О  ПРИБЛИЖЕННЫХ  ФОРМУЛАХ  ДЛЯ  ИНТЕГРАЛОВ  ТИПА  ИНТЕГРАЛА  ПУАССОНА

Олькин  Михаил  Артурович

студент  3  курса,  инженерный  факультет,  филиал  СКФУ  в  г.  Пятигорске,  РФ,  г.  Пятигорск

E-mail: 

;

Тимченко  Ольга  Викторовна

научный  руководитель,  канд.  экон.  наук,  кафедра  физико-математических  дисциплин,  филиал  СКФУ  в  г.  Пятигорске,  РФ,  г.  Пятигорск

Хорошо  известно,  что  интеграл  Эйлера-Пуассона    не  выражается  через  элементарные  функции  («неберущийся»  интеграл)  и,  соответственно,  нет  аналитических  выражений  для  таких  часто  встречающихся  в  приложениях  специальных  функций  как

  —  функция  ошибок,

  —  интеграл  вероятности,

  —  нормальная  функция  распределения.

В  приложениях  приходится  довольствоваться  результатом  табулирования.

Не  только  интерес,  но  и  практическую  ценность  представляют,  по  нашему  мнению,  приближенные  аналитические  выражения  для  этих  функций,  если  они  с  одной  стороны  достаточно  просты,  а  с  другой  достаточно  точны  0,1  %—1  %.  Именно  эта  задача  решается  в  данной  работе.

Хорошо  известна  также  схема  [1,  с.  661],  позволяющая  вычислить  несобственный  интеграл  .  (*)

Именно  этой  схемой  мы  намерены  воспользоваться  для  оценки  интеграла

  (1)

Сводим  вычисление  интеграла  (1)  к  вычислению  двойного  интеграла.  Имеем 

,

тогда 

  (2)

Здесь  область  интегрирования    —  квадрат  со  стороной  ,    (рисунок  1):

Рисунок  1.  Область  интегрирования

Область  интегрирования    разбиваем  на  две: 

  —  круг  радиуса  ,  по  которому  вычисляется  точное  («нулевое  приближение»)  для  интеграла  (2),  и 

область    —  четыре  криволинейные  треугольные  области  вида  ,  или,  восемь  треугольных  областей  вида  . 

Геометрически  добавка  к  нулевому  приближению  —  это  объем  восьми  одинаковых  цилиндрических  тел,  в  основании  которых  криволинейный  треугольник    (—  дуга  окружности  радиуса  )  и  «шапка»  —  поверхность  .  «Неберущаяся»  часть  интеграла  (2)  связана  как  раз  с  вычислением  объема  по  области  .  Имеем

  (3)

По  области    интеграл  вычисляется  переходом  к  полярным  координатам  .  Имеем

  (4)

Соответственно,  «нулевое»  приближение  для  интеграла  (1)  дается  выражением:

  (5)

При    ,  а  при    .  В  этом  приближении  для  интеграла  ошибок  и  интеграла  вероятностей  получаем  (с  недостатком)

,

  (6)

Значения  этих  выражений  на  9  %—11  %  меньше  табличных  для  практических  все    значимой  области,  что  неприемлемо  много  для  большей  части  приложений. 

Если  при  выборе  нулевого  приближения  (1)  область    взять  в  виде  круга  радиуса    (приближение  с  избытком),  то  для  этих  функций  получаем  выражения 

,

,

,

значения  которых  на  20  %—25  %  больше  табличных.  В  качестве  нулевого  приближения  выбираем  (5),  (6).

Для  улучшения  результата  надо  вычислить  добавку  к  ,  равную  .

  (7)

или 

.

Переходя  к  полярным  координатам,  получаем

  (8)

«Неберущаяся»  часть  исходного  интеграла  связана  с  функцией    интеграла  (8).  Для  его  оценки  заметим,  что    для    монотонно  растет  от  1  до  2,  а  среднее  значение  промежуточного  аргумента    экспоненты  на  этом  интервале  будет

.

Раскладывая    возле  точки    в  ряд  по  степеням    получим  для  «неберущейся»  части  интеграла  выражение

.

Учитывая,  что 

  и,

оставляя  в  разложении  только  нулевой  член  ,  находим  оценку    в  этом  приближении: 

.

Учитывая,  что 

,  получаем  для 

  (9)

А  для  искомого  интеграла  (1)  выражение

  (10)

Соответственно,  для  интеграла  ошибок  и  интеграла  вероятностей  искомые  приближенные  выражения  имеют  вид

  (11)

  (12)

Значения    и    вычисляемые  по  этим  формулам  для    отличаются  от  табличных  на  сотые  доли  процентов  и  меньше,  а  для    —  на  десятые  доли,  что  для  приложений  означает  практическую  достоверность  результата  вычислений  (таблица  1)  [2,  c.  470].  Учет  при  интегрировании  квадратичного  члена    в  этих  условиях  представляется  ненужным  усложнением  формул  (10)—(12).

Таблица  1.

Значения  функций  табличные  и  вычисленные  приближенно

Список  литературы:

1.Фихтенгольц  Г.М.  Курс  дифференциального  и  интегрального  исчисления:  в  3  т.  Т.  2.  М.:  ФИЗМАТЛИТ,  2001.  —  864  с.

2.Гмурман  В.Е.  Теория  вероятностей  и  математическая  статистика.  М.:  Высшая  школа,  2003.  —  479  с.