ИСПОЛЬЗОВАНИЕ «МЕТОДА ОБЪЕМОВ» ДЛЯ РЕШЕНИЯ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Правильный выбор метода решения стереометрических задач поможет выпускникам в решении заданий единого государственного экзамена по математике. Кроме того, решение задач по стереометрии – это тренировка пространственного и логического мышления. Чаще всего такие задания сводятся к решению задач планиметрии с использованием известных теорем и формул.

В стереометрических задачах единого государственного экзамена профильного уровня встречаются различные типы заданий, где необходимо найти расстояние от точки до прямой; расстояние от точки до плоскости; расстояние между скрещивающимися прямыми; угол между прямыми; угол между прямой и плоскостью и угол между плоскостями.

Подробно рассмотрим задачи, в которых требуется найти расстояние от точки до плоскости и расстояние между скрещивающимися прямыми.

Определение 1. Расстояние между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра. Оно равно расстоянию между параллельными плоскостями, проходящими через эти прямые [2, с. 34].

Общим перпендикуляром называется отрезок с концами на этих прямых, являющийся перпендикуляром к каждой из них.

Определение 2. Расстояние от точки до плоскости, не содержащей это точку, есть длина отрезка перпендикуляра опущенного из этой точки на данную плоскость [1, с. 40].

Данные определения указывают на традиционные способы отыскания данных расстояний, в которых требуется провести перпендикуляр и вычислить его длину. Встречаются такие задачи, в которых, перпендикуляр сложно провести и представить в пространстве его расположение. Поэтому на помощь приходят другие методы решения, в которых не требуется четкой визуализации перпендикуляра, можно предложить «метод объемов» или «векторный метод». В рамках данной статьи рассмотрим «метод объемов».

Для решения первой задачи рассмотрим «Метод объемов» для нахождения расстояния от точки до плоскости. Задачу данного типа можно свести к задаче о вычислении высоты пирамиды, где высота пирамиды является искомым расстоянием от точки до плоскости.  Для этого необходимо доказать, что эта высота является искомым расстоянием; далее найти объём этой пирамиды двумя способами и выразить эту высоту. Отметим, что при данном методе нет необходимости в построении перпендикуляра из данной точки к данной плоскости. Исходя из равенства объёмов одной и той же фигуры, в нашем случае пирамид, рассмотренные с разных вершин, можно выразить искомое расстояние.

Рассмотрим использование этого метода для решения задач.

Задача 1. В правильной пятиугольной призме   длина ребра основания равна 2, а высота 6. Точка  – середина ребра ,  делит сторону  в отношении 2:1. Найти расстояние между прямыми и .

Дано:  – правильная пятиугольная призма,

  = 2, .

Найти:

Решение:

1) Прямые  и  являются скрещивающимися, т.к. ,  и прямые , не пересекаются (рис. 1).

  и  , следовательно || ().

, поэтому расстояние между скрещивающимися прямыми сводится к расстоянию от точки до плоскости.

Рисунок 1. Правильная пятиугольная призма

2) Объем пирамиды   с основанием  равен

, где .

С другой стороны, объем этой же пирамиды равен

,

где  – высота, опущенная на основание .

3) Если провести сечение через точку  параллельную основанию, то получим правильный пятиугольник тождественно равный основанию. И высота , проведенная в этом пятиугольнике (рис. 2), будет равна высоте пирамиды опущенная на основание .

Рисунок 2. Правильный пятиугольник

4) Проведем диагонали , т.к. отношение диагонали к его стороне равно  (золотое сечение) и в нашем случае сторона  [4].

В равнобедренном – высота и медиана, по теореме Пифагора высота .

5)  – равнобедренный, т.к. , поэтому МN – высота и медиана, из прямоугольного найдем

.

Найдем площади треугольников  и :

.

.

Приравняем выражения, характеризующих объёмы одной и той же пирамиды, рассмотренные с разных вершин и выразим искомое расстояние.

.

.

Ответ: .

Во второй задаче расстояние от точки до плоскости найдем, используя «метод объемов». Но в данной задаче при нахождении объема пирамиды одним из способов появится необходимость рассмотреть разность пирамид.

Задача 2. В кубе со стороной 3 проведено сечение через точки ,  и . Точка  делит  в отношении 1: 2 начиная c ,  делит  в отношении 2: 1 начиная с  и точка  делит  в отношении 2: 1 начиная с . Найти расстояние от точки  до плоскости  [3].

Дано:  – куб,  = … = = 3,

, .

Найти:

Рисунок 3. Сечение куба

Решение:

1) Построим сечение плоскостью (рис. 3), проходящей через точки , , . Точки ,  лежат в одной плоскости , поэтому

Точки  лежат в плоскости, поэтому точки  и  можно соединить,  . Причем , следовательно . Полученное сечение  является трапецией.

2) Объем пирамиды  равен

 или

.   Пусть .

3)  – усеченная пирамида, поэтому  , где .

, т.к.  подобны и коэффициент подобия , . Аналогично

Высоты в треугольниках  равны соответственно

.

Находим площади треугольников, которые служат основаниями усеченной пирамиды

.

Объем пирамиды  равен  .

Тогда получаем .

4) По теореме Пифагора высота, проведенная в основании, равна

.

Площадь трапеции , которая служит основанием пирамиды, равна

.

Найдем искомое расстояние .

Ответ: .

«Метод объемов» открывает широкие возможности для решения стереометрических задач.

Список литературы:

1. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразовательных учреждений: базовый и профил. уровни / [Л.С. Анатасян, В.Ф. Бутозов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.
2. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразовательных учреждений: базовый и профил. уровни / А.В. Погорелов. – 9-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 178 с.
3. ЕГЭ 2019. Математика. Профильный уровень. 36 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ЕГЭ и 800 заданий части 2 / под ред. И.В. Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», издательство МЦНМО, 2019. – 239 с.
4. Правильный пятиугольник // Википедия. [2018—2018]. Дата обновления: 14.05.2018. URL: https://ru.wikipedia.org/?oldid=92644719 (дата обращения: 1.11.2018)