ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРЕХ ВОСЬМИМЕРНЫХ ГИПЕРКОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ (ОКТАВ)

АННОТАЦИЯ

В статье рассматриваются восьмимерные гиперкомплексные числа — октавы, для которых характерно нарушение ассоциативности умножения.  Очевидным образом вводится разложение произведения трех октав с сопряженным центральным сомножителем в сумму антикоммутатора, коммутатора и ассоциатора, определяемых посредством коммутации и изменения порядка умножения сомножителей. Коммутатор трактуется как обобщение векторного произведения на случай трех аргументов. Проверяется эквивалентность аддитивного разложения известному решению, сформулированному в громоздкой форме.

Ключевые слова: кватернионы, октавы; аддитивное разложение.

Введение

Обобщение В.Р. Гамильтоном вещественных чисел в математике предвосхитило традиционное введение трехмерного векторного произведения, в физике — открытие четырехмерного пространства-времени [1] и породило множество приложений не только в области классической физики и математики, но также в современной науке и технике, в которой применение кватернионов постоянно расширяется. Тем не менее, по мнению многих специалистов, потенциал четырехмерных кватернионов и их восьмимерного обобщения — октав еще далеко не исчерпан. В отличие от кватернионов аппарат неассоциативных октав применяется значительно реже, так как приходится иметь дело с неассоциативным умножением векторов. Возможным путем преодоления проблемы является обобщение базовых приемов аддитивного разложения произведения гиперкомплексных чисел, в общем случае, неассоциативных восьмимерных октав на симметричные и антисимметричные компоненты, что является темой статьи.

Статья рассчитана на читателя, знакомого с понятием гиперкомплексных чисел (нормированных алгебр с единицей). В противном случае, общее представление о гиперкомпексных числах можно получить из [2]. Все необходимые сведения в доступной форме изложены в популярной книге [3]. Полезные правила работы с гиперкомплексными числами детально рассматриваются в [4]. Ненумерованные формулы, приводимые  в данной статье, в основном поясняют смысл обозначений.

Элементарные сведения

Под  понимается единица, которая коммутирует с любым гиперкомплексным числом  и при умножении оставляет его неизменным:

.

Под  понимается гиперкомплексное число, сопряженное числу , которое выражается через  в виде:

,

где  — скалярное произведение векторов  и вектора .

В четырех алгебрах гиперкомплексных чисел (действительных, комплексных, кватернионов и октав) квадрат длины  вектора  вводится как произведение вектора  и сопряженного вектора , а скалярное произведение  векторов  и  совпадает с полусуммой вектора  и сопряженного вектора :

.

Из первого соотношения в правой части выводится полезное тождество:

,                                                     (1)

в котором произведение  записано без скобок, т.к. не зависит от порядка перемножения гиперкомплексных чисел:

.

Аддитивное разложение произведения двух гиперкомплексных чисел

Произведение двух гиперкомплексных чисел  записывается  в виде суммы двух взаимно-ортогональных слагаемых , :

,                       (2)

где антикоммутатор , обозначаемый как , является линейной комбинацией аргументов ,  и единицы :

,                   (3)

а коммутатор  является векторным произведением пары гиперкомплексных чисел и обозначается как .

В развернутом виде, с учетом (3) произведение двух гиперкомплексных чисел  выражается формулой [5]:

.                        (4)

Векторное произведение  в пространстве гиперкомплексных чисел ортогонально единице  и обращается в ноль при единице  в качестве аргумента:

,

.

В остальном векторное произведение  сохраняет свойства традиционного векторного произведения, которое вводится в трехмерном пространстве с помощью «правила буравчика».

Аддитивное разложение произведения трех гиперкомплексных чисел

Произведение  трех октав ,,, очевидно, можно записать в виде:

.   (5)

ПРИМЕЧАНИЕ: рассмотрение сопряженного сомножителя  вместо  не уменьшает общности рассуждений и необходимо для получения лаконичных соотношений.

