ВЫРОЖДЕННОЕ  СОЛИТОННОЕ  РЕШЕНИЕ  УРАВНЕНИЯ  КОРТЕВЕГА-ДЕ  ФРИЗА

Хусаинова  Галина  Владимировна

канд.  физ.-мат.  наук,  доцент  Уральской  государственной  архитектурно-художественной  академии,  РФ,  г.  Екатеринбург

E -mail:  aldisa@mail.ru

Хусаинов  Дамир  Зиннурович

канд.  физ.-мат.  наук,  доцент  Уральской  государственной  архитектурно-художественной  академии,  РФ,  г.  Екатеринбург

E-mail:  

DEGENARATE  SOLITON  SOLUTION  OF  KORTEVEG-DE  VRIES  EQUATION

Khusainova  Galina

candidate  of  Science,  associate  professor  of  the  Ural  State  Architecture  and  Art  Academy,  Russia,  Ekaterinburg

Khusainov  Damir

candidate  of  Science,  associate  professor  of  the  Ural  State  Architecture  and  Art  Academy,  Russia,  Ekaterinburg

АННОТАЦИЯ

Построено  точное  вырожденное  солитонное  решение  для  уравнения  Кортевега-де  Фриза  как  предельный  (резонансный)  случай  двухсолитоного  решения.  Проведён  анализ  движения  сингулярной  точки  полученного  решения. 

ABSTRACT

The  exact  degenerate  soliton  solution  of  Korteweg-de  Vries  equation  is  constructed  as  limit  (resonance)  case  of  two-soliton  solution.  Analysis  has  been  done  of  singularity  dynamic  of  the  obtained  solution.

Ключевые  слова:  точное  решение;  солитон;  сингулярность.

Keywords: exact  solution;  soliton;  singularity.

Уравнение  Кортевега-де  Фриза  (КдФ)  возникает  как  реалистическая  модель,  описывающая  движение  волн  в  такой  среде,  где  оказываются  существенными  слабые  нелинейные  эффекты  [2,  c.  19]:

  .  (1)

Известно,  что  для  данного  уравнения  были  построены  [6,  с.  1192]  в  явном  виде  солитонные  решения,  представляемые  в  виде  стандартных  конечных  рядов  экспонент,  где  каждая  экспонента  зависит  от  произвольной  фазовой  постоянной.  Начиная  с  работы  Хироты  [6,  с.  1193]  и  работ  многих  других  авторов  [2,  с.  108],  эти  фазовые  постоянные  считались  вещественными  постоянными,  не  имели  особенностей  и  не  зависели  от  физических  параметров  солитона,  таких  как  амплитуда  и  скорость.  Однако,  если  рассматривать  фазовые  постоянные  в  солитонных  решениях  в  виде  определенных  несингулярных  функций  физических  параметров  солитона  [1,  с.  222]  ,  тогда  можно  получить  новый  класс  точных  решений  в  виде  рациональных  функций  по  пространственной  переменной  х  и  времени  t  . 

В  данной  статье  мы  построим  новое  точное  решение  уравнения  КдФ,  выбрав,  фазовые  постоянные  в  виде  определенных  сингулярных  функций  параметров  солитона  —  вырожденное  солитонное  решение  (  полиномиально-экспоненциальное  решение,  имеющее  сингулярную  особенность).

  Рассмотрим  двухсолитонное  решение  [2,  с.  1192]  уравнения  (1):

    (2)

    (3)

где  ;    (i=1,2)  —  произвольные  ограниченные  вещественные  постоянные  и    . 

Предположим,  что  фазовые  постоянные  являются  сингулярными  функциями  параметров  солитона  :

;

тогда  выражение  (3)  можно  записать  в  виде

  .

