СХЕМЫ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ ЧИСЛОВЫХ ПОЛЕЙ

Онофрийчук Максим Васильевич

студент 3 курса, факультет естественных наук и математики, СВГУ, г. Магадан

E-mail: geassdragoon@mail.ru

Старикова Ольга Александровна

научный руководитель, канд. физ.-мат. наук, доцент СВГУ, г. Магадан

Рассматривается понятие схемы квадратичных форм (quadratic form schemes). Для некоторых числовых полей выявляется строение ассоциированной схемы квадратичных форм.

Введение

Для произвольного поля  группа  вместе с ее определенным отображением на подмножества из  называется схемой квадратичных форм поля . Схема квадратичных форм поля полностью определяет его кольцо Витта [2; 4]. Рассматриваются также схемы квадратичных форм с абстрактной группой показателя 2. В § 1 отмечаются некоторые нерешенные вопросы теории схем квадратичных форм, в частности [4, Проблема 1]: всякая ли QF-схема реализуется как QF-схема поля? Известно, что -схемами поля реализуются выделенные из конечных схем локальные и элементарные типы [1; 4].

Выявляется строение схем квадратичных форм для некоторых числовых полей, именно: в § 2 для полей комплексных и действительных чисел, в § 3 для простых полей Галуа  и , в § 4 для полей  и адических чисел. В § 5 определяются групповые произведения и групповые расширения -схем. Доказана квадратичная эквивалентность поля  формальных степенных рядов и поля  адических чисел .

§ 1. Схемы квадратичных форм

В этом параграфе рассматриваются понятия схемы квадратичных форм поля, а также абстрактной -схемы [4], приводятся некоторые открытые вопросы теории квадратичных форм.

Пусть  — поле и  — его мультипликативная группа. Обозначим через  подгруппу обратимых квадратов группы , а через  — факторгруппу . Для , ,  множество  есть множество значений бинарной квадратичной формы . Положим  для , . Схемой квадратичных форм поля  называется структура, состоящая из группы , отображения  группы  и выделенного элемента .

Всякая схема , ассоциированная с полем , обладает следующими свойствами:

 образует подгруппу группы

Замечание [4]. Из  и  непосредственно вытекает: .

Два поля  и  называются квадратично эквивалентными, если ассоциированные с ними схемы  и  изоморфны, то есть существует групповой изоморфизм  такой, что  и .

Как отмечается в [4] слишком амбициозно рассчитывать на решение общей задачи классификации полей с точностью до квадратичной эквивалентности. Более достижимой  представляется классификация полей с конечной ассоциированной схемой квадратичных форм.

Определяют также и абстрактную схему как группу  экспоненты 2 с выделенным элементом  и отображением ,удовлетворяющим условиям . Остается открытым следующий вопрос [4]: всякая ли QF-схема реализуется как QF-схема поля?

§ 2. Схемы квадратичных форм полей комплексных и действительных чисел

Построим схему поля  комплексных чисел. Имеем,  и, кроме того, подгруппа квадратов  мультипликативной группы совпадает с самой группой, то есть . Таким образом, факторгруппа  состоит только из одного элемента. Получаем,  и , так как  и, тем самым, . Очевидно, множество  значений бинарной квадратичной формы  над  есть . Следовательно, имеет место

Утверждение 1. Схема квадратичных форм поля  комплексных чисел определена условиями: , , .

Для поля  действительных чисел в силу условия  задача выявления строения схемы квадратичных форм является более интересной. Имеем  Таким образом факторгруппа  содержит два элемента, представителем класса  может служить , a число  выбираем представителем класса . Тем самым,  и .

Множество  есть множество значений бинарной квадратичной формы . Таким образом, . Аналогично,  есть множество значений бинарной квадратичной формы  и .

Утверждение 2. Схема квадратичных форм поля  действительных чисел определена условиями: , , , .

§ 3. Схемы квадратичных форм конечных полей  и

Пусть  — простое конечное поле, состоящее из трех элементов,  и бинарные операции определены следующим образом:

Построим схему квадратичных форм поля . Как показывает таблица умножения, , . Тогда факторгруппа  состоит из двух элементов . Для выделенного элемента  получаем . Другими словами,  не является квадратом в поле , так как уравнение  не имеет решений.

Найдем множества  для каждого элемента  группы . Пусть , тогда  — множество значений квадратичной формы . При ,  получаем , в случае  имеем . Таким образом, . Пусть теперь . Найдем множество  значений квадратичной формы . При ,  получаем , в случае ,  имеем . Таким образом, . Окончательно, доказано

Утверждение 3. Схема квадратичных форм поля  определена условиями: , , , .

