ИЗВЛЕЧЕНИЕ КВАДРАТНЫХ КОРНЕЙ ИЗ МНОГОЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ: МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ

​EXTRACTING SQUARE ROOTS FROM MULTIVALUED NUMBERS: METHODS AND ALGORITHMS

Darya Sedova

student, Faculty of Physics and Technology, Nizhny Novgorod State Pedagogical University named after Kozma Minin,

Russia, Nizhny Novgorod

Darya Titova

student, Faculty of Physics and Technology, Nizhny Novgorod State Pedagogical University named after Kozma Minin,

Russia, Nizhny Novgorod

Nikolay Lapin

scientific supervisor, Ph.D. in Physics and Mathematics, Assoc. Prof., Dean of the Faculty of Physics and Technology, Nizhny Novgorod State Pedagogical University named after Kozma Minin,

Russia, Nizhny Novgorod

АННОТАЦИЯ

В статье рассматриваются различных методы и алгоритмы извлечения квадратных корней из многозначных чисел. В ней подробно описаны как традиционные ручные методы, такие как разложение на простые множители, использование таблицы квадратов, деление столбиком, так и более сложные алгоритмы, основанные на использовании формул и решении уравнений. В статье подробно анализируются преимущества и недостатки каждого метода, рассматриваются их применимость к различным типам чисел, а также особенности работы с ними на конкретных примерах.

ABSTRACT

The article discusses various methods and algorithms for extracting square roots from multivalued numbers. It describes in detail both traditional manual methods such as prime factorization, the use of a table of squares, column division, and more complex algorithms based on the use of formulas and solving equations. The article analyzes in detail the advantages and disadvantages of each method, examines their applicability to various types of numbers, as well as the features of working with them on specific examples.

Ключевые слова: математика, квадратные корни, многозначные числа, методы, алгоритмы.

Keywords: mathematics, square roots, multivalued numbers, methods, algorithms.

В наш век высоких технологий и повсеместного использования компьютера умение быстро и правильно производить сложные вычисления ни в коем случае не утратило своей актуальности. Гибкость ума является предметом гордости людей, а способность, например, быстро производить вычисления вызывает откровенное удивление. Такие навыки помогут человеку в учебе, в быту, в профессиональной деятельности. Кроме того, быстрый счет - настоящая гимнастика для ума, приучающая в самых сложных жизненных ситуациях находить в кратчайшее время хорошие и нестандартные решения.

Применяемый знак корня произошел от обозначения, которое применяли немецкие математики 15-16 вв., называвшие алгебру «Косс», а алгебраистами «косстистами». Неизвестные числа с 17 века стали обозначать последними буквами латинского алфавита x, y, z. Однако долго ещё неизвестное в уравнении писали буквой R (от «Radix» - «корень»), а квадрат его – буквой q («quadratus»). Это объяснение не является общепринятым. В самых старых рукописях перед числом, из которого нужно извлечь корень, ставилась точка, а позднее точка или узкий ромбик с черточкой, направленной вправо и вверх. Так образовался знак √

Рассмотрим методы извлечение квадратного корня.

1. Способ разложения на простые множители

Для извлечения квадратного корня можно необходимо разложить число на простые множители и извлечь квадратный корень из произведения.

Этим способом принято пользоваться при решении заданий с корнями в школе.

Извлечение корня разложением на множители - трудоёмкая задача, которая тоже не всегда приводит к желаемому результату. На примере извлечем квадратный корень из числа 209764. Разложение на простые множители дает произведение 2∙2∙52441. Методом проб и ошибок, подбором разложение, конечно, можно сделать, если быть уверенным в том, что получится красивый ответ, но практика показывает, что очень редко предлагаются задания с полным разложением. Чаще мы видим, что корень до конца не извлечь. Поэтому, этот способ лишь частично решает проблему извлечения без калькулятора.

2. Способ использования таблицы квадратов двузначных чисел

Способ очень прост в применении и даёт мгновенное извлечение квадратного корня из любых целых чисел от 1 до 100 с точностью до десятых без калькулятора. Одно условие для этого метода – наличие таблицы квадратов чисел до 99 (рис. 1)

Рисунок 1. Таблица квадратов

Рассмотрим на примере, найти значение √73.

Необходимо закрыть две последние цифры у всех чисел в таблице и находим близкие для 73 – таких только два 7225 и 7396. Но 73 – это уже много.

Значит, остаётся только одно – 7225.

Левый столбик даёт ответ 8 (это целых), а верхняя строчка 5 (это десятых).  Значит √73≈ 8,5. Проверим на МК √73 ≈ 8,544.

Способ удобен для заданий с маленькими корнями и при наличии таблицы.

3. Канадский метод

Этот быстрый метод был открыт молодыми учёными одного из ведущих университетов Канады в 20 веке [2]. Его точность – не более двух – трёх знаков после запятой. Формула:

, где X - число, из которого необходимо извлечь квадратный корень, а S - число ближайшего точного квадрата.

Пример 1: Извлечь квадратный корень из 923

X = 923, S = 961. Это означает, что √ S = 31. Просчитаем по этой формуле:

 √923=31+(923-961)/(2∙31)

√ 923= 31 + (- 0,6129) = 31-0.6129= 30,3871

Пример 2: Извлечь квадратный корень из 40

X = 40, S = 36. Это означает, что √ S = 6.  Просчитаем по этой формуле:

4.  Формула Древнего Вавилона

Древние вавилоняне пользовались следующим способом нахождения приближенного значения квадратного корня из числа х.

Число х они представляли в виде суммы а2 + b, где а2 ближайший к числу х точный квадрат натурального числа а и пользовались формулой:

Извлечём с помощью этой древней формулы корень квадратный из числа 43:

==6+

Результат извлечения корня из 43 с помощью МК равен 6,5574.

