КОНТАКТНОЕ  ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ  ДВУХ  ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ  ПЛАСТИН

Филиппова  Наталья  Олеговна

студент  4  курса,  кафедра  математического  моделирования  и  кибернетики  СыктГУ,  РФ,  г.  Сыктывкар

E-mail :  nataljafilipp5@gmail.com

Ермоленко  Андрей  Васильевич

научный  руководитель,  канд.  физ.-мат.  наук,  доцент  СыктГУ,  РФ,  г.  Сыктывкар

Рассмотрим  следующую  контактную  задачу  со  свободной  границей.  Две  пластины  толщины    и  ширины  ,  расположены  параллельно  друг  другу  с  зазором  .  Верхняя  пластина  находится  под  действием  нормальной  нагрузки  .  При  этом  на  краях  пластин    выполняются  условия  жесткого  закрепления,  края    закреплены  шарнирно,  а  два  других  края  бесконечно  удалены  или  загружены  так,  что  в  пластинах  реализуется  цилиндрический  изгиб.  Под  действием  определенной  нагрузки  первая  пластина  коснется  второй,  в  результате  чего  вторая  пластина  также  начнет  изгибаться.  Предположим,  что  область  контакта    двух  пластин  является  непрерывной.  Требуется  определить  прогибы  пластин  и  возникающие  контактные  реакции.

Для  решения  поставленной  задачи  воспользуемся  уравнением  Софи  Жермен–Лагранжа,  см.,  например  [3].  Данное  уравнение  имеет  следующий  вид:

Здесь  w  —  прогиб  пластины  (т.  е.  перемещение  по  нормали),    —  нормальная  нагрузка,    —  действующие  на  верхнюю  и  нижнюю  лицевые  поверхности  пластины  нагрузки,    —  цилиндрическая  жесткость,  h  —  толщина  пластины,  E  и  n  —  модуль  Юнга  и  коэффициент  Пуассона,  —  оператор  Лапласа  в  декартовых  координатах.

В  случае  цилиндрического  изгиба  ,  поэтому  уравнение  (1)  примет  вид

Таким  образом,  для  первой  пластины  получаем  уравнение 

для  второй  — 

Здесь    —  активная  нагрузка,  действующая  на  верхнюю  пластину,    —  реакция  со  стороны  второй  пластины  на  первую.  В  свою  очередь    является  нагрузкой,  с  которой  первая  пластина  давит  на  вторую.

Граничные  условия  пластин  имеют  вид

Здесь  соотношения  (5)₁  –  условия  жесткого  закрепления,  (5)₂  —  условия  шарнирного  закрепления.

Рассмотрим    Тогда  в  соответствии  с  принципом  суперпозиции  решения  [4]  имеем

Для  удобства  обозначим    через  ,  тогда  выражение  (6)  перепишется  следующим  образом:

Граничные  условия  запишутся  следующим  образом:

В  соответствии  с  подходом  статей  [1;  5]  решение  краевой  задачи  {(7),  (8)}  будем  искать  с  использованием  функции  Грина

Здесь    —  функция  Хевисайда. 

Далее  прогиб  рассматривается  на  отрезке  .  В  этом  случае  он  принимает  вид

Подставив  выражение  (10)  в  (7),  получаем,  что    при 

Учитывая,  что  на  лицевые  поверхности  пластины  действует  два  вида  нагрузок:  активная    и  реактивная    получаем,  что

Тогда  общее  выражение  для  реакции  имеет  вид

где    —  сосредоточенные  реакции  на  границе  области  контакта.

Используя  соотношение  (12),  нормальная  нагрузка    записывается  в  виде

Используя  функцию  Грина  (9),  решение  краевой  задачи  {(7),  (8)}  с  правой  частью  в  виде  (13)  имеет  вид

Прогиб    при    записывается  в  виде

Отметим,  что  выражения  (10)  и  (15)  должны  совпадать  при  Поэтому  приравнивая  в  правых  частях  выражений  (10)  и  (15)  коэффициенты  при  одинаковых  степенях    получим  следующие  уравнения: 

Решение  системы  (16)  можно  записать  в  виде

Отметим,  что  выражения  для    согласуются  с  полученными  в  статьях  [2;  5].

Используя  полученные  значения  (17),  (18)  исходные  уравнения  для  прогибов  пластин  запишутся  следующим  образом:

В  качестве  примера  на  рисунке  1  приведены  графики  прогибов  пластин  со  следующими  физическими  и  геометрическими  параметрами:

·     для  рис.  1а:

·     для  рис.1б:

                                    а                                                                 б

Рисунок  1.  Графики  прогибов:    -----    -  -  - 

Значения  граничных  точек  зоны  контакта  и  сосредоточенные  реакции  при  параметрах  (21)  будут  равны

при  параметрах  (22):

Список  литературы:

1.Ермоленко  А.В.  Аналитическое  решение  контактной  задачи  для  жестко  закрепленной  пластины  и  основания.  В  мире  научных  открытий.  Красноярск:  НИЦ,  2011.  —  С.  11—17.

2.Михайловский  Е.И.,  Бадокин  К.В.,  Ермоленко  А.В.  Теория  изгиба  пластин  типа  Кармана  без  гипотез  Кирхгофа  //  Вестник  Сыктывкарского  универси-тета.  Сер.  1:  Мат.  Мех.  Инф.  —  1999.  —  Вып.  3.  —  С.  181—202.

3. Михайловский  Е.И.,  Торопов  А.В.  Математические  модели  теории  упругости.  Сыктывкар:  Сыктывкарский  ун-т,  1995.  —  251  с.

4.Тихонов  А.Н.,  Самарский  А.А.  Уравнения  математической  физики.  М.:  Изд-во  МГУ,  1999.

5.Филиппова  Н.О.  Об  одной  контактной  задаче  для  цилиндрической  пластины  //  Сборник  материалов  Международной  научно-практической  конференции  «Теоретические  и  прикладные  проблемы  технических  и  математических  наук».  Украина.  Киев.  —  2014.  —  №  4.  —  С.  39—42.