ОПЕРАТОР  ЭНЕРГИИ  И  СООТНОШЕНИЕ  НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ  ДЛЯ  ЭНЕРГИИ  И  ВРЕМЕНИ  В  КВАНТОВОЙ  МЕХАНИКЕ

Давыдов  Александр  Петрович

канд.  физ.-мат.  наук,  доцент  кафедры  прикладной  математики  и  информатики  государственного  технического  университета,  РФ,  г.  Магнитогорск

E-mail: 

THE  OPERATOR  OF  TIME  AND  THE  UNCERTAINTY  RELATIONS  FOR  ENERGY  AND  TIME  IN  QUANTUM  MECHANICS

Aleksandr  Davydov

candidate  of  Physical  and  Mathematical  Science,  assistant  professor  of  the  Department  of  Applied  Mathematics  and  Informatics  of  Magnitogorsk  State  Technical  University,  Russia,  Magnitogorsk

АННОТАЦИЯ

Обосновывается  введение  временного  представления  в  квантовой  механике  и  на  его  основе  —  оператора  времени.  Это  позволяет  строго  доказать  соотношение  неопределенностей  для  энергии  и  времени. 

ABSTRACT

Introduction  of  temporary  representation  is  justified  in  a  quantum  mechanics  and  on  its  basis  the  time  operator  is  found.  It  allows  to  prove  strictly  the  uncertainty  relation  for  energy  and  time.

Ключевые  слова:  уравнение  Шредингера;  неопределенность;  среднее  квадратичное  отклонение;  время  регистрации  частицы;  постоянная  Планка.

Keywords:  Schrödinger  equation;  the  uncertainty;  standard  deviation;  time  of  registration  of  the  particle,  Planck's  constant.

Соотношение  неопределенностей  для  энергии  и  времени

                                   (1)

в  квантовой  механике  имеет  несколько  трактовок  [10;  1]  и  множество  применений.  Теоретически  в  духе  соотношений  Гейзенберга  оно  не  обосновано,  поскольку  в  квантовой  механике  время  является  параметром,  а  не  динамической  переменной,  которой  отвечает  эрмитов  оператор.

В  экспериментах,  однако,  часто  измеряется  время  наступления  определенного  события,  имеющего  вероятностный  характер  [10].  В  этом  случае  возникает  возможность  ввести  «дисперсионную»  трактовку  соотношения  (1),  если  под    понимать  среднее  квадра­тичное  отклонение  момента  регистрации  события,  то  есть  положить  ,  где    —  дисперсия  распределения  моментов  регистрации  событий.  В  литературе  такая  трактовка  обсуждалась  (см.,  например,  [1;  2;  10]),  но  не  была  обоснована  в  неком  универсальном  виде.  В  [3,  с.  358],  [4,  с.  80]  соотношение  (1)  в  дисперсионной  трактовке  было  доказано  в  рамках  квазиклассического  подхода  к  описанию  электромагнитного  излучения.  В  [5,  с.  6]  также  установлено,  что  соотношение  (1)  минимизируется  для  короткоимпульсного  лазерного  излучения.

Необходимость  доказательства  соотношения  (1)  в  дисперсионной  трактовке  возникла  в  ходе  изучения  эволюции  в  пространстве  и  во  времени  волнового  пакета,  описывающего  распространение  свободного  фотона  [6,  с.  235].  Он  представляет  собой  одночастичную  волновую  функцию  в  координатном  представлении  с  традиционной  для  квантовой  механики  интерпретацией:  зная  ее,  можно  предсказать  плотность  вероятности  обнаружить  фотон  в  любой  точке  конфигурационного  пространства.

Несмотря  на  очевидную  связь  «квазиклассического»  доказательства  соотношения  (1)  в  дисперсионной  трактовке  с  его  квантово-механическими  истоками,  в  рамках  самой  квантовой  механики  доказательство  соотношения  (1),  в  частности  приведенное  в  [7],  в  этой  трактовке,  широкого  распространения  не  получило.  Возвращение  здесь  к  данной  теме  вызвано  появлением  статьи  [9].  В  ней  рассматривается  обобщение  формулировки  квантовой  механики,  в  которой  время  системы  является  одной  из  обобщенных  координат.  Обобщенный  гамильтониан  имеет  неограниченный  спектр,  что  позволяет  ввести  эрмитов  оператор  времени.  Волновая  функция  в  [8]  предполагается  квадратично  интегрируемой  по  всем  координатам,  включая  время  системы.

