НЕОПРЕДЕЛЁННОЕ УРАВНЕНИЕ ЧЕТВЁРТОЙ СТЕПЕНИ ОТ ТРЁХ ПЕРЕМЕННЫХ

Рассмотрим уравнение

 х⁴ + у²  =  z²                                                                                      (1)

где x, y, z ϵ N.

Перепишем  уравнение  (1)  следующим  образом:

х⁴  =  (z + у) (z – у)                                                                             (2)

и  пусть

х = рх₁,  у = ру₁, z = рz₁,                                                                      (3)

где  (х₁, у₁, z₁) =1. Тогда уравнение (3) примет  вид

 р² х₁ = (z₁ + у₁) (z₁ + у₁)                                                                   (4)

Пусть  так  же

 z₁ + у₁ = а, z₁ - у₁ = b,                                                                     (5)

откуда

  ,                                                            (6)

где (а, b) = 1,  тогда  равенство (4) запишется:

р²х₁⁴ = ав.                                                                              (7)

Покажем, что (а, b) ≤ 2.Так как (х₁, у₁, z₁,) =1, то (у₁, z₁) =1,что весьма несложно проверить. Пусть (а,b) = d, тогда

а = d а₁, b = d b₁,

где а₁, b₁ ϵ N, (а₁,b₁) = 1 и, поэтому, а₁ и b₁ не могут быть одновременно чётными. Таким образом, из выражений (6) следует, что

Имеем

откуда

                                                                     (8)

Как видно из выражения (8), или d = 1(а₁ и b₁ – оба нечётные), или d = 2(а₁ и b₁ – разной чётности). Итак,

 (а₁,b₁) ≤ 2.                                                                                         (9)

Рассмотрим уравнение (7) при условии (9). Очевидно, что р² | (аb), следовательно, можно записать

                                                          (10)

Где р_i, a´, b´ϵN), (a´, b´) ≤ 2. Подставив выражение (31) в равенство (7) получим:

 х₁⁴ = а´·b´,                                                                                  (11)

гдеa´, b´ϵ N, (a´, b´) ≤ 2. Рассмотрим отдельно два случая (a´, b´) = 1 и (a´, b´ ) = 2.

1) Пусть (a´, b´) = 1. Тогда из уравнения (11) следует, что

a´ = m⁴, b´= n⁴,                                                                            (12)

где m, n ϵ N, (m, n) = 1.В этом случае, вспомнив условия (2) и (5), получим следующую формулу:

Где р, m, n ϵ N, (m, n) = 1,р – свободное от квадратов число. Поскольку у, z ϵ N имеем формулу:

Где р, m, n ϵ N, (m, n) = 1, р – свободное от квадратов число.

В справедливости формулы (13) легко убедиться, подставив её в уравнение (1). Полагая фиксированными натуральными числами, отвечающими условиям, наложенным на них, получим частные решения уравнения (1). Например, р = 2, m = n = 1:‹2, 3, 5›;р = 1,m = 2, n = 1:‹4, 30, 34›итакдалее.

2) Пусть теперь (a´, b´) = 2. Тогда

а´ = 2aʺ, b´ = 2bʺ,                                                                               (14)

где (aʺ, bʺ) = 1 и, следовательно, уравнение (7) примет вид

х₁⁴ = 4·аʺ·bʺ,

гдеaʺ, bʺ ϵ N, (aʺ, bʺ) = 1. Очевидно, что х должно делитьсяна2, то есть, х₁ = 2х₂, а, значит,4х₂⁴ = аʺ· bʺ. Таким образом, или4 | аʺ, или 4 | bʺ. В первом случае, aʺ= 4m⁴, bʺ = n⁴, тоесть, х₂ = mn, х₁ = 2mn.Вспомнив выражения (14), (11), (6), (1), получим формулу

                                                      (15)

Где р, m, n ϵ N, (m, n) = 1, n – нечётно (так как(aʺ, bʺ ) = (4m⁴,n) ⁴= 1),2m² >n²  .Еслиже4 |bʺ, то по аналогии получим:

                                                        (16)

гдер, m, n ϵ N, (m, n) = 1, m – нечётно (так как (aʺ, bʺ) = (m⁴,4n) ⁴= 1), m² > 2n² .

Формулы (36) и (37) можно объединить в единую формулу

,                                                                  (17)

Где р, m, n ϵ N,(m, n) = 1,р =  (р_i = р_j тогда и только тогда, когда i = j), 2m² >n² .

Полагая вформуле (17) р, m, n конкретными натуральными числами, отвечающими условиям, наложенным на них, получим частные решения уравнения (1). Например, р = m = n = 1:‹2, 3, 5› и так далее.

Видно, что при некоторых параметрах формулы (13) и (17) могут давать одинаковые частные решения уравнения. Можно показать, что формула (17) является частным случаем формулы (13).

Действительно, положим в формуле (13) р = 2р´, тогда в этой формуле (2,2m +nи, следовательно, формула (34) примет вид

,                                                                   (18)

Где р´, m, n ϵ N,(m, n) = 1,р´ =  (р_i = р_j тогда и только тогда, когда i = j),2m² >n² .Если в формуле (17) положить, что р – нечётное число, тождественность формул (17) и (18) очевидна.

,    

или

, 

Где р, m, n ϵ N, (m, n) = 1, р= (р_i = р_j тогда и только тогда, когда i = j). Несложно показать, что обе формулы являются частным случаем формулы (13), достаточно положить в формуле (13) р – нечётным числами, в первом случае, m = 2m₁, во втором – n = 2n. Таким образом, формула (17) является частным случаем формулы (13).

Итак, все решения уравнения (1) можно записать в виде единой формулы:

                                                        (19)

,

Где р, m, n ϵ N, (m, n) = 1, m² >n² , р – свободное от квадратов число.

При фиксированных натуральных числах m и n можно найти частные решения. Например, варьируя параметры в формуле (19) получим частные решения уравнения (1), некоторые из которых приведены в таблице ниже:

Таблица 1

Некоторые частные решения уравнения х⁴ + у² = z² в натуральных числах

Список литературы:

1. Бокарев, Н. Л. Некоторые классические диофантовы уравнения / Н. Л. Бокарев, Е. В. Буякова. [Электронный ресурс]: Научно-методический электронный журнал «Концепт». – 2014. – Т. 26. – С. 56–60. – URL: https://e-koncept.ru/author/4048(дата обращения: 25.07.2019)
2. Бокарев, Н. Л. Диофантовы уравнения второй степени от трёх переменных / Н. Л. Бокарев, Е. В. Буякова. [Электронный ресурс]// URL:https://cyberleninka.ru/article/v/diofantovy-uravneniya-vtoroy-stepeni-ot-tryoh-peremennyh(дата обращения: 25.07.2019)
3. Кожегельдинов, С. Ш. О задачах, связанных с пифагоровыми тройками // Межвузовская конференция, посвящённая 150–летию со дня рождения Абая. /С. Ш. Кожегельдинов. – Семей: СГУ имени Шакарима,1991. – С. 132 – 133.