ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ В МОДЕЛИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ИНФОРМАЦИИ С НЕЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИЕЙ НАСЫЩЕНИЯ

Распространение информации в обществе можно моделировать как эпидемию. Участники кампании заинтересованы в распространении сообщений (информации о продукте, новостях и т.п.) за какой-то определенный конечный промежуток времени при использовании ограниченных ресурсов. Например, использование интернета для продвижения информации в сферах политических кампаний или маркетинга очень быстро возрастает, так как это дает возможность влиять на большое количество людей, общающихся в сети, ничуть не меньше, чем общающихся в реальной жизни. Информация распространяется по сети, как болезнь в обществе [9], поэтому это и называется "информационной эпидемией" [6]. Следовательно, цель участников кампании - за заранее заданный промежуток времени "заразить" информацией максимально возможное число людей. Но такая стратегия требует определенных затрат. Некоторые стараются создать "шумиху" вокруг своей темы, втягивая людей в разговоры о ней (например, политические кампании), другие пытаются повысить продажи или число посетителей своих заведений посредством рекламы по телевизору, в СМИ и т.п. Но в условиях ограниченных ресурсов (денежные, кадровые ресурсы и т.д.), появляется необходимость в формулировке оптимальных стратегий, используя которые можно будет достичь своих целей при минимальных затратах. Такая оптимизационная проблема может быть сформулирована как задача оптимального управления, в которой необходимо минимизировать функционал, отвечающий за стоимость кампании. Рассматривается общество, в котором люди общаются и обмениваются информацией друг с другом, что позволяет увеличить уровень "информационной эпидемии". Кроме того, информация может распространяться и при непосредственном участии ведущих лиц кампании.

Существуют две основные модели распространения информации: SIS (Susceptible-Infected-Susceptible) и SIR (Susceptible-Infected-Recovered) [1].

SIS-модель удобна для ситуаций, в которых мы стараемся побудить людей к общению друг с другом на необходимую нам тему. Кроме того, SIS позволяет людям, уже получившим информацию, “выздороветь”, чтобы снова стать восприимчивыми к получению новой. В итоге появляется возможность получать различную информацию по одной и той же теме.

SIR-модель удобна для ситуаций, в которых люди участвуют в распространении информации какое-то случайное время, а потом "выздоравливают" и прекращают свою деятельность.

В данной работе рассматривается SIS-модель распространения информации.

Постановка задачи

Рассматривается сообщество из N человек, где N - фиксировано на промежутке времени 0≤ t ≤T.

Например, есть компания, которая выпустила новый продукт, и ей необходимо распространить информацию о нем в сообществе из N человек за время T. Так как информация должна как-то распространяться, то всех людей будем разделять на два типа:

• Человек, восприимчивый к получению информации.
• Человек, получивший информацию и, соответственно, распространяющий ее дальше.

Далее будем называть эти типы людей: «восприимчивый» и «распространитель».

Восприимчивый человек с какой-то долей вероятности получает информацию при общении с распространителем. А распространитель, в свою очередь, может снова стать восприимчивым к получению новой информации (по той же теме). За это отвечает вероятностная характеристика γ.

В данной ситуации нас интересует итоговое число человек, которые получили информацию к моменту времени T.

Введем обозначения:

• S(t) – число восприимчивых в момент времени t;
• I(t) – число распространителей в момент времени t;
• s(t) =  – доля восприимчивых;
• i(t) =  – доля распространителей;
• i(t) + s(t) = 1;
• u(t) – первая управляющая функция. Продвижение продукта без непосредственного участия ведущих лиц компании (например, реклама и СМИ).

u(t) – функции, измеримые по Лебегу,  , , где  ­– максимально возможный уровень рекламы.

• v(t) – второй управляющий параметр

, где– максимальное число распространителей, с которым может пообщаться человек. Как можно увеличить это число? Например, компания может организовать мероприятие, посвященное выпуску данного товара, на котором соберутся люди восприимчивые и люди-распространители. Таким образом, количество контактов между людьми увеличится (по сравнению с естественным течением: кто-то когда-то узнал о продукте из рекламы или СМИ, через какое-то время увиделся с восприимчивым человеком, рассказал).