Напомним  ([2]  и  др.),  что  время  может  быть  введено  как  квантово-механическая  наблюдаемая,  канонически  сопряженная  энергии.  При  этом  для  физических  систем  с  непрерывным  спектром  энергии  оператор  времени  является  максимально  эрмитовым,  хотя  и  не  самосопряженным  [2],  а  для  систем  с  дискретным  спектром  —  квазисамосопряженным.  В  случае  непрерывного  спектра  оператор  времени    имеет  следующий  вид  [2]:

     (2)

При  этом  полагается,  что  оператор    действует  на  квадратично  интегрируемые  пространственно-временны́е  волновые  пакеты  в  t-представлении,  а    —  на  их  преобразования  Фурье  в  Е-представлении.  Последние  образуют  пространство    непрерывных  дифференцируемых  квадратично  интегрируемых  функций  ,  удовлетворяющих  условиям

,  ,  ,  .  (3)

На  наш  взгляд,  хотя  соотношения  (2)  и  являются  сами  по  себе  верными,  но  возникновение  функций  ,  задаваемых  на  положительной  полуоси    и  удовлетворяющих  соотношениям  (3),  нельзя  считать  корректным  из  преобразования  Фурье  пространственно-временных  волновых  пакетов.  Поскольку,  во-первых,  тогда  на  самом  деле    должны  в  качестве  аргументов  содержать  обобщенные  координаты  ,  без  упоминания  которых  невозможно  осуществить  обоснование  утверждения  (2),  как  результата  перехода  от  координатного  представления  к  энергетическому,  а  затем  к  временно́му.  Во-вторых,  преобразование  Фурье  произвольной  волновой  функции  (удовлетворяющей  уравнению  Шредингера)  должно  включать  все  значения  энергии  ,  выходящие  из  допустимой  области  положительных  значений,  например,  для  свободного  движения  частицы:

.                       (4)

Как  известно,  свести  такого  вида  разложение  к  интегралу  только  по  положительной  области  энергий  в  общем  случае  невозможно.  В  [3]  утверждается,  что  возникающая  здесь  трудность  “была  фактически  преодолена  косвенно  (обойдена)  введением    с  помощью  однозначного  преобразования  Фурье  (Лапласа)  от  t-оси  ()  к  Е-полуоси  ()  и  использования  особых  математических  свойств  максимальных  симметрических  операторов”.

По  нашему  мнению,  можно  предложить  более  последовательный  и  физически  ясный  подход  к  введению  оператора  времени  и  t-представления.

Предположим,  что  гамильтониан  квантовой  системы  не  зависит  явно  от  времени.  Следовательно,  ее  любое  состояние  можно  разложить  по  стационарным  состояниям,  с  независящими  от  времени  коэффициентами    и  ,  относящимися,  соответственно,  к  дискретной  и  непрерывной  частям  спектра  энергии  (для  простоты  его  будем  считать  невырожденным)  [9,  с.  75]: 

,  (5)

где    и    удовлетворяют  стационарному  уравнению  Шредингера:

,  ,                    (6)

а  коэффициенты  разложения    и  ,  в  силу  их  независимости  от  времени,  определяются  известными  соотношениями 

,  ,  (7)

где    —  волновая  функция  квантовой  системы  в  момент  . 

В  отличие  от  (4),  область  интегрирования    в  (5)  определяется  реальным  спектром  гамильтониана  и,  разумеется,  не  обязана  включать  все  значения  .  Возможность  разложения  (5)  постулирована  квантовой  механикой  и  является  следствием  реализуемого  ортонормированного  базиса  расширенного  гильбертова  пространства,  образованного  совокупностью  собственных    и  обобщенных  собственных    функций  оператора  физической  величины,  в  данном  случае  энергии  —  гамильтониана  системы  [9,  с.  41].

