РЕАЛИЗАЦИЯ ЧИСТОГО И ПРОСТОГО СДВИГА В СЛУЧАЕ УПРУГОЙ БИМОДУЛЬНОЙ СРЕДЫ

Андрианов Иван Константинович

студент 6 курса, кафедра механики и анализа конструкций и процессов, КнАГТУ, г. Комсомольск-на-Амуре,

E-mail:  ivan_andrianov_90@mail.ru.

Олейников Александр Иванович

научный руководитель, д-р. физ. мат наук, профессор КнАГТУ,

г. Комсомольск-на-Амуре

Исследования упругих свойств многих материалов указывают на отличие в их поведении от линейного закона Гука при малых деформациях. Материалы, по-разному сопротивляющиеся растяжению и сжатию называются бимодульными [3, c. 17]. Свойство бимодульности характеризуется существенным расхождением значений модуля Юнга и коэффициента Пуассона при растяжении  и при сжатии  [4, с. 18] .

В основе чувствительности материала к виду напряженного состояния могут лежать соответствующие возмущения его микроструктуры. Такие возмущения в основном происходят в системе микроповреждений материала и представляют собой, например, изменение формы и размеров дефектов, потерю устойчивости элементов микроструктуры, а также реализацию или, наоборот, устранение действия имеющихся локальных нарушений связности и сплошности. В расчетах напряженно-деформированного состояния бимодульных материалов, свойством бимодульности часто пренебрегают и рассматривают обыкновенную линейно-упругую модель сплошной среды, что может приводить к принципиальным расхождениям с экспериментальными данными.

Микронарушения обычно присущи всем неоднородным структурам, их наличие может быть следствием технологических процессов производства, получения и синтеза материала, а также природных процессов его образования, приложения нагрузок, пластических деформаций, взаимодействия с полями, химических и биологических процессов. Под микронарушениями можно понимать не только устойчивые трещины, поры и другие нарушения сплошности, но и локальные нарушения связности — разрезы, щели, трещины с сомкнутыми берегами.

Бимодульность установлена для многочисленных сплавов: чугуна, бронзы и стали. У стали бимодульность проявляется незначительно, различие в значениях модуля Юнга при растяжении и сжатии не более 3—5 %, у чугуна может достигать 30 % и более. Свойством бимодульности обладают некоторые конструкционные материалы, в частности, армированные и неармированные полимеры. Установлена существенная бимодульность капрона и фторопласта, а также изотропного неармированного полистирола (оргстекло) [2, c. 9].

Сильно выраженным свойством бимодульности обладает такой распространенный строительный материал, как бетон. Для некоторых видов мелкозернистого бетона модуль Юнга при растяжении в два-три раза меньше, чем при сжатии. Столь существенные различия в значениях параметров, очевидно, будут приводить к значительным расхождениям в результатах расчетов деформаций для бетона без учета его свойства бимодульности. Свойство бимодульности также характерно для грунтов и горных пород. Для различного типа гранитов модуль Юнга при сжатии превосходит модуль Юнга при растяжении до 1,5 раз, а для осадочных пород (известняки, песчаники) — до 4 раз. Таким образом, получение точной картины напряженно-деформированного состояния чрезвычайно важно и актуально при расчетах многих конструкций, строительных сооружений.

Для классического случая обобщенный закон Гука имеет следующий вид:

В случае бимодульных материалов упругие свойства будут зависеть от знаков главных напряжений. Например, при действии нормального напряжениялинейные деформации будут записываться следующим образом [1, c. 18]:

Рассмотрим случай чистого сдвига в упругом бимодульном материале, реализуемый с помощью касательного напряжения :

Используя закон преобразования, найдем компоненты напряжений в новой системе координат:

Рисунок 1. Действующие напряжения на площадках чистого сдвига

Если положить, что данные касательные напряжения положительны, то мы приходим к выводу, что данный чистый сдвиг в исходной системе координат эквивалентен двустороннему сжатию и растяжению в новой системе координат.

Применяя формулу для всех остальных напряжений в новой системе координат, убеждаемся, что они равны нулю: σ_kl = 0.

При растяжении деформации удовлетворяют соотношениям: , а при сжатии:  

Найдем компоненты деформаций в новой системе координат:

Для того чтобы найти компоненты деформаций в исходной системы координат, необходимо воспользоваться формулой перехода:

     где

Тензор деформаций при чистом сдвиге примет следующий вид:

В результате чистого сдвига в теле возникают сдвиговые деформации, приводящие к изменению формы, и линейные деформации по всем трем направлениям, при этом . Объемная деформация отлична от нуля, следовательно при реализации чистого сдвига в бимодульной упругой среде, происходит изменение объема:

Среднее напряжение обращается в ноль при изменении объема: . Очевидно, что для классического случая  нулевому среднему напряжению  соответствует нулевая объемная деформация .

Интенсивность касательных напряжений определяется, как   тогда . Интенсивность сдвиговых деформаций пропорциональна действующему касательному напряжению:

Третий инвариант девиатора тензора напряжений, отвечающий за максимальное касательное напряжение, обращается в ноль: . Третий инвариант девиатора тензора деформаций:

Параметры Лоде для чистого сдвига в случае бимодульной среды:

где главные деформации:

Подобие девиаторов, как видно, при чистом сдвиге нарушается, фаза их подобия отлична от нуля:  

В отличие от классической теории упругости, в которой поведение тела описывается законом Гука, в теории упругости для бимодульных материалов форма закона связи деформаций с напряжениями зависит от комбинации знаков нормальных и касательных напряжений.

