ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ

Ряд Фурье – это способ представления произвольно взятой периодической функции в виде ряда. На сегодняшний день данное преобразование находит широкое применение в практике и является мощным инструментом при решении самых различных задач многих специалистов: кроме математиков его используют энергетики, физики, химики, астрономы, сейсмологи, геодезисты и другие.

Данный метод был применен в начале 19-го века его основателем, французским физиком Жосефом Фурье, к задаче о распространении тепла в металлической пластине, однако настоящую инженерную популярность метод приобрел значительно позже, во время развития электротехники.

Перейдем к теории.

Тригонометрическим рядом Фурье функции  называется функциональный ряд вида

   (1)

где действительные числа  называются коэффициентами ряда и рассчитываются по формулам

Ряд (1) может быть записан в виде

Стоит заметить, что разложение в ряд Фурье возможно для функций, удовлетворяющих условиям теоремы Дирихле, то есть имеющих за полный период конечное число разрывов первого рода(либо не имеющих их вовсе) и конечное число максимумов и минимумов. Этим условиям всегда удовлетворяют э. д. с., напряжения и токи в реальных электрических цепях.

Пример 1:

Необходимо рассчитать мгновенные значения токов во всех ветвях схемы(рисунок 1), а также активные мощности обоих источников. Параметры цепи:

Рисунок 1. Схема электрической цепи

Решение:

Для нахождения мгновенных значений токов применим принцип наложения. Расчет цепи проводим для каждой гармоники в отдельности.

Расчет постоянных составляющих . Расчетная схема на рисунке 2.

Параметры схемы: . Постоянные составляющие токов:

Рисунок 2. Расчетная схема для постоянной составляющей

Расчет по первой гармонике (частота ω) проводим по схеме, представленной на рисунке 3, в комплексной форме. Амплитудное значение  В;  не содержит частоты ω, поэтому вместо нее в расчетной схеме короткое замыкание.

Сопротивление параллельного участка

что свидетельствует о резонансе токов. Расчет токов:

Рисунок 3. Расчетная схема для первой гармоники

Расчет по второй гармонике (частота 2) ведем по схеме, представленной на рисунке 4,  используя комплексный метод. Амплитуда  В;  не содержит частоты 2ω. Комплексное сопротивление средней ветви:

что свидетельствует о резонансе напряжений в ветви, следовательно, ток по левой ветви не пойдет, так как она шунтирована средней ветвью,

В соответствии с первым законом Кирхгофа

Рассчитаем ток правой ветви:

Рисунок 4. Расчетная схема для второй гармоники

Тогда искомые суммарные значения токов:

Значения мощности источников определяются по формуле

Рассчитаем мощности источников:

Для инженера-электротехника данный пример в полной мере отражает важность знания такого математического понятия, как ряды Фурье, а так же умения применять их для расчета периодических несинусоидальных процессов в электрических цепях.

Список литературы:

1. Бессонов Л.А. Сборник задач по теоретическим основам электротехники: Учеб. пособие – 2-е изд., перераб. и доп. / Бессонов Л.А., Демидова И.Г., Заруди М.Е. и др.; Под ред. Л.А. Бессонова. – М.: Высш. шк.: 1980. – 472 с., ил.
2. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники: В 2-х т. Учебник для вузов. Том 1. – 3-е изд., перераб. и доп. – Л.: Энергоиздат. Ленингр. отд-ние, 1981. – 536 с., ил.
3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Дмитрий Письменный. – 8-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2009. – 608 с.: ил. – (Высшее образование).