Пусть    нормирована  на  единичную  вероятность.  Тогда,  в  соответствии  с  (5),  имеет  место  и  нормировка  коэффициентов  разложения:

,             (8)

так  что  средняя  энергия  определяется  двумя  эквивалентными  выражениями

.           (9)

Как  известно,  выражения  (8)  и  (9)  записаны  соответственно  в  координатном  и  энергетическом  представлении.  Нельзя  сказать,  что  они  полностью  дают  определение  представления  в  квантовой  механике,  но  в  нашем  случае  вполне  могут  послужить  в  качестве  первоначальной  основы  введения  временно́го  представления.  Для  этого  отметим  два  обстоятельства.

Во-первых,  представим  суммирование  и  интегрирование  по  энергии  в  (8)  и  (9)  как  результат  скалярного  произведения  на  множестве  элементов    и  : 

,                          (10)

.                     (11)

где:    —  оператор  полной  энергии  системы  в  коорди­натном  представлении  (q-представлении),  в  представлении  Шредингера; 

  —  оператор  полной  энергии  в  энергетическом  (E-)  представлении.  Обозначение  суммирования  по  энергии  в  (10),  (11)  опущено.  Надо  ожидать,  что  оператор  энергии  в  t-представлении  должен  выражаться  только  через  переменную  .  Такой  оператор  давно  используется  в  квантовой  механике: 

.                                                      (12)

Пожалуй,  наиважнейшую  роль  этот  оператор  в  качестве  оператора  энергии  сыграл  при  обосновании  уравнения  Клейна-Гордона-Фока,  весьма  заметную  роль  —  при  выводе  Дираком  своего  уравнения.  Аналогично  он  был  использован  для  обоснования  квантового  уравнения  для  фотона  [6].  Однако  этот  оператор  почти  никогда  не  ассоциировался  с  неким  временны́м  представлением  (в  (12)  индекс  “t”  поставлен  заранее  для  наших  целей).  Разумеется,  придание  ему  статуса  оператора  энергии  (безотносительно  к  указанию  представления)  обусловливается  уравнением  Шредингера

.                                   (13)

Во-вторых,  если  левую  часть  уравнения  (13)  вместо  его  правой  части  подставить  в  (9)  или  (11),  то  получим  уже  три  выражения  для  средней  энергии:

.         (14)

Можно  ли  утверждать,  что  в  третьем  звене  этих  равенств  выполняется  интегрирование  по  времени,  по  аналогии  с  предыдущими  случаями,  в  виду  того,  что  в  нем  фигурирует  оператор  энергии  во  временно́м  представлении?  Ответ  —  в  принципе  да,  можно.  Причем  не  только  в  третьем  звене  в  (14),  но  и  во  втором.  Действительно,  у  системы  с  независящим  от  времени  гамильтонианом  энергия  является  интегралом  движения.  То  есть  средняя  энергия  не  зависит  от  времени.  В  таком  случае  интегрирование  константны  по  времени  и  деление  результата  на  интервал  интегрирования,  в  соответствии  с  вычислением  среднего  значения  функции  на  данном  интервале,  даст  ту  же  самую  константу  —  среднее  значение  энергии.  Но  это  означает,  что  указанные  переменные  в  (14)  и  в  самом  деле  полностью  соответствуют  указанию  представления.  В  частности,  функция    действительно  задана,  с  этой  точки  зрения,  в  «координатно-временном»  представлении.

Установим  теперь  вид  оператора   .  Ясно,  что  в  своем  собственном  представлении  он  должен  быть  оператором  умножения  на  время  :

.                                                     (15)

Собственные  функции  оператора    должны  удовлетворять  уравнениям

  или  .                 (16)

Второе  уравнение  в  (16)  совпадает  с  известным  уравнением,  возникающем  при  переходе  от  (13)  к  стационарному  уравнению  Шредингера.  Его  решение

                             (17)

соответствует  непрерывному  спектру  энергии  .  При  квантовании  свободного  электромагнитного  поля  решения  с  отрицательными  энергиями  входят  в  полный  набор  функций.  В  квантовой  механике  фотона  также  возникают  решения  с  отрицательными  энергиями,  которые  можно  ассоциировать  с  виртуальными  фотонами  [4].  В  нерелятивистской  квантовой  механике  состояния  свободного  движения  частицы  могут  относиться  лишь  к  положительному  спектру  энергии.  Однако  сама  по  себе  функция  (17)  должна  рассматриваться  в  качестве  обобщенной  и  быть  нормирована,  с  учетом  всего  непрерывного  спектра  ,  на  дельта-функцию  Дирака:

