СТАЦИОНИРОВАНИЕ ВЯЗКОУПРУГОЙ СРЕДЫ КЕЛЬВИНА-ФОЙГТА

STATIONATION OF THE VISCOELASTIC KELVIN-FOIGT MEDIUM

Damir Tleubayev

master’s Degree student of mathematical and computer modeling of the Eurasian National University named fter L.N. Gumilev

Republic of Kazakhstan, Astana

Mahat Bukenov

candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of mathematical and computer modeling of the Eurasian National University named after L.N.Gumilev,

Republic of Kazakhstan, Astana

АННОТАЦИЯ

В работе рассматривается стационирование решения вязкоупругой среды Кельвина-Фойгта при  к решению статической задачи упругости. Показано оптимальное значение параметра , при котором скорость сходимости будет максимальной.

ABSTRACT

The paper shows stationation of solution of the viscoelastic Kelvin-Foigt environment for solving a static elastic problem when . Also, we have the optimal value of the parameter , at which the velocity of convergence will be maximum.

Ключевые слова: вязкоупругость, деформация, напряжение, стационирование.

Keywords: viscoelasticity, deformation, tension, stationation.

В , требуется определить вектор перемещений, тензоры деформаций  и напряжений , удовлетворяющие уравнениям движения:

 , ,                                         (1)

соотношениям между, перемещениями-деформациями

,                                                         (2)

и уравнениям состояниям среды  

 ,                                                (3)

здесь   , ,

, .

 – символ Кронекера, ,

, , ,  – коэффициенты Ламе,

 и   – сдвиговый и объемный коэффициент вязкости, следуя [1].

К уравнениям (1), (2), (3) следует добавить граничные условия

,                                   (4)

и начальные условия

,                                      (5)

Далее после несложных преобразований мы получим постановку в напряжениях

,                                    (6)

Матрицы B и D – симметричны, перестановочны и положительно определены. Правая часть  и оператор А – их вид приведен в [2].

- T-транспонирование.

Эту постановку (4) - (7) используем для получения оценок скорости сходимости решения задачи (4) - (7) к решению следующей статической задаче теории упругости

,                                                       (8)

,                              (9)

Деформации и напряжения связаны с законом Гука

 ,                                                 (10)

 Граничные условия для (8) - (10) задаём в виде (4).

Теорема 1.

Оператор (-А) с однородными граничными условиями (4) положительно определён.

Доказательство. Определим скалярное произведение следующим образом:

Из справедливости соотношений

, ,                                       (11)

Получим , при .

Обозначим , тогда из условия , следует, что существует вектор  такой, что

,

используя неравенства Корна и Пуанкаре [3], можно получить

,                                        (12)

так как B положительно определённая матрица, то

,                                       (13)

интегрируя по частям и учитывая однородные граничные условия, получаем равенство

, ,

используя неравенства (12), (13) имеем:

.

Таким образом, .

Рассмотрим разность решений вязкоупругой задачи (4) - (7) - и статической задачи теории упругости  (4) – (8) – (10) - .

                                              (14)

Для функции  получим однородное уравнение

,                                             (15)

с начальными граничными условиями (4) и начальными данными

,                      (16)

умножим уравнение (15) слева на матрицу  и введем новую функцию

,                                                      (17)

и преобразуем уравнение (15), чтобы получить уравнение с самосопряженными операторами:

 ,                                                    (18)

где

.

введём функцию

,                                                       (19)

и покажем, что эта функция ограничена в некоторой норме. Подставим (19) в уравнение (18) и умножим полученное уравнение скалярно на

., , (20)

 Выберем параметр  таким образом, чтобы выполнялись неравенства:

                                                         (21)

Тогда из (20) получим оценку

                                                       (22)

в полунорме

                                (23)

Эта оценка показывает, что для любого момента времени ограничена в норме (23). Возвращаясь к функции по (19), (17) имеем

                                                 (24)

где (25)

Для завершения доказательства сходимости решения вязкоупругой задачи к решению статической задачи теории упругости покажем, что можно выбрать параметр , характеризующий скорость сходимости и удовлетворяющий неравенствам (21).

Неравенствам (21) эквивалентны следующие:

                                             (22)

для операторов ,,и  верны неравенства

 ,  ,                    (26)

получаем  или

. .

Решение требуемой задачи

 даётся следующими значениями параметров

.

При этом можно выбрать  так, что

Тогда полунорма (25) упрощается и становится нормой:

Таким образом, доказана следующая

Теорема 2. Решение вязкоупругой задачи (4)-(7) сходится к статической задаче теории упругости (4), (8) – (10).

Список литературы:

1. Бленд Д. Теория линейной вязкоупругости. // Мир, 1965 год – 199 с.
2. Пацюк В. И. Итерационный метод решения статических задач теории упругости в напряжениях. // Новосибирск, 1981 – 20 с. (Препринт/ВЦ СО АН СССР: 289)
3. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. //Мир, 1974.