РАЗЛИЧНЫЕ ПОДХОДЫ К РЕШЕНИЮ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА НАХОЖДЕНИЕ РАССТОЯНИЯ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ

Профильный экзамен по математике имеет цель обеспечить учащихся прочными знаниями по предмету, но также развить индивидуальные качества подрастающего поколения. Математика является важным предметом для развития таких способностей. Этому способствует логическое построение предмета, четкая система упражнений для закрепления полученных знаний и абстрактный язык математики.

Геометрия дает возможность для реализации творческого и индивидуального начала при решении задач по планиметрии и стереометрии, так как включается возможность решение задача несколькими способами. Такие задания требуют от учащихся собственной инициативы, заставляют анализировать, и что немало важно, если один способ не приводит к цели или слишком громоздок, то лучше обратиться к другому. И как говорил венгерский математик Дьёрдь Пойа «Лучше решить одну задачу несколькими методами, чем несколько задач – одним».

Вторая часть профильного уровня единого государственного экзамена по математике включает задачу из раздела стереометрии. При решении таких задач необходимо иметь прочные знания по планиметрии и стереометрии. При решении стереометрических задач у школьников возникают сложности в построении 3d чертежа, дополнительных построениях, объемных вычислениях. Поэтому важно знать несколько методов решения задач, при этом уметь выбирать наиболее удачный метод, или же одним методом решить другим проверить правильность полученного результата.

Для доказательства выше сказанных суждений рассмотрим задачу из второй части единого государственного экзамена по математике.

Задача. В кубе стороны, которого равны 2, точка делит сторону на равные части.  Найти расстояние между плоскостью и точкой основания.

Вспомним определение. Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Сначала решим данную задачу первым методом, используя определение «расстояние от точки до плоскости». Такой метод обычно называют «традиционным». Для решения этим методом необходимо знать основные теоремы стереометрии (признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорема о трех перпендикуляр и другие).  

Рисунок 1. Куб

Решение.

1. Сначала рассмотрим и (рис. 1).

.

.

Следовательно, , является равнобедренным.

2. Проведем диагонали, которые будут также равны, так как все грани куба являются квадратами.

3. В равнобедренном проводим высоту, которая будет выполнять и роль медианы и биссектрисы. Поэтому,

4.  равнсторонний что следует из пункта 2. И в данном треугольнике проводим высоту.

5.  (1)

 (2)

 (3)

Из (1) - (3) следует по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, чтопрямая  будет перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости. [1, с. 36]

6. В проводим высоту перпендикулярно.

 по построению. (4)

, так как, следовательно, перпендикулярна любой прямой данной плоскости. (5) [1, с. 34]

Из (4) – (5) следует, что

7. Искомым расстоянием между плоскостью и точкой является перпендикуляр.    .

8. Для того, чтобы найти искомую высоту рассмотрим два способа нахождения площади треугольника.

,

,

где p – полупериметр данного треугольника. [3, с. 16]

9. Найдем все три стороны треугольника. Для этого рассмотри три вспомогательных треугольника.

 где диагональ квадрата,  половина диагонали.   .

 гдеравен половине стороны квадрата, адиагональ квадрата. .

 где половина диагонали квадрата, а.  

10. Рассчитываем полупериметр треугольника:

Находим площадь треугольника, используя найденный полупериметр:

11. Расписываем нахождение площади через высоту и приравниваем полученному значению выше:

Решим задачу координатным методом и сравним ответы с первым способом. Пусть дана точка и плоскость, заданная уравнением в прямоугольной декартовой системе координат. [3, с. 113] Расстояние от точки до плоскости можно вычислить по формуле:

Рисунок 2. Куб в декартовой системе координат

Решение.

1. Введем систему координат (рис. 2).

2. Используя уравнение плоскости найдем все коэффициенты 

Все коэффициенты выразим через:

Разделим на (-1) и на:

3. Используя формулу для нахождения расстояния между точкой и плоскостью, рассчитаем для полученных данных:

В рамках данной статьи рассмотрены два способа решения стереометрической задачи из единого государственного экзамена по математике. Рекомендуем эту задачу решить другими методами, такими как «метод объемов», «векторный метод».  Доступная и несложная задача позволяет решающему более детально вникнуть в методы решения и в дальнейшем с легкостью выбирать методы для решения более сложных задач.

Список литературы:

1. Атанасян Л.С. Геометрия. Учебник для 10-11 классов. – М. Просвещение, 2009. – 225 с.
2. Ганеева А.Р. Задачи С2 и С4 единого государственного экзамена по математике. Учебное пособие. – Елабуга: Изд-во Елабужского института КФУ, 2013. – 100 с.
3. Звавич Л.И., Рязановский А.Р. Геометрия в таблицах. -М.: Просвещение, 2014. – 127 с.