ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В ЭКОНОМИКЕ

Аннотация. Обосновывается практичность использование элементов линейной алгебры для решения различных экономических задач. Определяется способ составления и решения системы линейных алгебраических уравнений при решении задач. Анализируется возможность применения таблиц межотраслевого баланса и моделей.

Annotation. Grounded practicality of the use of elements of linear algebra to solve different economic problems. Determined by the method of setting up and solving a system of linear algebraic equations to solve problems. The possibility of the use of input-output tables and models to analyze them.

Ключевые слова: элементы линейной алгебры, балансовый анализ, таблица межотраслевого баланса, математическая модель Леонтьева.

Keywords: elements of linear algebra, balance analysis, input-output tables, mathematical model of Leontief.

Существует несколько не математических предметов, которые могут быть применимы к линейной алгебре. Экономика - это тема, в которой линейная алгебра может использоваться для формального применения, например, в анализе затраты-выпуск данных, эконометрики, теории статистики и анализе точки безубыточности.

В современной экономике характеризуется применение  большого количества математических методов с целью решения различных задач. Из аналогичных методов выделяется использование элементов алгебры матриц, что особенно популярно при работе с базами данных, где вся информация хранится и обрабатывается в матричной форме. А также составление и решение системы линейных алгебраических уравнений на основе прогноза выпуска продукции по известным запасам сырья.

Для макроэкономики свойственна проблема: каким обязан оставаться размер изготовления любой из n-отраслей, для того чтобы удовлетворить все потребности в продукции данной отрасли? Целью балансового анализа считается решение этой проблемы. Как правило, таблицы межотраслевого баланса отображают взаимосвязь между отраслями, которые анализируются с поддержкой математической модели, исследованной американским экономистом В. В. Леонтьевым в 1936 г.

Предположим, то что необходимо проанализировать n-отраслей промышленности, которые производят свою продукцию. Но доля продукта потребляется этой же и другими отраслями в ходе изготовления, а другая доля специализирована для целей конечного личного и социального потребления. Рассматривая производственный процесс за конкретный период времени (к примеру, год), следует ввести такие обозначения, как:

-общий объем продукции i-ой отрасли (i=1,2….n);

- объем продукции i-ой отрасли, потребляемой j-ой отраслью при производстве (i,j=1,2…n);

- объем конечного продукта i-ой отрасли для непроизводственного потребления.

Значит общий объем продукции  i-ой отрасли равен алгебраической сумме суммарного объема продукции, потребляемой n-отраслями и конечного продукта:  Это уравнение называется соотношением баланса.

А когда все величины  уравнения имеют стоимостное выражение, то рассматривается стоимостный межотраслевой баланс. Здесь надо ввести коэффициенты прямых затрат, которые указывают на затраты продукции i-ой отрасли на производство единицы стоимости j- ой отрасли:

.                                                  (1)

Предположим, что в определенном промежутке времени коэффициенты  постоянные и зависящие от существующей технологии производства, что означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска:, (i,j = 1,2,..,n). Тогда и сама модель будет линейной. Иной вид примут соотношения баланса: , (i = 1,2,…,n).

Обозначим:

;  ; .                             (2)

 где X – вектор валового выпуска;

A – матрица прямых затрат;

Y – вектор конечного продукта.

Перепишем соотношения баланса в соответствующий вид: X = AX+Y. Матричное уравнение можно переписать: (E – A)X = Y. И если матрица (E – A) является невырожденной (определитель отличен от нуля), то уравнение будет выглядеть следующим образом:

.                                                        (3)

Матрица  есть матрица полных затрат, где каждый элемент – это величина валового выпуска продукции i-ой отрасли, требующегося для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-ой.

Рассмотрим пример, в котором приведены данные об исполнении баланса за отчетный период (таблица 1) в условно взятых единицах. Требуется вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличится вдвое.

Таблица 1.

Данные об исполнении баланса за отчетный период

Первоначально, необходимо обозначить соответствующие данные:

.

Используя формулу (1) можно найти коэффициенты прямых затрат и составить матрицу A:

.                                                           (4)

В данном примере матрица, имея неотрицательные элементы, удовлетворяет критерию продуктивности, т.е. максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы.

.       (4)

Запишем матрицу полных затрат:.

E – A =.                                                         (5)

Так как, |E-A|= 0.8085, то

 .                                        (6)

При этом потребление энергетической отрасли увеличится:  .

Подставим полученные данные в формулу (3):

.                               (7)

Исходя из чего, валовой выпуск в энергетической отрасли необходимо увеличить до 179 усл. ед., а в машиностроительной – до 160,5 усл. ед.

Созданная американским экономистом Василием Васильевичем Леонтьевым математическая модель необходима для решения проблемы баланса между отдельными отраслями мирового хозяйства. Несомненно, экономика и математика тесно взаимосвязаны и данной статье был представлен только один из используемых экономико-математических методов. Математическое моделирование находит свое применение на всех уровнях управления: как в экономике целой страны, так и в экономике какой-либо фирмы, предприятия, небольшой компании или отдельного хозяйства. На наш взгляд, математические методы и модели могут послужить сильным средством прогнозирования, научного анализа, аналитического планирования разнообразных социально-экономических процессов.

Список литературы:

1. Цысь Ю.В., Долгополова А.Ф. Элементы линейной алгебры и их применение при решении экономических задач //Современные наукоемкие технологии. – 2013. – № 6. – С. 91-93.
2. Васильева Е.Г., Инхеева Л.И., Улымжиев М.Д. Применение линейной алгебры в экономике. – Издательство ВСГТУ. – 2004. – С. 3-17. 612 Электронный вестник Ростовского социально-экономического института. Выпуск № 3 - 4 (июль – декабрь) 2015
3. Высшая математика для экономистов: учебник /Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010. – 479 с. 4. Некрасов В.Н., Шарников А.В. Динамическая модель конкурентного преимущества // Государственное и муниципальное управление. Ученые записки СКАГС. –2013. – № 1. –С. 78-85.
4. Кисилев В.В. Экономико-математическое моделирование процессов устойчивого развития региона // Государственное и муниципальное управление. Ученые записки СКАГС. 2009. № 3. С. 73-77.
5. Игнатов В.Г. Дифференциация российских регионов по социально-экономическому положению населения и пути ее смягчения // Государственное и муниципальное управление. Ученые записки СКАГС. 2009. № 4. С. 6-19.