Пусть  – простое конечное поле, состоящее из пяти элементов,  и бинарные операции определены следующим образом:

Построим схему квадратичных форм поля . Как показывает таблица умножения, , . Тогда факторгруппа  состоит из двух элементов . Для выделенного элемента  получаем .

Найдем множества  для каждого элемента  группы . Пусть , тогда  — множество значений квадратичной формы . При ,  получаем , в случае  имеем . Таким образом, . Пусть теперь . Найдем множество  значений квадратичной формы . При ,  получаем , в случае ,  имеем . Таким образом, .Из данного выше вытекает

Утверждение 4. Схема квадратичных форм поля  определена условиями: , , .

§ 4. Схемы квадратичных форм полей  и адических чисел

Рассмотрим поле адических чисел . Каждый элемент поля  адических чисел представим в виде:

,

где  и  . Операции сложения и умножения адических чисел определены, например, в [5]. Несложно показать, что в поле  квадратами являются только те числа, которые имеют вид , где  — квадрат в поле , а остальные коэффициенты , произвольны. Рассмотрим строение факторгруппы . Элементы  попадают в один класс смежности по подгруппе , если . Так как , то включение  равносильно условию . Значит, если , , то первый коэффициент произведения  сравним с  по модулю  и стоит при степени . Для того, чтобы , необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два условия:

1.   — четно, это равносильно тому, что  и  одновременно четны или одновременно нечетны;

2.   — квадратичный вычет по модулю , это равносильно тому, что  и  одновременно являются квадратами или не квадратами по модулю .

Следовательно, факторгруппа  содержит 4 класса эквивалентности. Их представителями удобно выбрать, соответственно, элементы , , , , где: ,

,

,

.

Таким образом, . Найдем множества . Согласно определению, а также учитывая , получаем  и . Кроме того, . Таким образом, в силу - получаем . Найдем . Имеем . Отсюда при  получаем , в противном случае . То есть . Найдем . Имеем . Таким образом при любом выборе  и  получаем . Найдем . Аналогично, . Отсюда .

Утверждение 5. Схема квадратичных форм поля адических чисел определена условиями , , , , , .

Рассмотрим поле адических чисел . Каждый элемент поля адических чисел представим в виде:

,

где  и  . Несложно показать, что в поле  квадратами являются только те числа, которые имеют вид , где  то есть являются квадратами в поле , а остальные коэффициенты , произвольны.

Следовательно, факторгруппа  содержит 4 класса эквивалентности. Их представителями удобно выбрать, соответственно, элементы , , , , где: ,

,

,

.

Таким образом, . В силу  получаем .  Найдем . Имеем . Так как уравнение   не имеет не нулевых решений в поле , то  . В случае  или , как и для адических чисел получаем , . Имеет место

Утверждение 6. Схема квадратичных форм поля адических чисел определена условиями , , , , , .

§ 5. Операции над -схемами

В этом параграфе определяются групповые произведения и групповые расширения -схем. Каждая из операций иллюстрируется примерами.

Групповые произведения.

Произведением -схем  называется группа  с выделенным элементом  и отображением , где для элемента  имеем .

Построим, например, произведение -схем  и . Согласно определению получаем , , , .

Групповые расширения.

Пусть  есть -схема и  — группа второго порядка. Групповое произведение  с выделенным элементом  и отображением  определенным для следующим образом

называется групповым расширением -схемы .

Утверждение 7. Поле  формальных степенных рядов квадратично эквивалентно полю адических чисел

Доказательство. Построим схему квадратичных форм поля  формальных степенных рядов над . Согласно [4], -схема поля  есть групповое расширение -схемы поля . По определению группового расширения получаем ,  и , , , .

C другой стороны, схема квадратичных форм поля  определена условиями (утверждение 6): , , , , , .

Рассмотрим отображение , определенное следующим образом: , , , . Тогда  — групповой изоморфизм,  и при этом  имеем . Утверждение доказано.

Список литературы:

1.Калужнин Л.А. Введение в алгебру. М.: Наука. 1973.

2.Becher K.J., Hoffmann D.W. Symbol lengths in Milnor theory. — Homology, Homotopy and Applications. 6 (2004), p. 17—31.

3.Kula M. Fields and quadratic form schemes. — Ann Math.Sil. 1985, 1 (13), p. 7—22.

4.Kula M. Counting Witt rings. — J. Algebra. 1998, 206, no. 2, p. 568—587.

5.Marshall M. The elementary type conjecture in quadratic form theory. — Contemp. Math. 344 (2004), p. 275—293.