электрической мощности, потребляемое для выработки единицы механической мощности. Этот критерий оптимизации снижает вариабельность, обусловленную шумом, то есть повышает робастность зависимости и минимизирует долю потребляемой мощности β, как показано на рисунке 1.

Рисунок 1. Робастность двигателя постоянного тока

Этап 2. Выбор сигнального фактора и его диапазона

В экспериментах двигатель нагружался вращающими моментами на трёх уровнях: 2, 3 и 4). Для моделирования рабочей нагрузки он был подключён к источнику питания в 12 В, соответствующему напряжению автомобильной батареи. Требуемый вращающий момент можно выразить как механическую энергию, то есть Скорость вращения и сила тока измерялись в течение 180 с с интервалом 0,1 с. Для определения значений входного сигнала на разных уровнях были вычислены механические мощности как произведения скоростей вращения и вращающего момента (таблица 1). Скорость вращения измерялась в выборочном интервале в 0,1 с, поскольку мгновенная скорость изменяется под воздействием факторов шума, таких как выделение тепла, даже при постоянной нагрузке.

Таблица 1.

Сигнальный фактор для двигателя постоянного тока и его уровни

Этап 3. Выбор метода измерений выходного отклика

Выходной отклик – это потребляемая электрическая мощность. Ее можно представить как произведение силы тока и напряжения на входе, то есть у = IE. Следовательно, идеальную функцию можно выразить следующим образом:

                                                                                                        (2)

Работа двигателя рассматривалась для трех интервалов времени: момент запуска, состояние после 90 с и 180 с после запуска. Были получены 10 выборок в течение 1,0 с с интервалом 10 с для каждого из трёх состояний: «запуск», «90 с» и «180 с». Поскольку в каждой выборке было 10 значений, всего получилось 30 данных для каждого из условий нагрузки, а число данных для вычисления отношений С/Ш в каждом опыте равно 90.

С левой стороны рисунка 2 для комбинаций управляемых факторов показаны результаты измерения электропотребления при каждых условиях нагрузки, а справа показан пример зависимости вход – выход идеальной функции.

Рисунок 2. Перемены энергопотребления во времени и соотношения вход – выход

Этап 4. Разработка стратегии управления шумом, выбор шумовых факторов и их уровней

Шумовой фактор был определен для этих трех интервалах времени: «запуск», «90 с» и «180 с», как показано в таблице 2. Этот шумовой фактор – результат влияния нежелательного тепла, выделяемого в процессе непрерывного управления двигателем.

Таблица 2.

Шумовой фактор для двигателя постоянного тока

Шаг 5. Выбор управляемых факторов и их уровней для проектного решения.

Было выбрано 8 факторов. Эти факторы и их уровни сведены в таблицу 3.

Таблица 3.

Управляемые факторы и их уровни

Этап 6. Расположение управляемых факторов во внутренней ортогональной таблице.

Расположение управляемых факторов показано в таблице 4.

Таблица 4.

Расположение управляемых факторов

Этап 7. Проведение эксперимента и сбор данных

В таблице 5 приведены данные, полученные во внешней таблице для каждой строки внутренней таблицы.

Таблица 5.

Данные, полученные во внешней таблице

Этап 8. Вычисление отношения С/Ш (η) и чувствительности (S) 

Поскольку входной сигнал и выходной отклик – это физические величины, связанные с энергией, были извлечены квадратные корни из каждого значения с учётом аддитивной природы эффектов факторов, получаемых из декомпозиции суммы квадратов. Для динамической идеальной функции, описываемой пропорциональной зависимостью с нулевой точкой были выполнены следующие вычисления:

1) Общая сумма квадратов:

                                                                 (3)

2) Сумма квадратов, обусловленная уровнями входного сигнала/эффективный делитель:

                                                                                   (4)

3) Линейная зависимость:

                                                             (5)

4) Сумма квадратов, обусловленная углом наклона прямой:

                                                                                                (6)

5) Сумма квадратов, обусловленная ошибкой/шумом:

                                                                                     (7)

6) Дисперсия ошибки/дисперсия, обусловленная шумом:

                                                                                                               (8)

       7) Отношение С/Ш (η ) и чувствительность S:

                                                                                    (9)

                                                                             (10)

Результаты вычислений отношения С/Ш и чувствительности, выполненные по приведённым выше формулам, представлены в таблице 6.