В  пределе    мы  получаем  простейшее  вырожденное  солитонное  —  решение  уравнения  КдФ:

.  (4) 

Отметим,  что  в  работе  Хусаиновой  (Безматерных)  и  Борисова  [5,  с.  6]  были  поострены  с  помощью  метода  Хироты  [6,  с.  1192]  более  сложные  вырожденные  солитонные  решения  для  уравнения  КдФ.

  Данное  решение  является  сингулярным.  Действительно,  с  учетом  (2)  и  (4)  имеем

  .  (5)  ,

где  ,  ,  (  —  произвольные  постоянные).

Видно,  что  в  момент  времени  t  =  0  при    функция  u(x,  0)  имеет  особенность  в  точке  x  =  0.  Положение  данной  сингулярной  точки  в  момент  времени  t  задается  уравнением

  .  (6)

Заменой    данное  уравнение  приводится  к  виду

  .

После  интегрирования  получаем:

  ,

где:  C(x,  t)  —  неизвестная  функция.

Рассмотрим  случай  :

  (P₁  >  0)

или

  ()  .  (7)

Анализ  данного  выражения  показывает,  что  при  больших  t 

.  (8)

Поскольку  второй  член  в  данном  выражении  значительно  меньше  первого,  то  видно,  что  при  больших  t  движение  особой  точки  близко  к  прямолинейному  и  равномерному  движению.  На  Рис.  1  приведено  численное  решение  уравнения(6). 

Рисунок  1  Эволюция  особой  точки  вырожденного  солитонного  решения  (6)  (Р₁=1,5)

Видно,  что  при  малых  t  движение  особой  точки  носит  сложный  характер.  Оценки  (7)  показывают,  что  при  малых  t

  .

Таким  образом,  мы  показали,  что  вырожденное  солитонное  решение  уравнения  КдФ  (5)  является  сингулярным.  Оно  образовалось  в  результате  резонансного  взаимодействия  двух  солитонов  (параметры  двух  солитонов  в  пределе  совпадали).  Физическая  интерпретация  данного  резонансного  решения,  как,  впрочем,  и  других  известных  резонансных  (сингулярных)  решений  уравнения  КдФ  [3,  с.  2182;  4,  с.  25;  7,  с.  445],  пока  не  вполне  ясна  и  требует  дополнительного  исследования  поведения  подобных  резонансных  решений  для  соответствующей  дискретной  цепочки.

Список  литературы:

1.Абловиц  М.,  Сигур  Х.  Солитоны  и  метод  обратной  задачи.  М.;  Мир,  1987  —  478  с.

2.Додд  Р.,  Эйлбек  Дж.,  Гиббон  Дж.,  Моррис  Х.  Солитоны  и  нелинейные  волновые  уравнения.  М:  Мир,  1988  —  694  с.

3.Ablowitz  M.J.,  Satsuma  J.  Solitons  and  rational  solutions  of  nonlinear  evolution  equations//  J.Math.  Phys.,  —  1978  —  Vol.  19  —  №  10  —  p.  2180—2186.

4.Adler  M.,  Moser  J.  On  a  class  of  polynomials  connected  with  the  Korteweg  —  de  Vries  equation//  Comm.Math.Phys.,  —  1978  —  Vol.  61  —  p.  1—30.

5.Bezmaternih  G.V.  (Khusainova  G.V.),  Borisov  A.B.  Rational  Exponential  Solutions  of  Nonlinear  Equations//  Lett.Math.Physics,  —  1989  —  Vol.  18  —  p.  1—8.

6.Hirota  R.  Exact  solution  of  the  Korteweg  —  de  Vries  equation  for  multiple  collisions  of  solitons//  Phys.  Rev.  Lett.,  —  1971,  —  Vol.  27  —  p.  1192—1194.

7. Nimmo  J.J.C.,  Freeman  N.C.  Rational  solutions  of  the  Korteweg  —  de  Vries  equation:  wronskian  form//  Phys.Lett.A,  —  1983,  —  Vol.  96  —  №  9  —  p.  443—447.