При этом произведение  представляется суммой трех взаимно-ортогональных слагаемых:

.                                    (6)

Слагаемые ,  и  определяются соотношениями (7)-(9) с альтернативным порядком перемножения сомножителей:

,                   (7)

,                   (8)

,                   (9)

где в правой части (9), кроме альтернативного порядка расстановки скобок, переставлены друг с другом элементы  и  для согласования с представлением  в выражении (5). Справедливость перечисленных тождеств (7)-(9) следует из антисимметричности «ассоциатора» , которая, в свою очередь, тривиально следует из его обращения в 0 при совпадении пары аргументов или при использовании единицы  в качестве того или иного аргумента.

Антикоммутатор  выражается линейной комбинацией аргументов, а коммутатор  — линейной комбинацией единицы  и попарных векторных произведений аргументов. При этом определения (7)-(8) раскрываются в виде:

,                                      (10)

     (11)

Выражение (10) для  выводится из тождества (1) посредством подстановки  вместо . Выражение (11) для  выводится непосредственно из определения (8) и выражения (4) для произведения пары гиперкомплексных чисел.

Интерпретация

Интерпретация элементов ,  и  аддитивного разложения (5)-(6) произведения трех октав  описывается следующим.

Согласно определению (7) и формуле (10),  является антикоммутатором, который выражается линейной комбинацией аргументов , ,  и не меняется при перестановке первого и последнего аргументов, обозначенных  и . При подстановке единицы  в качестве центрального аргумента антикоммутатор  преобразуется в антикоммутатор  для произведения двух гиперкомплексных чисел, описываемый (3).

Коммутатор , определенный в (8) и представленный в (11) как линейная комбинация единицы  и попарных векторных произведений, является обобщением традиционного векторного произведения на случай трех аргументов. При замене одного из аргументов на единицу , тройное векторное произведение  с точностью до знака совпадает с обычным векторным произведением пары других аргументов.

Ассоциатор  хорошо известен из литературы [4,6]. Здесь он вводится согласно формулам (9), где, в отличие от традиционных определений, используется сопряженный центральный аргумент, и ассоциатор  вычисляется с коэффициентом . Отмеченные отличия не влияют на основные свойства ассоциатора.

Основные свойства

Как и в случае векторного произведения двух векторов, тройное векторное произведение  и ассоциатор  обладают следующими общими свойствами:

1.Тройное векторное произведение и ассоциатор антисимметричны, т.е. при совпадении двух аргументов обращаются в ноль, и меняют знак, когда пара аргументов меняется местами, например:

,

.

2. Тройное векторное произведение и ассоциатор ортогональны каждому из своих аргументов:

,

.

     3. Смешанные произведения  и  антисимметричны и меняют знак, когда любые два из четырех аргументов меняются местами, например:

     ,

.

Здесь последнее свойство является следствием двух предыдущих.

По сравнению с тройным векторным произведением , ассоциатор  удовлетворяет большему числу условий ортогональности и обращения в 0. При этом, помимо ортогональности каждому из своих аргументов, ассоциатор  ортогонален единице  и попарным векторным произведениям своих аргументов. Всего гарантируется ортогональность ассоциатора семи векторам:

.

В общем случае, ассоциатор  обращается в 0, если его аргументы принадлежат одной и той же кватернионной подалгебре, например:

.

Характерно, что при общем сопряжении с одновременным сопряжением аргументов тройное векторное произведение  меняет знак, тогда как антикоммутатор  и ассоциатор  остаются неизменными:

,

,

.

Применяя операцию общего сопряжения с одновременным сопряжением аргументов к (6), получим разложение произведения  трех гиперкомплексных чисел в виде:

,                   (12)

что учитывалось при разработке определения (8) для тройного векторного произведения  и изучения свойства перестановочности зеркальной симметрии [7-12].

Известное решение

В работе [4] рассматривается произведение  трех октав ,,, для которого решается задача выделения антисимметричной аддитивной компоненты . Решение получается посредством громоздких выкладок и представляется на странице 22 следующим выражением:

,

где  имеет вид:

.

Для упрощения сравнения рассматриваемого разложения произведения трех октав  с разложением трех октав  согласно [4] в таблице 1 устанавливается соответствие обозначений.

Таблица 1.

Сопоставление обозначений

C учетом выражений (10) для  и (11) для  решение [4] выражается формулой:

,

которая эквивалентна формуле (6) разложения  в сумму антикоммутатора , коммутатора  и ассоциатора .