Таблица 6.

Расчетные значения отношения С/Ш и чувствительности

В таблице 7 приведены отклики – средние значения для каждого уровня факторов.

Таблица 7.

Средние значения отношения С/Ш и чувствительности

Этап 9. Построение диаграмм главных факторных эффектов для отношения С/Ш и чувствительности

Рисунок 3. Диаграммы факторных эффектов для отношения С/Ш и чувствительности двигателя постоянного тока

Этап 10. Выбор оптимальных параметров изделия

Из диаграмм факторных эффектов на рисунке 3 видно, что для всех факторов, кроме В и D, чувствительность уменьшается с увеличением отношения С/Ш. Другими словами, чем выше робастность, тем ниже потребляемая электрическая мощность. Оптимальное проектное решение: A1B2C3D1E3F1G3H3. Однако можно выбрать Е2 с учетом чувствительности и затрат, поскольку между Е2 и Е3 малая разница с точки зрения отношения С/Ш. В результате в качестве оптимального проектного решения была выбрана комбинация: A1B2C3D1E2F1G3H3.

Этап 11. Оценка повышения робастности по величине прироста

До проведения проверочного опыта были вычислены отношение С/Ш и чувствительность для оптимального и базового проектных решений. Базовому проектному решению соответствует следующая комбинация: A1B2C1D3E2F1G1H1.

Общее среднее значение отношения С/Ш вычисляется на основании данных в таблице 6:

(11)

Оценка отношения С/Ш для оптимального проектного решения определяется как:

(12)

Для базового проектного решения вычисления аналогичны:

                                                                                             (13)

Расчетное значение прироста:

                                             (14)

Аналогично выполняют вычисления для чувствительности. Общее среднее значение чувствительности вычисляют на основании данных из таблицы 6:

(15)

Оценку чувствительности для оптимального проектного решения определяют как:

                                                                                     (16)

Аналогично оценка чувствительности для базового проектного решения равна:

                                                                                        (17)

Расчетное значение прироста для чувствительности:

                                              (18)

Меньшая чувствительность, меньший угол наклона, в данном случае означают меньшее энергопотребление. 

Этап 12. Проведение проверочного опыта, оценка прироста и показателя «воспроизводимость»

Проверочные опыты проводятся для оптимального и базового проектных решений. Результаты сведены в таблицу 8. Существуют определенные различия между расчетным и проверочным значениями отношения С/Ш и чувствительности, но повышение робастности подтверждает правильность выбора оптимального проектного решения. Близость расчетных и проверочных значений демонстрирует высокую воспроизводимость результатов. 

Таблица 8.

Расчетные и проверочные значения характеристик робастности

Зависимость «вход – выход» для оптимального и для базового проектных решений приведена на рисунке 4.

Рисунок 4. Зависимость «вход – выход» для оптимального и для базового проектных решений

Для оптимального проектного решения наблюдается гораздо меньшая вариабельность потребляемой электрической мощности. Полученные результаты подтвердили, что доля потребляемой электрической мощности β для оптимального проектного решения на 17 % меньше, чем для базового проектного решения. Следовательно, преобразование электрической энергии в механическую в этом случае можно осуществлять более плавно  и эффективно.

Заключение. В рассмотренном примере выбор оптимальных параметров технического изделия был основан на определении его идеальной функции и оценивании характеристик робастности при изменении управляемых факторов (параметров изделия). В результате робастного планирования экспериментов для малого двигателя постоянного тока существенно улучшились показатели качества: снизились акустические шумы и вибрации. Эти улучшения робастности позволили достичь оптимальных значений выходных характеристик изделия при одновременном снижении затрат.

Список литературы:

1. Адлер Ю.П. Методология и практика планирования эксперимента в России: моногр. / Ю.П. Адлер, Ю.В. Грановский. – М.: Изд. Дом МИСиС, 2016. – 182 с.
2. Спирин Н.А., Лавров В.В. Методы планирования и обработки результатов инженерного эксперимента: Конспект лекций (отдельные главы из учебника для вузов). – Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ – УПИ, 2004. – 257 с.
3. ISO 16336:2014 (E). Applications of statistical and related methods to new technology and product development process – Robust parameter design (RPD). – Switzerland: ISO 2014. – 74 pages.