Статья опубликована в рамках: LXXI Международной научно-практической конференции «Научное сообщество студентов XXI столетия. ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ» (Россия, г. Новосибирск, 15 ноября 2018 г.)
Наука: Математика
Скачать книгу(-и): Сборник статей конференции
дипломов
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА КООРДИНАТ ПРИ РЕШЕНИИ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА НАХОЖДЕНИЕ УГЛА МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ
Решение стереометрических задач требует от ребенка качественных знаний по геометрии, рационального применения того или иного метода решения и правильного построения. Большое значение имеет пространственное мышление, которым обладает меньшинство школьников. В связи с этим у выпускников школ появляются сложности при решении стереометрической задачи второй части единого государственного экзамена по математике. Решая традиционным (геометрическим) методом, применяя основные определения, теоремы, леммы стереометрии у детей возникают с проблемы при построении дополнительных элементов чертежа, доказательных рассуждениях. Необходимо обратить внимание выпускников и преподавателей, занимающихся их подготовкой к экзамену, на то, что не каждая задача решается геометрическим методом, который является наиболее популярным. Примером данного утверждения приведем задачу, в ходе решения которого придем к выводу, что рациональным методом решения данной задачи является координатный метод.
Для решения стереометрических задач ребенок должен обладать определенной теоретической базой. Основные теоретические факты и элементарные задачи на закрепление можно изучить в учебниках по геометрии Атанасяна Л.С. для 10-11 классов и Погорелова А.В. для 7-11 классов [1, 2]. Для более углубленного изучения можно воспользоваться учебником высшей математики Бугрова Я.С. и Никольского С.М. [3], в котором подробно разбирается аналитическая геометрия. Вспомним по данной теме основное определение из учебника геометрии [1, c. 43].
Определение. Угол между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, – это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. (рис.1).
Рисунок 1. Угол между прямой и плоскостью
Определение подсказывает способ отыскания данного угла, но встречаются такие задачи, что очень сложно увидеть и построить проекцию прямой на плоскость. Поэтому в рамках данной статьи рассмотрим метод координат при решении стереометрической задачи на нахождение угла между прямой и плоскостью.
При решении данного типа задач координатным методом нужно знать основную формулу, которая определяет угол между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости (рис. 2).
Рисунок 2. Угол между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости
Задача. В правильной шестиугольной призме 
, точка 
делит ребро 
следующим образом: 
, 
. Постройте сечение данной призмы, проходящее через точки М, Е и F. Найти угол между полученной плоскостью сечения и прямой 
.
Решение задачи будем оформлять в соответствии с требованиями: чертеж, краткое условие задачи и ход решения (рис. 3).
Рисунок 3. Правильная шестиугольная призма 
Дано:
правильная шестиугольная призма, 
.
а) Построить сечение призмы плоскостью 
;
б) Найти: угол между прямой и плоскостью , условимся его называть 
.
а) Построение сечения:
1) Соединим точки М и Е, т. М спроецируем в т. D, построим продолжение ребер СD и ЕF: 
;
2) Затем проведем прямую 
, которая пересекает ребро 
в т. К;
3) Далее найдем остальные точки данного сечения, учитывая, что если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения параллельны [1, с. 21]. Противоположные грани в правильной шестиугольной призме параллельны. Поэтому через точку К построим прямую параллельную прямой ЕF и получим следующую точку S на ребре ВВ1. Аналогично SR||ME и RF||KM.
5) 
искомое сечение призмы 
б) Спроецируем прямую 
на найденную плоскость сечения, тогда наша задача сводится к отысканию 
. Здесь нужно остановиться и подумать о том, какое главное условие должно выполняться для проекции при нахождения угла традиционным способом: 
должен быть прямым. По построению видно, что это не так, следовательно, воспользоваться традиционным методом мы не можем, поэтому воспользуемся координатным методом:
1. Введем систему координат Oxyz.
2. Пусть АВ
ВС… FE
, т.к. по условию призма правильная, тогда 
; 
, а 
3. Находим координаты точек 
и 
:
и 
4. Находим уравнение плоскости : 
Необходимо найти коэффициенты, для этого зададим координаты трех точек:
Составим систему:
;
решив систему, получаем, что 
- уравнение плоскости
8. Тогда координаты нормального вектора - 
, зная это, мы можем найти значение ,
,
подставляем имеющиеся значения:
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством 
для нахождения
,
тогда 
, следовательно 
.
Ответ: 
.
В ходе решения, мы убедились, что стереометрические задачи разнообразны и не стоит уделять внимание лишь традиционному способу решения. У каждого метода есть свои плюсы. Координатный метод связывает геометрию и алгебру. Более рациональное решение задач вместо использования множественных геометрических преобразований и решений. Даёт возможность различных представлений и решений задачи за счет выбора произвольного расположения системы координат. Служит отличным способом проверки ответа при решении традиционным способом.
Список литературы:
- Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. В. Кадомцев и др.]. – 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.
- Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и профил. уровни / А. В. Погорелов. – 13-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – 175 с.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Дрофа, 2004. – 288 с.
дипломов
Оставить комментарий