Способ вавилонян дает не совсем точное приближение к точному значению корня, хотя некоторые значения корня максимально приближены к точному ответу. Но без знания полных квадратов больших чисел и умения их быстро находить, результат извлечения будет найти крайне затруднительно.

5. Через решение уравнения

На самом деле существует удобный способ нахождения квадратного корня «вручную» через решение уравнения, ведь математика - наука с многовековой историей, а калькуляторы были не всегда. Способ этот дает возможность вычислить значение корня с точностью до одного - двух знаков после запятой, а, при желании, достичь и большей точности.

Рассмотрим на примере и попробуем вычислить значение корня 129. Сначала необходимо определить границы искомого корня в целых числах. Легко догадаться, что это числа 121 = 11² и 144 =12², поэтому

√121 < √129 < √144  и  11 < √129 < 12.

Пусть х – это та разница, на которую отличны друг от друга √121 и √129,

 следовательно √129= 11 + х. Необходимо возвести в квадрат обе части полученного уравнения (√129) ² = (11 + х)²  и раскрыть скобки при помощи формулы суммы квадрата: 129 = (11 + х)² = 121 + 22х + х².

Так как рассчитывается получить результат с точностью до десятых или до сотых, а х² явно достаточно малая дробь, то ей вполне можно пренебречь.

В результате приходим к простому линейному уравнению 129 = 121 + 22х.

Решив его, получаем значение: х = 0,3636. Значит √ 129 ≈ 11 + 0,3636 ≈ 11,3636

6. Способ отбрасывания полного квадрата

Сразу стоит уточнить, что этот способ применим только для извлечения квадратного корня из точного квадрата, а алгоритм нахождения зависит от величины подкоренного числа.

1) Извлечение корней до числа 75² = 5625

Например: √¯1521 = √¯1400 + 121 = 14 +25 = 39.

Число 1521 представим в виде суммы, выделив из этого числа квадрат 121, затем выделенный квадрат отбрасываем, к числу сотен первого слагаемого прибавляем всегда 25. Получим ответ 39.

Так можно извлекать только квадратные корни до числа 75² =5625!

2) Извлечение корней после числа 75² = 5625

Как же устно извлечь квадратные корни из чисел больше 75² =5625?

Например: √7744 = √7600 + 144= 76 + √144 = 76 + 12 = 88.

Пояснение: 7744 представим в виде суммы 7600 и выделенного квадрата 144. Затем к числу сотен прибавить квадратный корень из 144, равный 12.

Получим ответ 88.

7. Метод вычетов нечётного числа

Этот способ предлагает преподаватель математики одной из школ Вашингтона миссис Бруксбанк своим ученикам. Он заключается в том, чтобы последовательно вычитать нечётные числа 1, 3, 5, 7 и т.д. пока не дойдет до нуля, а затем подсчитать число вычитаний. Это и будет ответ.

Например, чтобы получить квадратный корень из 36 и 121 это:

36 - 1 = 35 - 3 = 32 - 5 = 27 - 7 = 20 - 9 = 11 - 11 = 0 [7]

Общее количество вычитаний = 6, поэтому квадратный корень из 36 =6.

121 - 1 = 120 - 3 = 117- 5 = 112 - 7 = 105 - 9 = 96 -11 = 85 – 13 = 72 - 15 = 57 – 17 = 40 -19 = 21 - 21 = 0

Общее количество вычитаний = 11, поэтому √121 = 11.

Российские учёные называют этот метод арифметическим извлечением квадратного корня, а за глаза «методом черепахи» из-за его медлительности.

Недостатком такого способа является то, что если извлекаемый корень не является целым числом, то можно узнать только его целую часть, но не точнее. В то же время такой способ вполне доступен детям, решающим простейшие математические задачи, требующие извлечения квадратного корня [2].

8. Извлечение квадратного корня уголком

Для извлечения квадратного корня уголком и рассмотрим алгоритм [3]:

1-й шаг. Число 8649 разбиваем на грани справа налево; каждая из которых должна содержать две цифры. Получаем две грани: .

2-й шаг. Извлекаем квадратный корень из первой грани 86, получаем  с недостатком. Цифра 9 –это первая цифра корня.

3-й шаг. Число 9 возводим в квадрат (9² = 81) и число 81 вычитаем из первой грани, получаем 86- 81=5. Число 5 – первый остаток.

4-й шаг. К остатку 5 приписываем вторую грань 49, получаем число 549.

5-й шаг. Удваиваем первую цифру корня 9 и, записывая слева, получаем-18

К числу нужно приписать такую наибольшую цифру, чтобы произведение числа, которое получится, на эту цифру было бы либо равно числу 549, либо меньше, чем 549. Это цифра 3. Она находится путем подбора: количество десятков числа 549, то есть число 54 делится на 18, получаем 3, так как 183 ∙ 3 = 549. Цифра 3 – это вторая цифра корня.

6-й шаг. Находится остаток 549 – 549 = 0. Так как остаток равен нулю, то мы получили точное значение корня – 93.

Таблица 1.

Пример: извлечь √212521

Список литературы:

1. Н.Я. Виленкин и др. Математика 6 класс (Москва «Мнемозина» 2010г)
2. Ф.А. Брокгауз, И.А. Ефрон Энциклопедический словарь (Москва «Эксмо»2007)
3. Волков Л.А. «Этимология некоторых лицейских слов»
4. Никольский С.М. и др. Алгебра, 8 класс, учебник - Москва, Просвещение, 2018 г.
5. Пичугин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7- 9 классов средней школы. – Москва, Просвещение, 1990 г.
6. Ткачева М.В. Домашняя математика. Книга для учащихся 8 класса   учебных заведений.  – Москва, Просвещение, 1994 г.