Таким образом, формулы (6)-(11) позволяют очевидным образом сформулировать идею разложения  в сумму ,  и  посредством коммутации и изменения порядка умножения аргументов, а формулы (10)-(11) позволяют в лаконичной форме выразить результаты [4], сформулированные для .

Заключение

Уникальные свойства умножения гиперкомплексных чисел (кватернионов и октав) обеспечивают их широкое применение не только в математике и физике, но и в современных информационных технологиях для решения задач навигации, робототехники, компьютерной геометрии, графики, обработки изображений и др. Общеизвестным приемом алгебраических вычислений в терминах гиперкомплексных чисел является аддитивное разложение произведения двух чисел (векторов) на симметричную и антисимметричную компоненты, — антикоммутатор и коммутатор (векторное произведение). Для развития аппарата гиперкомплексных чисел и их приложений представляет интерес обобщение аддитивного разложения для произведения трех аргументов. В [4] предложено разложение произведения трех октав, в котором выделен ассоциатор, но остальные компоненты не выражены через антикоммутатор и коммутатор (векторное произведение), обобщенные на случай трех аргументов. Возможно, именно недостаточно простая форма представления результата [4] препятствует его широкому применению в аппарате гиперкомплексных чисел, и прозрачная идея разложения произведения  трех гиперкомплексных чисел в сумму антикоммутатора, коммутатора и ассоциатора поможет устранить это препятствие.

Список литературы:

1. Hamilton W.R. Lectures on quaternions. – Hodges and Smith, 1853. – 736 p.

2. Королев В.С. Возвращение пространства и поворот времени // Инновации в науке: сб. ст. по матер. LX междунар. науч.-практ. конф. № 8(57). – Новосибирск: СибАК, 2016. – С. 14-22.

3. Кантор И.Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа. – М.: Главн. ред. физ.-мат. лит., 1973. – 144 с.

4. Okubo S. Triple products and Yang–Baxter equation. I. Octonionic and quaternionic triple systems // Journal of mathematical physics. 1993. – Vol. 34. – №. 7. – С. 3273-3291. – URL: https://arxiv.org/pdf/hep-th/9212051.pdf

5. Маделунг Э. Математический аппарат физики. Изд. 6-е. Пер. с нем. Под ред. В. И. Левина. –– М.: Физматгиз, 1961, 620 с.

6. Винберг Э.Б. Курс алгебры. 2-е изд., испр. и доп. – М.: «Факториал Пресс», 2001, – 544 с.

7. Харинов М.В. Цветовая логическая игра-головоломка "Дальторадуга" Патент СССР № 1799274 (по заявке № 4879377/12 (1037356) )от 31.10.90  – 38 c.

8. Харинов М.В. Цветовая логическая игра-головоломка "Дальторадуга" (Деп. в ВИНИТИ № 5732–В90 )/ ВИНИТИ. Р.Ж. 13. Математика – М., 1991. –№3, 3B524. – С.67.

9. Харинов М.В. Научное основание изобретения математической серии игр “Дальторадуга”. //  Проблемы самоорганизации и управления в сложных коммуникационных пространствах (НООТЕХ-97), Безопасная энергетика - пучковые технологии (BEAMS-97)  / Материалы семинаров межд. конференций, – С.-П., 1997.  –  С. 18-21.

10. М.В.Харинов Алгебраическая природа диагональной симметрии. //  Проблемы самоорганизации и управления в сложных коммуникационных пространствах (НООТЕХ-95), Безопасная энергетика - пучковые технологии (BEAMS-97) / Материалы семинаров межд. конференций, – С.-П., 1997. – С.22-29.

11. Харинов М.В. Перестановочная и скрытая симметрия на примере изоморфных матриц Адамара. Приложения в области искусственного интеллекта // Средства математического моделирования  / Труды Второй межд. конф. – С.-П.: изд-во СПбГТУ, 1999. –т.5 – С 247-254.

12. Харинов М.В. Опыт и перспективы использования перестановочной симметрии матриц в процессе непрерывного образования // Проблемы повышения качества и эффективность подготовки специалистов   / Тез. докл. учебно-методической конф. профессорско-преподавательского состава. –   С.-П.: изд-во СПбГИЭА, 2000.  – С 39-41.