Рассмотрим задачу оптимального управления:

Воспользуемся зависимостью  для упрощения записи системы. Подставляем в исходную систему. Следовательно, можем переформулировать задачу ОУ следующим образом:

Воспользуемся принципом максимума Понтрягина [3] для решения данной задачи. Построим гамильтониан нашей системы:

Теперь нам необходимо найти сопряженную функцию:

Следовательно, получаем:

Найдем  и :

Таким образом, мы можем записать гамильтонову систему (в системе координат :

Получили две линии переключения:

;

;

Рассмотрим следующее расположение графиков (Рис.1). Для такого взаиморасположения графиков необходимо выполнение следующих условий на параметры  и : .

Рисунок 1. – линия II, – линия IV

Мы получили 5 областей, в которых надо исследовать поведение гамильтоновой системы. Но поскольку кривые переключения в данной задаче не являются траекториями системы, то нам остаётся рассмотреть только три области.

Для этого интегрируем основную систему при следующих значениях управления:

• Первая область: , = ;
• Третья область: , = ;
• Пятая область: , = ;

В результате интегрирования получаем следующие виды траекторий, схожих во всех областях (Рис. 2).

Первая область: ;

Третья область:;

Пятая область:;

Рисунок 2. Траектории гамильтоновой системы в I, III, V областях

Далее, интегрируя в обратном времени, находим координаты пересечений траекторий с линиями переключений, моменты времени этому соответствующие и общий схематичный вид траекторий.

• В точке  +

траектория  (где  ) пересечет линию   в момент времени:

• В точке
  
  траектория   (где ,

) пересечет линию  в момент времени:

• К линии  подходим по траектории:   (где , )

Рисунок 3. Траектории гамильтоновой системы

Следовательно, получаем следующий вид оптимальных управлений:

Из полученных результатов можно сделать вывод, что компании стоит сначала максимум средств вложить и в рекламу, и в непосредственное продвижение продукта через мероприятия, потом немного снизить количество средств, направленных на увеличение числа контактов и стараться максимально рекламировать свой продукт, а под конец перестать вкладывать деньги в рекламу и продолжать поощрять общение между людьми на тему своего продукта.

Список литературы:

1. K.Kandhway, J.Kuri. How to run a campaign: optimal control of SIS and SIR information epidemic. Applied Mathematics and Computation, pp.79–92, 2014.
2. K.Kandhway, J.Kuri. Optimal Resource Allocation Over Time and Degree Classes for Maximizing Information Dissemination in Social Networks: article, 2016.
3. Ю.Н.Киселев, С.Н.Аввакумов, М.В.Орлов. Оптимальное управление. Линейная теория и приложения: учеб. пособие. М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова, 2007.
4. Э.Б. Ли, Л.Маркус. Основы теории оптимального управления: учеб. пособие. М.: Наука, 1972
5. Ф.П.Васильев Методы оптимизации: учеб. пособие. Факториал Пресс, 2002 
6. К.В.Измоденова, А.П. Михайлов. Об оптимальном управлении процессом распространения информации. Математическое моделирование: статья. стр.67–76, 2005.
7. С.Н.Аввакумов, Ю.Н.Киселёв. Построение оптимальных законов управления для модели диффузии информации в социальной группе: Сборник научных трудов, выпуск 4, стр. 4-33, изд-во МАКС Пресс, 2009.
8. C.Castilho. Optimal Control of an epidemics through educational campagins. Article, Electronic journal of differetial equations: article, pp.1–11, 2006.
9. A.Karnik, P.Dayama. Optimal control of information epidemics. Article, Proceedings of IEEE communication system and networks conference: article, pp.1–7, 2012.
10. S.Belen The behaviour of Stohstic Rumours: Ph.D. dissertation, University of Adelaide, Australia, 2008.