В случае же простого сдвига  поведение сдвигающих напряжений остается классическим, а поведение нормальных напряжений различается, поскольку они будут отличны от нуля, их величины пропорциональны сдвигающим напряжениям. Положим, что для реализации простого сдвига напряженное состояние должно иметь следующий вид:

    где

Разложим задачу простого сдвига на две простые, связанные с растяжением-сжатием и чистым сдвигом:

В случае простого растяжения-сжатия деформации примут вид:

Тензор деформаций при простом растяжении-сжатии для бимодульных материалов примет следующий вид:

Тензор деформаций для случая чистого сдвига, полученные ранее применительно к упругой бимодульной среде:

На основе положений о линейной деформируемости и малости деформаций можем построить тензор деформаций при простом сдвиге путем сложения . Кроме того, линейные деформации при простом сдвиге отсутствуют, поэтому потребуем выполнение следующего условия:

Применяя данное условие можем составить систему и разрешить ее относительно компонент нормальных напряжений:

Тензор напряжений при простом сдвиге содержит нормальные компоненты отвечающие за равномерное растяжение/сжатие и пропорциональные действующему касательному напряжению . Видно, что для классического случая  среднее напряжение, характеризующее напряженное состояние при всестороннем растяжении и сжатии  будет равно нулю σ = 0.

Рисунок 2. Простой сдвиг в случае упругого бимодульного материала

Тензор деформаций при простом сдвиге будет составлен только из сдвиговых деформаций, пропорциональных действующему сдвигающему напряжению : .

Отсюда следует, что реализация простого сдвига в случае бимодульной среды требует приложения кроме касательных напряжений еще и пропорциональных им нормальных напряжений. В результате простого сдвига в теле возникают только сдвиговые деформации, вызванные действием и касательных, и нормальных напряжений. Изменение объема при действии таких напряжений происходить не будет . Среднее напряжение будет отлично от нуля при нулевой объемной деформации:

Интенсивность касательных напряжений и интенсивность сдвиговых деформаций пропорциональны действующему касательному напряжению:

Третий инвариант девиатора тензора напряжений, отвечающий за максимальный сдвиг: 

Третий инвариант девиатора тензора деформаций: 

Параметры Лоде:   

где главные напряжения:

Подобие девиаторов при простом сдвиге нарушается, фаза их подобия отлична от нуля: 

,     

Основным недостатком принципа суперпозиции, который использовался для решения задачи чистого и простого сдвига, является отсутствие упругого потенциала, с помощью которого выражались бы напряжения и деформации в случае бимодульного материала. Таким образом, рассмотрим обратную задачу: определим напряженно-деформированное состояние при чистом и простом сдвиге, отталкиваясь от изначально-заданного упругого потенциала. Положим, что в процессе деформаций кинетическая энергия настолько мала, что ею можно пренебречь, а работа внутренних сил полностью переходит в потенциальную энергию деформации и наоборот.

 Представим потенциальную энергию деформации для бимодульной среды в следующем виде: , где параметр является функцией инвариант тензора напряжений.

Энергия деформаций для случая растяжения  и сжатия  будет иметь вид:

,   

при этом     .

Компоненты деформаций можем записать, используя закон потенциальности:

Найдем соответствующие производные по напряжениям:

Подставим производные и получим соотношение для деформаций, выраженное через компоненты напряжений:

Воспользуемся полученным соотношением для описания напряженно-деформированного состояния при чистом сдвиге. Компоненты напряжений будут удовлетворять: . Учитывая, что  тензор деформаций при чистом сдвиге будет иметь вид:

Линейные деформации пропорциональны действующему сдвигающему напряжению и одинаковы по всем трем направлениям, что соответствует равномерному объемному расширению. Сдвиговые деформации, определенные через принцип суперпозиции и с помощью упругого потенциала совпадают.

Для определения напряженно-деформированного состояния при простом сдвиге выразим компоненты напряжений через деформации для случая бимодульной среды. Потенциальная энергия деформации определяется соотношением: , где параметр  является функцией инвариант тензора деформаций.

Компоненты напряжений выразим, используя потенциальный закон:

Найдем производные тензорных величин:

В результате получим соотношение, позволяющее определить напряжения через деформации для случая упругих бимодульных материалов:

В случае простого сдвига линейные деформации отсутствуют: , тогда нормальные компоненты тензора напряжений будут пропорциональны действующему касательному напряжению и равны между собой , . Тензор деформаций при простом сдвиге содержит только компоненты, отвечающие за изменение формы: .

Таким образом, поскольку действие касательных напряжений при чистом сдвиге эквивалентно действию в главных осях растягивающего напряжения, различие секущих модулей и коэффициентов поперечной деформации при чистом растяжении и сжатии сказывается и при сдвиге. При этом, чистый сдвиг не сводится к деформациям простого сдвига, он может вызывать кроме изменения формы, также и изменение объема и приводить к нарушению пропорциональности девиаторов напряжений и деформаций. С другой стороны, и простой сдвиг в случае бимодульной упругой среды не может уже быть реализован действием одних лишь касательных напряжений, необходимо приложение и нормальных нагрузок, что влечет за собой нарушение подобия девиаторов.

Список литературы:

1.Амбарцумян С.А. Разномодульная теория упругости. — М.: Наука, 1982. — 320 с.

2.Мясников В.П., Олейников А.И. Основы механики гетерогенно-сопротивляющихся сред. Владивосток: Дальнаука, 2007. — 171 с.

3.Gianluca M.A nonlinear elastic model for isotropic materials with different behavior in tension and compression // Transactions of the ASME — January 1982, № 104, 26 — 28 p.

4.Rigbi Z. Some thoughts concerning the existence or otherwise of an isotropic bimodulus material // ASME Journal of engineering materials and technology — October 1980, — № 102, 183—384 р.