.  (18)

Теперь  проведем  аналогию  между  связью  оператора    координаты    и  оператора    проекции    (импульса  на  ось  )  в  разных  представлениях  и  соответствующими  операторами  энергии  и  времени.  Такая  аналогия  очевидна  в  силу  того,  что  выражения  (12),  (15),  (16)  и  (17)  можно  получить  из  существующих  в  квантовой  механике  соотношений

,  ,  ,    (19)

путем  формальной  одновременной  замены  переменных  ,  .  При  этом  условие  нормировки  (18)  получается  из  условия  нормировки

.  (20)

В  (19),  (20)  все  операторы,  функции,  уравнения  и  формулы  записаны  в  p-представлении.  Перепишем  соответствующие  выражения  в  q-представлении:

,  ,  ,  .  (21)

.  (22)

Теперь  в  (21),  (22)  снова  сделаем  замену  переменных  ,  :

,  ,  ,  .  (23)

.  (24)

Итак,  оператор  времени    в  Е-представлении  в  случае  чисто  непрерывного  спектра  энергии  действительно  определяется  выражением  (2).  Согласно  (23),  собственная  функция  этого  оператора  (в  Е-представлении),  относящейся  к  собственному  значению  ,  определяется  формулой 

.                                       (25)

В  соответствии  с  (24),  эти  функции  образуют  базис,  по  которому  можно  разложить  любую  функцию  из  непрерывного  спектра  энергии.  С  учетом  этого,  разложим  ,  определяемую  соотношениями  (5)  и  (7),  по  этому  базису:

.              (26)

Очевидно,    является  некоторой  частью  полной  волновой  функции    во  временном  представлении,  соответствующей  волновой  функции  системы  .  Определим  функцию    в  виде  суммы

,                                    (27)

где  положим

.         (28)

Возникает  вопрос:  можно  ли  ставить  в  (28)  пределы  интегрирования  по  энергии  по  всей  вещественной  оси,  как  это  требует  обратное  преобразование  Фурье,  если  разложение  (26)  считать  разложением  Фурье?  Ответ  —  да.  В  самом  деле,  коэффициенты    изначально  определены  только  для  энергий  из  области  .  Определим  ,  если  .  Тогда  интегрирование  в  (28)  реально  будет  выполняться  лишь  по  области  .  Таким  образом,  мы  делаем  важное  утверждение:  коэффициент    разложения  (26)  определяется  формулой

.    (29)

Однако  теперь,  по  сравнению  с  (28),  сменился  характер  разложения:  в  (29)  второе  звено  «трансформировалось»  в  разложение  функции    по  обобщенным  функциям  оператора    —  оператора  энергии  в  t-представлении. 

Аналогично  (29)  введем  функцию  ,  отвечающую  за  дискретную  часть    полного  спектра  энергии  системы  в  состоянии  :

          (30)

где  будем  полагать,  что    при  ,  причем    —  целые  числа.  Время    выберем  так,  чтобы  для  любого  уровня  энергии    выполнялись  равенства  ,  где    —  некоторые  целые  числа.  Для  спектра  из  конечного  числа  уровней    такое  время    всегда  можно  выбрать.  В  случае  бесконечного  числа  уровней  этот  выбор  можно  подразумевать  в  предельном  переходе  от  конечного  числа  к  бесконечному.  Таким  образом,  разложение  (30)  при    можно  записать  как

,  (31)

где 

,                      (32)

являются  собственными  функциями  в  t-представлении  оператора  энергии  дискретной  части  спектра,  аналогичными  обобщенным  собственным  функциям  (17)  этого  же  оператора,  относящимся  к  непрерывной  части  спектра.  Очевидно,  для  них,  как  и  положено,  условие  ортонормирования  можно  записать  с  помощью  дельта-символа  Кронекера:

.           (33)

Здесь  по  сути  мы  уже  ввели  скалярное  произведение  в  t-представлении.  Равенство  (18)  также  является  скалярным  произведением  в  t-представлении:

.             (34)

Собственные  функции  разных  частей  спектра  между  собой  ортогональны:

.                          (35)

С  учетом  (27),  (29)  и  (31),  волновая  функция  системы  в  t-представлении

.         (36)

Это  разложение  показывает,  что  сами  по  себе  разложения  (29)  и,  тем  более,  (28),  а  также  (31)  не  являются  разложениями  Фурье,  так  как  не  содержат  для  этого  полные  соответствующие  области  разложения.  Нетрудно  проверить,  что  с  помощью  (36)  можно  получить  следующие  соотношения:

,  (37) 

.                       (38)

Соотношения  (37),  (38)  позволяют  интерпретировать    в  качестве  плотности  вероятно­сти  некоторого  характерного  для  системы  момента  времени,  например,  регистрации  частицы  в  детекторе,  вне  зависимости  от  ее  энергии.  Также  можно  получить  выражения  для  среднего  момента  времени:

.                     (39)

Имея  в  виду,  что  операторы    и    в  t-представле­нии  действуют  на  «волновую  функцию»  системы  ,  а  средние  значения  величин,  зависящих  либо  от  ,  либо  от    в  этом  же  представлении  вычисляются  по  формулам,  аналогичным  (38)  и  (39),  а  также  принимая  во  внимание  известное  выражение  для  коммутатора    этих  операторов,  можно  доказать  соотноше­ние  неопределенностей  для  энергии  и  времени  точно  таким  же  способом,  как  и  соотношения  неопределенностей  Гейзенберга.

Список  литературы:

1.Додонов  В.В.,  Манько  В.И.  Обобщения  соотношений  неопределенностей  в  кантовой  механике,  в  сб.  Труды  ФИАН.  —  Т.  183.  —  С.  5.М.,  1987.

2.Ольховский  В.С.  О  времени  как  квантовой  наблюдаемой,  канонически  сопряженной  энергии.  УФН,  —  2011,  —  Т.  181,  —  №  8.  —  С.  859—866.

3.Давыдов  А.П.  Доказательство  соотношения  неопределенностей  для  энергии  и  времени  в  рамках  квазиклассического  подхода  описания  электромагнитных  сигналов  и  излучения  /  А.П.  Давыдов  //  Современные  проблемы  науки  и  образования:  материалы  XLVII  внутривуз.  науч.  конф.  преподавателей  МаГУ.  Магнитогорск:  МаГУ,  2009.  —  С.  358—360.

4.Давыдов  А.П.  О  соотношении  неопределенностей  для  энергии  и  времени  при  квазиклассическом  описании  электромагнитного  излучения  /  А.П.  Давыдов  //  Фундаментальные  и  прикладные  проблемы  науки.  Том  1.  Материалы  VII  Международного  симпозиума.  М.:  РАН,  2012.  —  С.  80—88.

5.Давыдов  А.П.  Дисперсионная  интерпретация  соотношения  неопределенностей  для  энергии  и  времени  и  короткоимпульсное  лазерное  излучение  в  квазиклассическом  подходе.  Инновации  в  науке  /  Сб.  ст.  по  материалам  XXXII  междунар.  науч.-практ.  конф.  №  4  (29)  Новосибирск:  Изд.  «СибАК»,  2014.  —  120  с. 

6.Давыдов  А.П.  Волновая  функция  фотона  в  координатном  представлении  /  А.П.  Давыдов  //  Вестник  МаГУ:  Периодический  научный  журнал.  Вып.  5.  Естественные  науки.  Магнитогорск:  МаГУ,  2004.  —  С.  235—243.

7.Давыдов  А.П.  Строгое  доказательство  соотношения  неопределенностей  для  энергии  и  времени  в  духе  доказательства  соотношений  неопределенностей  Гейзенберга  /  А.П.  Давыдов  //  Современные  проблемы  науки  и  образования:  материалы  XLVII  внутривуз.  науч.  конф.  преподавателей  МаГУ.  Магнитогорск,  2009.  —  С.  344—346.

8.Иванов  М.Г.  О  формулировке  квантовой  механики  с  динамическим  временем.  Тр.  МИАН,  2014,  Т.  285.  —  С.  154—165.

9.Давыдов  А.П.  Курс  лекций  по  квантовой  механике.  Математический  аппарат  квантовой  механики:  учеб.  пособие  /  А.П.  Давыдов.  Магнитогорск:  Изд-во  Магнитогорск.  гос.  техн.  ун-та  им.  Г.И.  Носова,  2014.  —  188  с.

10.P.  Bush.  The  time  energy  uncertainty  relation.  Quant-ph/0105049.